2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.1第2课时旋转体和简单组合体教学用书教案新人教A版必修第二册

PAGE第2课时旋转体和简洁组合体素养目标·定方向素养目标学法指导1．相识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.(直观想象)2．相识柱、锥、台、球及简洁组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简洁物体的结构.(直观想象)1．利用柱、锥、台之间的联系来加强记忆，如棱柱、棱锥、棱台为一类，圆柱、圆锥、圆台为一类；或分成柱体、锥体、台体三类来分别相识.只有对比才能把握实质与区分.2．与平面几何的有关概念、图形和性质进行适当类比，逐步学会用类比的思想分析问题和解决问题.必备学问·探新知学问点1圆柱的结构特征定义以__矩形__的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱有关概念旋转轴叫做圆柱的__轴__；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的__底面__；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的__侧面__；无论旋转到什么位置，__不垂直__于轴的边都叫做圆柱侧面的母线图形表示法用表示它的轴的字母，即表示两底面__圆心__的字母表示，上图中的圆柱可记作圆柱__O′O__规定__圆柱__和__棱柱__统称为柱体[学问解读]圆柱的简洁性质：(1)圆柱有多数条母线，它们相互平行且相等.(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图①所示.(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图②所示.(4)过随意两条母线的截面是矩形，如图③所示.学问点2圆锥的结构特征定义以__直角__三角形的一条__直角边__所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥图形有关概念如上图所示，轴为__SO__，底面为__⊙O__，SA为母线.另外，S叫做圆锥的__顶点__，OA(或OB)叫做底面⊙O的__半径__表示法圆锥用表示它的__轴__的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥__SO__规定__棱锥__与__圆锥__统称为锥体[学问解读]圆锥的简洁性质：(1)圆锥有多数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等.(2)平行于底面的截面都是圆，如图①所示.(3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形，如图②所示.(4)过随意两条母线的截面是等腰三角形，如图③所示.学问点3圆台的结构特征定义用平行于__圆锥__底面的平面去截圆锥，__底面__与__截面__之间的部分叫做圆台图形有关概念原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的__下__底面和__上__底面.与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、__侧面__、母线，如上图所示，轴为__OO′__，AA′为母线表示法用表示轴的__字母__表示，上图中的圆台可记作圆台__OO′__规定__圆台__与__棱台__统称为台体[学问解读]圆台的简洁性质：(1)圆台有多数条母线，且它们相等，延长后相交于一点.(2)平行于底面的截面是圆，如图①所示.(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图②所示.(4)过随意两条母线的截面是等腰梯形，如图③所示.学问点4球定义以半圆的__直径__所在直线为旋转轴，半圆面旋转__一周__形成的旋转体叫做球体，简称球有关概念半圆的__圆心__叫做球的球心；半圆的__半径__叫做球的半径；半圆的__直径__叫做球的直径图形表示法球常用表示__球心__的字母表示，如上图中的球记作球__O__关键实力·攻重难题型探究题型一旋转体的结构特征典例1下列结论正确的是__④⑥⑧__.①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥；⑤球面上四个不同的点肯定不在同一平面内；⑥球的半径是球面上随意一点和球心的连线段；⑦球面上随意三点可能在一条直线上；⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.[分析]精确理解旋转体的定义，在此基础上驾驭各旋转体的性质，才能更好地把握它们的结构特征，以作出精确的推断.[解析]①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上随意取四点，则这四点就在球面上，故⑤错误；依据球的半径定义可知⑥正确；球面上随意三点肯定不共线，故⑦错误；用一个平面去截球，肯定截得一个圆面，故⑧正确.[归纳提升]圆柱、圆锥、圆台、球都是常见的旋转体，娴熟驾驭它们结构特征，弄清旋转体的性质是精确作图解题的前提.【对点练习】❶下列结论：①随意平面截圆柱，截面都是圆面；②圆锥的顶点与底面圆周上随意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线.其中正确的是(B)A．① B．②C．①② D．②③[解析]过两母线的截面为矩形，有时斜的截面为椭圆，故①错；依据母线的定义和特点，③错误；②正确，故选B．题型二简洁组合体的结构特征典例2如图，绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简洁几何体组成的？[解析]如图所示，由一个圆锥O4O5，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成的.[归纳提升]平面图形绕某条直线旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后分析旋转体的结构和组成.【对点练习】❷已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如右图.分别以AB、BC、CD、DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.[解析](1)以AB为轴旋转所得旋转体是圆台.如下图①所示.(2)以BC边为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥.如图②所示.(3)以CD边为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥.如图③所示.(4)以AD边为轴旋转所得的组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图④所示.题型三旋转体的侧面绽开问题典例3一圆柱的底面半径为eq\f(3,π)，母线长为4，轴截面为ABCD，从点A拉一绳子沿圆柱侧面到相对顶点C，求最短绳长.[分析]绳子沿圆柱侧面由A到C且最短，故侧面绽开后为A、C两点间的线段长.[解析]沿BC剪开，将圆柱体的侧面的一半绽开得到矩形BADC.则AD＝4，AB＝eq\f(3,π)·π＝3．∴AC＝eq\r(32＋42)＝5，即最短绳长为5．[归纳提升]求多面体表面上两点间的最短距离的思路将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，利用轴对称、平移或旋转等几何图形的变换，运用“两点之间，线段最短”来解决.详细步骤如下：(1)将几何体沿着某棱剪开后绽开，画出其侧面绽开图；(2)将所求问题转化为平面上的线段问题；(3)结合已知条件求得结果.【对点练习】❸如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕获老鼠，求小猫所经过的最短路程.(结果不取近似值)[解析]设底面圆的周长为l.∵△ABC为正三角形，∴BC＝6，∴l＝2π×3＝6π，依据底面圆的周长等于绽开后扇形的弧长，得：eq\f(nπ×6,180°)＝6π，故n＝180°，则∠B′AC＝90°，∴B′P＝eq\r(36＋9)＝3eq\r(5)(m)，∴小猫所经过的最短路程是3eq\易错警示旋转体的概念不清致误典例4如图所示，它们是不是棱锥、棱台、圆柱、圆锥等几何体？[错解]图①是圆柱；图②是圆锥.[错因分析]不能只依据概念的某一结论去推断.推断几何体的形态时，要考虑周全，要满意几何体的全部特征.[正解]图①不