2024-2025学年新教材高中数学模块评价同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE模块素养评价(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.设复数z满意QUOTE=i,则|z|= ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】选A.因为QUOTE=i,所以z=QUOTE=QUOTE=i,故|z|=1.2.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|= ()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.10【解析】选B.因为a⊥b,所以a·b=0,所以x-2=0,所以x=2,所以a+b=(3,-1),|a+b|=QUOTE.3.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.总的基本领件是:(红黄,白紫);(红白,黄紫);(红紫,黄白),共3种.满意条件的基本领件是:(红黄,白紫);(红白,黄紫),共2种.故所求事务的概率为P=QUOTE.4.设向量a,b满意|a+b|=QUOTE,a·b=4,则|a-b|= ()A.QUOTE B.2QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】选C.考查向量的数量积.因为|a+b|=QUOTE,a·b=4,所以|a+b|2-|a-b|2=4a·b=16,所以|a-b|=2.5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 ()A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7【解析】选B.方法一:画Venn图,如图设只用非现金支付(不用现金支付)的概率为x,则0.45+0.15+x=1,解得x=0.4,所以不用现金支付的概率为0.4.方法二:记“用现金支付”为事务A,“用非现金支付”为事务B,则“只用非现金支付(不用现金支付)”为事务B-(A∩B),由已知,P(A)=0.45+0.15=0.6,P(A∩B)=0.15,又P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.6+P(B)-0.15=1,所以P(B)=0.55,P(B-(A∩B))=P(B)-P(A∩B)=0.55-0.15=0.4.6.甲、乙两组工人制造零件的个数分别是:甲:9,9,10,10,12;乙:8,9,9,10,11.若分别从甲、乙两组中随机选取一名工人,则这两名工人制造的零件总数不超过20的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.甲组中5名工人分别记为a,b,c,d,e,乙组中5名工人分别记为A,B,C,D,E,分别从甲、乙两组中随机选取1名工人,共有25种方法,制造零件总数超过20的有:eB,eC,eD,eE,dE,cE,共6种,故这两名工人制造的零件总数不超过20的概率P=1-QUOTE=QUOTE.7.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等且QUOTE=QUOTE,则QUOTE的值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则有2πr1h1=2πr2h2,即r1h1=r2h2,又QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,则QUOTE=QUOTE=QUOTE.8.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,点M为△ABC的重心.若a+b+QUOTEc=0,则C= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为M为△ABC的重心,则++=0,所以=--,因为a+b+QUOTEc·=0,所以a·(--)+b+QUOTEc·=0.即(b-a)·+QUOTE·=0,因为与不共线,所以b-a=0,QUOTEc-a=0,得a∶b∶QUOTEc=1∶1∶1,令a=1,b=1,c=QUOTE,则cosC=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以C=QUOTE.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.某校150名教职工中,有老年人20名,中年人50名,青年人80名,从中抽取30名作为样本.①采纳简洁随机抽样法:抽签取出30个样本;②采纳分层随机抽样法:从老年人、中年人、青年人中抽取30个样本.下列说法中正确的是 ()A.无论采纳哪种方法,这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等B.采纳方法①抽样,这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等;②并非如此C.采纳方法②抽样,这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等;①并非如此D.采纳方法②抽样,从老年人、中年人、青年人中抽取的人数分别为4,10,16【解析】选AD.两种抽样方法中,每个人被抽到的概率都等于QUOTE=QUOTE,A对,BC错误.采纳方法②抽样,从老年人、中年人、青年人中抽取的人数分别为30×QUOTE=4,30×QUOTE=10,30×QUOTE=16,D对.10.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则下面命题正确的为 ()A.α∥β⇒l⊥mB.α⊥β⇒l∥mC.l∥m⇒α⊥βD.l⊥m⇒m与α不相交【解析】选ACD.由α∥β,l⊥α得l⊥β,又m⊂β,所以l⊥m,A正确;由α⊥β,l⊥α得l⊂β或l∥β,故不能得到l∥m,B错误;由l⊥α,l∥m得m⊥α,又m⊂β,所以α⊥β,C正确;由l⊥m,l⊥α得m⊂α或m∥α,故m,α不相交,D正确.11.下列命题正确的是 ()A.a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R,使得b=λaB.e为单位向量,且a∥e,则a=±|a|eC.|a·a·a|=|a|3D.若a·b=b·c且b≠0,则a=c【解析】选BC.A中,因为a=b=0时,λ不唯一,故A错;D中a·b=b·c⇒|a|·|b|cosθ1=|b|·|c|·cosθ2(θ1,θ2分别为a与b及b与c的夹角),又|b|≠0,所以由|a|·cosθ1=|c|·cosθ2推不出a=c,故D不正确.BC正确.12.如图所示,边长为2a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列结论,其中正确的是 ()A.动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B.三棱锥A′-FED的体积有最大值C.恒有平面A′GF⊥平面BCEDD.异面直线A′E与BD不行能相互垂直【解析】选ABC.因为DE⊥A′G,DE⊥GF,A′G∩GF=G,所以DE⊥平面A′GF,又DE⊂平面BCED,所以平面A′GF⊥平面BCED,故C正确.过A′作A′H⊥AF,垂足为H,则A′H⊂平面A′GF,所以A′H⊥DE,又DE∩AF=G,所以A′H⊥平面ABC,故A正确.三棱锥A′-FED的底面△FED的面积是定值,高是点A′到平面FED的距离.易证当A′G⊥平面FED时距离(即高)最大,三棱锥A′-FED的体积最大,故B正确.易知BD∥EF,所以∠A′EF是异面直线A′E与BD所成的角(或其补角).正△ABC的边长为2a,AE=a,EF=a,而A′F的长度的取值范围是(0,QUOTEa),当A′F=QUOTEa时,A′E2+EF2=A′F2,∠A′EF=90°,此时直线A′E与BD相互垂直,故D错误.三、填空题(每小题5分,共20分)13.设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=.

【解析】(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,所以a+1=0,a=-1.答案:-114.某种心脏病手术,胜利率为0.6,现打算进行3例此种手术,利用计算机产生0～9之间取整数值的随机数,用0,1,2,3代表手术不胜利,用4,5,6,7,8,9代表手术胜利,产生20组随机数:966,907,191,924,270,832,912,468,578,582,134,370,113,573,998,397,027,488,703,725,则恰好胜利1例的概率为.

【解析】设恰好胜利1例的事务为A,A所包含的基本领件为191,270,832,912,134,370,027,703共8个.则恰好胜利1例的概率为P(A)=QUOTE=0.4.答案:0.415.设三棱柱的侧棱垂直于底面,全部棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为.

【解析】由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为a.设O,O1分别为下、上底面的中心,且球心O2为O1O的中点,又AD=QUOTEa,AO=QUOTEa,OO2=QUOTE,设球的半径为R,则R2=AQUOTE=QUOTEa2+QUOTEa2=QUOTEa2,所以S球=4πR2=4π×QUOTEa2=QUOTEπa2.答案:QUOTEπa216.某班开展一次智力竞赛活动,共a,b,c三个问题,其中题a满分是20分,题b,c满分都是25分,每道题或者得满分,或者得0分,活动结果显示,全班同学每人至少答对一道题,有1名同学答对全部三道题,有15名同学答对其中两道题,答对题a与题b的人数之和为29,答对题a与题c的人数之和为25,答对题b与题c的人数之和为20,则该班同学中只答对一道题的人数是;该班的平均成果是.

【解析】设x,y,z分别是答对a,b,c题的人数,则有QUOTE解得QUOTE答对一道题的人数为(17+12+8)-3×1-2×15=4,全班总人数为4+15+1=20,全班总得分为17×20+(12+8)×25=840,平均成果为QUOTE=42.答案:442四、解答题(共70分)17.(10分)如图,在△OBC中,A是边BC的中点,||=2||,DC和OA交于点E,设=a,=b.(1)用a和b表示向量,.(2)若=λ,求实数λ的值.【解析】(1)=+=+2=+2(-)=2-=2a-b;=+=QUOTE+2(-)=2-QUOTE=2a-QUOTEb.(2)设=μ=2μa-QUOTEμb,则=+=2a-b+2μa-QUOTEμb=(2+2μ)a-QUOTEb,又=λ=λa,所以QUOTE解得λ=QUOTE.18.(12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到表格:电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率.(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率.【解析】(1)由表知,电影公司收集的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000,获得好评的第四类电影部数为200×0.25=50,所以所求概率为QUOTE=0.025.(2)记“从第四类电影中随机选取的1部获得好评”为事务A,记“从第五类电影中随机选取的1部获得好评”为事务B,则事务“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”可表示为AQUOTE+QUOTEB,由表知,P(A)=0.25,P(B)=0.2,全部电影是否获得好评相互独立,所以P(QUOTE)=1-P(A)=0.75,P(QUOTE)=1-P(B)=0.8,P(AQUOTE+QUOTEB)=P(AQUOTE)+P(QUOTEB)=P(A)P(QUOTE)+P(QUOTE)P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35,即所求概率为0.35.19.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=QUOTE,B=A+QUOTE.(1)求b的值;(2)求△ABC的面积.【解析】(1)在△ABC中,由题意知,sinA=QUOTE=QUOTE,又因为B=A+QUOTE,所以sinB=sinQUOTE=cosA=QUOTE,由正弦定理,得b=QUOTE=QUOTE=3QUOTE.(2)由余弦定理,得cosA=QUOTE=QUOTE⇒c2-4QUOTEc+9=0⇒c=QUOTE或3QUOTE,又因为B=A+QUOTE为钝角,所以b>c,即c=QUOTE,所以S△ABC=QUOTEacsinB=QUOTE.20.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(1)证明:平面AEC⊥平面BED.(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为QUOTE,求该三棱锥的侧面积.【解析】(1)因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC=QUOTEx,GB=GD=QUOTE.因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=QUOTEx.由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=QUOTEx.由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=QUOTE×QUOTEAC·GD·BE=QUOTEx3=QUOTE.故x=2.从而可得AE=EC=ED=QUOTE.所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为QUOTE.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2QUOTE.21.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=QUOTE.M,N分别为BC和CC1的中点,P为侧棱BB1上的动点.(1)求证:平面APM⊥平面BB1C(2)若P为线段BB1的中点,求证:A1N∥平面APM.(3)试推断直线BC1与平面APM是否能够垂直.若能垂直,求PB的值;若不能垂直,请说明理由.【解析】(1)由已知,M为BC中点,且AB=AC,所以AM⊥BC.又因为BB1∥AA1,且AA1⊥底面ABC,所以BB1⊥底面ABC.因为AM⊂底面ABC,所以BB1⊥AM,又BB1∩BC=B,所以AM⊥平面BB1C又因为AM⊂平面APM,所以平面APM⊥平面BB1C(2)取C1B1中点D,连接A1D,DN,DM,B1C由于D,M分别为C1B1,CB的中点,所以DM∥A1A,且DM=A1A,则四边形A1AMD为平行四边形,所以A1D∥AM.又A1D⊄平面APM,AM⊂平面APM,所以A1D∥平面APM,由于D,N分别为C1B1,C1C又P,M分别为B1B,CB的中点,所以MP∥B1C又DN⊄平面APM,MP⊂平面APM,所以DN∥平面APM.由于A1D∩DN=D,所以平面A1DN∥平面APM,由于A1N⊂平面A1DN,所以A1N∥平面APM,(3)不能垂直.理由如下:假设BC1与平面APM垂直,由PM⊂平面APM,则BC1⊥PM,设PB=x,x∈[0,QUOTE].当BC1⊥PM时,∠BPM=∠B1C1所以Rt△BPM∽Rt△B1C1B,所以QUOTE=QUOTE.由已知MB=QUOTE,C1B1=2QUOTE,BB1=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,得x=QUOTE.由于x=QUOTE∉[0,QUOTE],因此直线BC1与平面APM不能垂直.22.(12分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的运用状况,从全校