2025届高考数学一轮复习选修4-4坐标系与参数方程学案理含解析

PAGE坐标系与参数方程[最新考纲][考情分析][核心素养]1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的改变状况.2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区分，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简洁图形的方程.4.了解参数方程，了解参数的意义.5.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.1.极坐标与直角坐标、极坐标方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程的应用是2024年高考考查的热点，题型为解答题，分值为10分.2.参数方程与一般方程互化，参数方程的应用，参数方程与极坐标方程的综合应用是2024年高考考查的热点，题型为解答题，分值为10分.1.数学建模2.数学运算‖学问梳理‖1．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个eq\x(1)定点O，叫做极点；自极点O引一条eq\x(2)射线Ox，叫做极轴；再选定一个eq\x(3)长度单位、一个eq\x(4)角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的eq\x(5)距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数列(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．2．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内随意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\x(6)ρcosθ，,y＝\x(7)ρsinθ；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2＝\x(8)x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)（x≠0）.))3．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，假如曲线C上eq\x(9)随意一点P的坐标(x，y)是某个变数t的函数：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t），))并且对于t的每一个允许值，由函数式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t）))所确定的点P(x，y)都在eq\x(10)曲线C上，那么方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t）))叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称eq\x(11)参数．相对于参数方程而言，干脆给出点的坐标间关系的方程叫做eq\x(12)一般方程．►常用结论直线、圆、椭圆的参数方程1．过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)．留意t的几何意义．2．圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y0＋rsinθ))(θ为参数)．3．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ为参数)．‖基础自测‖一、疑误辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．()(2)若点P的直角坐标为(1，－eq\r(3))，则点P的一个极坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3))).()(3)过M0(x0，y0)，倾斜角为αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))的直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量．()(4)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝1＋2sinθ))(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√二、走进教材2．(选修4－4P25例3改编)曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosθ，,y＝2＋sinθ))(θ为参数)的对称中心()A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上答案：B3．(选修4－4P15T3改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A．ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,2)B．ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,4)C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,2)D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,4)答案：A4．(选修4－4P37例2改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t－a))(t为参数)过椭圆C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ，,y＝2sinφ))(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．答案：3三、易错自纠5．圆ρ＝5cosθ－5eq\r(3)sinθ的圆心的极坐标为________．解析：将方程ρ＝5cosθ－5eq\r(3)sinθ两边同乘ρ，得ρ2＝5ρcosθ－5eq\r(3)ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2－5x＋5eq\r(3)y＝0.圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(5\r(3),2)))，化成极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(5π,3))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(5π,3)))(答案不唯一)6．在平面直角坐标系中，若曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，则其一般方程为________．解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝0eq\a\vs4\al(考点一\a\vs4\al(曲线的极坐标方程))【例1】(2024年全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝eq\f(π,3)时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．[解](1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝eq\f(π,3)时，ρ0＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3).由已知得，|OP|＝|OA|coseq\f(π,3)＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P的随意一点．连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝|OP|＝2.经检验，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))在曲线ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝2上．所以l的极坐标方程为ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).所以P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).►名师点津有关曲线的极坐标方程的求解策略在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，假如不能干脆用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．|跟踪训练|1．(2024年江苏卷)在极坐标系中，已知两点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,2)))，直线l的方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝3.(1)求A，B两点间的距离；(2)求点B到直线l的距离．解：(1)设极点为O，在△OAB中，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,2)))，由余弦定理，得AB＝eq\r(32＋（\r(2)）2－2×3×\r(2)×cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,4))))＝eq\r(5).(2)因为直线l的方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝3，所以直线l过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(π,2)))，倾斜角为eq\f(3π,4).又Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,2)))，所以点B到直线l的距离为(3eq\r(2)－eq\r(2))×sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－\f(π,2)))＝2.eq\a\vs4\al(考点二\a\vs4\al(参数方程及应用))【例2】(2025届湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)，直线l与曲线C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,cosθ)，,y＝tanθ))(θ为参数)相交于不同的两点A，B．(1)若α＝eq\f(π,3)，求线段AB的中点的直角坐标；(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3，0)，求|PA|·|PB|的值．[解](1)由曲线C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,cosθ)，,y＝tanθ))(θ为参数)，可得曲线C的一般方程是x2－y2＝1.当α＝eq\f(π,3)时，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)，代入曲线C的一般方程，得t2－6t－16＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2.则t1＋t2＝6，所以线段AB的中点对应的t＝eq\f(t1＋t2,2)＝3，故线段AB的中点的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，\f(3\r(3),2))).(2)将直线l的参数方程代入曲线C的一般方程，化简得(cos2α－sin2α)t2＋6cosαt＋8＝0，则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(8,cos2α－sin2α)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(8（1＋tan2α）,1－tan2α)))，由已知得，tanα＝2，故|PA|·|PB|＝eq\f(40,3).►名师点津参数方程化为一般方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在将参数方程化为一般方程时，要留意保持同解变形．|跟踪训练|2．已知曲线C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的一般方程；(2)过曲线C上随意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解：(1)曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)．直线l的一般方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上随意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|，则|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝eq\f(4,3).当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为eq\f(22\r(5),5).当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为eq\f(2\r(5),5).eq\a\vs4\al(\x(考点三)\a\vs4\al(参数方程与极坐标方程的综合应用))【例3】(2024年全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－t2,1＋t2)，,y＝\f(4t,1＋t2)))(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋eq\r(3)ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．[解](1)因为－1<eq\f(1－t2,1＋t2)≤1，且x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t2,1＋t2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4t2,（1＋t2）2)＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋eq\r(3)y＋11＝0.(2)由(1)可设，C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝2sinα))(α为参数，－π<α<π)．C上的点到l的距离为eq\f(|2cosα＋2\r(3)sinα＋11|,\r(7))＝eq\f(4cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋11,\r(7)).当α＝－eq\f(2π,3)时，4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为eq\r(7).►名师点津参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为一般方程和直角坐标方程后求解．当然还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几