同步优化设计2024年高中数学第三章空间向量与立体几何4.1直线的方向向量与平面的法向量课后篇巩固提升含解析北师大版选择性必修第一册

第三章空间向量与立体几何§4向量在立体几何中的应用4.1直线的方向向量与平面的法向量课后篇巩固提升合格考达标练1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)答案A2.若u=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量能作为平面α的法向量的是()A.(0,-3,1) B.(2,0,1)C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)答案D3.若平面α∥β,则下面选项中可以是这两个平面法向量的是()A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)答案D解析因为平面α∥β,所以两个平面的法向量应当平行,只有D项符合.4.下列各组向量中不平行的是()A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40)答案D5.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则()A.x=6,y=15 B.x=3,y=15C.x=3,y=15 D.x=6,y=15答案D解析由题意,有a∥b,则32=x4=y56.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是.(填序号)

①AB②AA1③B1答案②③7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.解如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).设平面ACD1的法向量n=(x,y,z).∵AC=(-1,1,0),AD1=(又n为平面ACD1的一个法向量,∴n∴(x,y,令x=1,得y=z=1.∴平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1).8.在三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BD∥AC,DC∥AB.解建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).由BD∥AC,DC∥AB,可得BD∥因此(解得x即点D的坐标为(-1,1,2).等级考提升练9.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面α的法向量,则m,n的值分别为()A.-1,2 B.1,-2C.1,2 D.-1,-2答案A解析c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c为平面α的法向量,得c解得m10.在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,在如图所示的坐标系下,下列向量是平面PAB的法向量的是()A.1,B.(1,2,1)C.(1,1,1) D.(2,-2,1)答案A解析PA=(1,0,-2),AB=(-1,1,0).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,1),则x解得x∴n=(2,2,1).又1,1,12=11.(多选题)已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2) B.1C.-1D.(0,-1,1)答案ABC解析因为PM=(0,2,4),直线l平行于向量a,若n是平面α的一个法向量,则必需满意n·a=0,n·PM=0,把选项代入验证12.已知向量a=(1,3,5),b=(2,4,6),若n与x轴垂直,且a·n=12,n·b=14,则n=()A.(0,-1,3)B.(0,1,3)C.(0,-1,-3)D.(0,1,-3)答案A解析设n=(0,y,z),由题意得3解得y=-1,z=3.13.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为棱长是1的正方体,下列结论正确的是()A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)答案ABC解析DD1∥AA1,AA1=(0,0,1);BC1∥AD1,AD1=(0,1,1);直线AD⊥平面ABB1A1,AD=(0,1,0);C1点坐标为(1,1,1),∵AC1与平面B1CD不垂直,14.在空间直角坐标系O-xyz中,已知平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上随意一点,则点P的坐标满意的方程是.

答案x-y+2z+1=0解析由题意知AP·n=0,即x-y+2z+1=0.15.若向量a=(x,2,1),b=(1,y,3)都是直线l的方向向量,则x+y=.

答案19解析依据题意可知a∥b,故存在实数λ,使a=λb,即(x,2,1)=λ(1,y,3),即x=λ,2=λy,1=3λ,16.四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.解∵AD,AB,AS是三条两两垂直的线段,∴以A为原点,以AD,AB,AS的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,0,0),D(1,0,0),∴AD=(1,0,0)是平面SAB的法向量.设平面SCD的一个法向量为n=(1,y,z),则n·DC=(1,y,z)·(1,2,0)=1+2y=0,∴y=-12又n·DS=(1,y,z)·(-1,0,2)=-1+2z=0,∴z=12∴n=1,-12,新情境创新练17.已知M为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM∥平面BB1D1D,摸索讨点P的准确位置.解以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.依据题意可设PA=a,DC=b,DD1=c,则A(a,0,0),B