2024-2025学年高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理同步作业含解析新人教A版必修5

PAGE正弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在△ABC中,若sinA>sinB,则A与B的大小关系为 ()A.A>BB.A<BC.A≥BD.A,B的大小关系不确定【解析】选A.因为sinA>sinB,所以2RsinA>2RsinB,即a>b,故A>B.2.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则b= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由正弦定理得b=QUOTE×sinB=QUOTE×sin45°=QUOTE.3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则QUOTE的值为 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选D.由正弦定理可得,QUOTE=2QUOTE-1=2QUOTE-1,因为3a=2b,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=2×QUOTE-1=QUOTE.4.(2024·鹤岗高一检测)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asinB=QUOTEb,则角A等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为2asinB=QUOTEb,由正弦定理可得:2sinAsinB=QUOTEsinB,又sinB≠0,所以sinA=QUOTE.因为△ABC为锐角三角形,所以A=QUOTE.5.在△ABC中,a=15,b=18,A=30°,则此三角形解的个数为 ()A.0 B.1C.2 D.不能确定【解析】选C.如图所示:CD=AC·sin30°=18·QUOTE=9,因为9<15<18,即bsinA<a<b,所以三角形解的个数为2.6.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=60°,a=QUOTE,b=QUOTE,则B= ()A.30° B.45° C.60° D.135°【解析】选B.在△ABC中,由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,即sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因为0°<B<180°,且a>b,则A>B,所以B=45°.又因为B∈(0,π),且a>b,则A>B,所以B=45°.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在△ABC中,acosA=bcosB,则这个三角形的形态为________.

【解析】由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=QUOTE,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案:等腰三角形或直角三角形.8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=50QUOTE,c=150,B=30°,则边长a=________或________.

【解析】由正弦定理,可得QUOTE=QUOTE,得sinC=QUOTE,因为150>50QUOTE,所以C=60°或120°.若C=60°,则∠A=90°.由勾股定理得a=100QUOTE,若C=120°,则∠A=30°.所以a=b=50QUOTE.答案:50QUOTE100QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.在三角形ABC中,已知a=5,b=5QUOTE,A=30°,解此三角形.【解析】在△ABC中,由正弦定理QUOTE=QUOTE=QUOTE,得sinB=QUOTE=QUOTE.因为b>a,所以B=60°或120°,当B=60°时,C=180°-(A+B)=90°,则c=QUOTE=QUOTE=10;当B=120°时,C=180°-(A+B)=30°,则c=QUOTE=QUOTE=5.综上可得,B=60°,C=90°,c=10或B=120°,C=30°,c=5.10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且QUOTE=QUOTE=QUOTE.(1)求C.(2)若b=QUOTE+QUOTE,求△ABC的周长.【解析】(1)由正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因为sinC≠0,所以sinA=cosA,从而tanA=1.因为0<A<π,所以A=QUOTE.又因为sinC=QUOTEcosA=QUOTE,a>c,所以C=QUOTE.(2)由(1)得sinB=sin(A+C)=sinQUOTE=QUOTE,由正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE,可得a=2QUOTE,c=2.所以△ABC的周长为2QUOTE+QUOTE+QUOTE+2=3QUOTE+QUOTE+2.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在△ABC中,A=QUOTE,AB=2,BC=5,则cosC= ()A.±QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为A=QUOTE,AB=2,BC=5,所以由正弦定理可得:QUOTE=QUOTE,可得:sinC=QUOTE=QUOTE,因为AB<BC,可得:C为锐角,所以cosC=QUOTE=QUOTE.2.(2024·白山高一检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2bsinC,B≤QUOTE,则B= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为c=2bsinC,所以sinC=2sinBsinC,所以sinB=QUOTE,则B=QUOTE或QUOTE,因为B≤QUOTE,所以B=QUOTE.3.在△ABC中,已知tanA=QUOTE,tanB=QUOTE,且△ABC最大边的长为QUOTE,则△ABC的最小边为 ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.3【解析】选C.在△ABC中,已知tanA=QUOTE=QUOTE,tanB=QUOTE=QUOTE<1,所以A<B<QUOTE,所以C>QUOTE.再依据tanC=-tan(A+B)=-QUOTE=-1,所以C=QUOTEπ,所以C>B>A,再依据sin2A+cos2A=1,求得sinA=QUOTE,cosA=QUOTE,且△ABC最大边的长为QUOTE,则c=QUOTE,a为最小的边.再利用正弦定理可得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得a=QUOTE.4.在△ABC中,b=17,c=24,B=45°,则此三角形解的状况是 ()A.一解 B.两解C.一解或两解 D.无解【解析】选B.QUOTE=QUOTE⇒sinC=QUOTE=QUOTE,因为c>b,0°<C<135°,所以角C有两个,故三角形有两解.5.在△ABC中,已知A=60°,C=30°,c=5,则a= ()A.5B.10C.5QUOTED.5QUOTE【解析】选C.因为在△ABC中,A=60°,C=30°,c=5,所以由正弦定理QUOTE=QUOTE,得a=QUOTE=QUOTE=5QUOTE.二、填空题(每小题5分,共20分)6.在边长为2QUOTE的等边△ABC中,点O为△ABC外接圆圆心,则·=________.

【解析】设三角形的外接圆半径为r,由正弦定理得QUOTE=2r,所以r=2,由题得<,>=QUOTE,所以·=2·2·cosQUOTE=-2.答案:-27.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=QUOTE,则C=________.

【解析】由题可得sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,即sinC(sinA+cosA)=QUOTEsinCsin(A+QUOTE)=0,所以A=QUOTE.由正弦定理QUOTE=QUOTE可得QUOTE=QUOTE,即sinC=QUOTE,因为c<a,所以C<A,所以C=QUOTE.答案:QUOTE8.△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若QUOTE=QUOTE,则B=________.

【解析】因为QUOTE=QUOTE,所以由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即cosCsinB=2sinAcosB-sinCcosB,2sinAcosB=cosCsinB+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,因为sinA≠0,所以cosB=QUOTE,又因为0<B<π,所以B=QUOTE.答案:QUOTE9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,给出下列结论:①若A>B>C,则sinA>sinB>sinC;②必存在A,B,C,使tanAtanBtanC<tanA+tanB+tanC成立;③若a=40,b=20,B=25°,则△ABC必有两解.其中,结论正确的编号为________(填写编号).

【解析】①在三角形中,A>B>C,得a>b>c,由正弦定理QUOTE=QUOTE=QUOTE,可知sinA>sinB>sinC,所以①正确;②若A,B,C有一个为直角时不成立,若A,B,C都不为直角,因为A+B=π-C,所以tan(A+B)=tan(π-C),即QUOTE=-tanC,则tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC,所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,即②错误;③因为asinB=40sin25°<40sin30°=40×QUOTE=20,即asinB<b<a,所以,△ABC必有两解.所以③正确.综上,结论正确的编号为①③.答案:①③三、解答题(每小题10分,共30分)10.(2024·厦门高一检测)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD>90°,AB=2,AC=QUOTE+QUOTE,∠BCA=30°,∠ADB=45°.(1)求sin∠BAD.(2)求AD的长度.【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,所以sin∠ABC=QUOTE=QUOTE,因为AD∥BC,所以∠BAD=180°-∠ABC,sin∠BAD=sin(180°-∠ABC)=sin∠ABC=QUOTE.(2)由(1)可知cos∠BAD=-QUOTE=-QUOTE,sin∠ABD=sin(∠BAD+45°)=QUOTE(sin∠BAD+cos∠BAD)=QUOTE,在△ABD中,由正弦定理,得AD=sin∠ABD·QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.11.在△ABC中,已知QUOTEsinA-cosA=1,cosB=QUOTE,AB=4+QUOTE.(1)求内角A的大小.(2)求边BC的长.【解析】(1)因为QUOTEsinA-cosA=1,所以2sinQUOTE=1,即sinQUOTE=QUOTE,因为0<A<π,所以-QUOTE<A-QUOTE<QUOTE,所以A-QUOTE=QUOTE,所以A=QUOTE.(2)因为sin2B+cos2B=1,cosB=QUOTE,B∈QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE,所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.在△ABC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,得BC=5.12.(2024·北京高考)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-QUOTE.(1)求A.(2)求AC边上的高.【解析】(1)在△ABC中,因为cosB=-QUOTE,所以B∈QUOTE,所以sinB=