2024-2025学年高中数学第一章推理与证明1.1.1归纳推理学案含解析北师大版选修2-2

PAGE§1归纳与类比1．1归纳推理授课提示：对应学生用书第1页[自主梳理]一、推理推理一般包括______推理和________推理．二、归纳推理的定义依据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中________都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．三、归纳推理的特征归纳推理是由部分到________，由个别到________的推理．[双基自测]1．数列1,5,10,16,23,31，x,50，…中的x等于()A．38 B．39C．40 D．412．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集个数为()A．n B．n＋1C．2n D．2n－13．在数列{an}中，已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为()A．3 B．－3C．6 D．－64．视察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，则可归纳出________．5．如图(1)，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此接着下去，得图(3)…试用n表示出第(n)个图形的边数an＝________.[自主梳理]一、合情演绎二、每一个事物三、整体一般[双基自测]1．C前6项从第2项起每一项与前一项的差分别为4,5,6,7,8，由此可得x＝31＋9＝40.2．C由前三个集合子集的个数分别为21,22,23，可归纳得出{a1，a2，…，an}的子集个数为2n.3．A由题意可得，a1＝3，a2＝6，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，归纳出每6项一个循环，则a33＝a3＝3.4．1＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1,n＋1)(n∈N＋)利用归纳推理，不等号的右边的分母与左边的最终一项的分母的算术平方根相同，而右边的分子的改变遵循规律2n＋1，n为正整数．5．3×4n－1视察图形可知，a1＝3，a2＝12，a3＝48，…，故{an}是首项为3，公比为4的等比数列，故an＝3×4n－1.授课提示：对应学生用书第1页探究一数、式中的归纳推理[例1]已知：1＞eq\f(1,2)；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＞1；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,7)＞eq\f(3,2)；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)＞2；….请你归纳出一个最贴切的一般性结论.[解析]1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左边最终一项的分母为2n－1，而不等式右端依次分别为：eq\f(1,2)，eq\f(2,2)，eq\f(3,2)，eq\f(4,2)，…，eq\f(n,2).归纳得一般结论：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＞eq\f(n,2)(n∈N＋)．依据给出的数与式，归纳一般结论的思路：(1)视察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代数式的相同或相像之处等；(2)提炼出数、式的改变规律；(3)运用归纳推理写出一般结论．1．视察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，依据上述规律，第五个等式为________．解析：由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1起先的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，….因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212探究二几何图形中的归纳推理[例2]有两种花色的正六边形地面砖．按下图的规律，拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26 B．31C．32 D．36[解析]法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有菱形纹正六边形围绕外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31.[答案]B图形的归纳推理问题，可从图形的改变规律入手求解，一般探讨图形中点、线或面等的增加改变数值，结合数列的学问得出规律．2．(1)如图(a)(b)(c)(d)为四个平面图形．数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表(按填好的例子做)；顶点数边数区域数(a)463(b)(c)(d)(2)视察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系；(3)现已知某个平面图形有1005个顶点，且围成了1005个区域，试依据以上关系确定这个图形有多少条边．解析：(1)填表如下：顶点数边数区域数(a)463(b)8125(c)694(d)10156(2)由该表可以看出，所给四个平面图形的顶点数、边数及区域数之间有下述关系：4＋3－6＝1,8＋5－12＝1,6＋4－9＝1,10＋6－15＝1.所以我们可以推断：任何平面图形的顶点数、边数及区域数之间都有下述关系：顶点数＋区域数－边数＝1.(3)由上面所给的关系，可知所求平面图形的边数．边数＝顶点数＋区域数－1＝1005＋1005－1＝2009.对归纳推理的特征驾驭不精确致误[例3]对随意正整数n，猜想2n与n2的大小关系是________．[解析]当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32；当n＝4时，24＝42；当n＝5时，25＞52，当n＝6时，26＞62；所以可以猜想当n＝3时，2n＜n2；当n∈N＋且n≠3时，2n≥n2.[答案]当n＝3时，2n＜n2；当n