2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算学案含解析新人教A版选修2-11

PAGE3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算内容标准学科素养1.理解空间向量的概念．2.驾驭空间向量的加法、减法运算.利用直观抽象提升逻辑推理授课提示：对应学生用书第51页[基础相识]学问点一空间向量的概念eq\a\vs4\al(预习教材P84－85，思索并完成以下问题)如图，一块匀称的正三角形的钢板质量为500kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|＝200kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板？图中的三个力F1，F2，F3是既有大小又有方向的量，它们是不在同一平面内的向量．因此，解决这个问题须要空间向量的学问．事实上，不同在一个平面内的向量随处可见．例如，正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))就是不同在一个平面内的向量(如图)．学问梳理(1)空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．(2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记为eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(3)特别向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量学问点二空间向量的加法、减法运算eq\a\vs4\al(预习教材P85－86，思索并完成以下问题)平面对量的加、减法满意怎样的运算法则？提示：加法有三角形法则和平行四边形法则，减法有三角形法则．空间中随意两个向量都可以平移到一个平面内，成为同一平面内的两个向量．已知空间向量a，b，我们可以把它们移到同一个平面α内，以随意点O为起点，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.那么a＋b和a－b如图所示．学问梳理(1)空间向量的加法、减法类似于平面对量，定义空间向量的加法和减法运算(如图)：eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b；eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－b.(2)空间向量加法的运算律空间向量的加法运算满意交换律及结合律：①交换律：a＋b＝b＋a；②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．[自我检测]1．下列命题正确的是()A．若向量a与b的方向相反，则称向量a与b为相反向量B．零向量没有方向C．若a是单位向量，则|a|＝1D．若向量m，n，p满意m＝n，n＝p，则不肯定有m＝p答案：C2．已知空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，则eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A．a＋b－c B．c－a－bC．c＋a－b D．c＋a＋b答案：B授课提示：对应学生用书第52页探究一空间向量及相关概念的理解[例1]给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(BC1,\s\up6(→))是相等向量；④在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是相反向量；⑤在三棱柱ABC­A1B1C1中，与eq\o(AA1,\s\up6(→))的模肯定相等的向量一共有4个．其中正确命题的序号为________．[解析]①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不肯定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；③正确，eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(BC1,\s\up6(→))的模相等，方向相同；④错误，空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))的模不肯定相等，方向也不肯定相反；⑤错误，在三棱柱ABC­A1B1C1中，与eq\o(AA1,\s\up6(→))的模肯定相等的向量是eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，一共有5个．[答案]②③方法技巧解决空间向量相关概念的问题时，留意以下几点：(1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不行；(2)单位向量的方向虽然不肯定相同，但长度肯定为1；(3)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．跟踪探究1.下列说法正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不肯定相同D．若|a|>|b|，|b|>|c|，则a>c解析：对于A，由|a|＝|b|可得a与b的长度相同，但方向不确定；对于B，a与b是相反向量，则它们的模相等，故B正确；对于C，两向量相等，若它们的起点相同，则它们的终点肯定相同，故C错；对于D，向量不能比较大小，故D错．答案：B探究二空间向量的加法与减法运算[教材P86练习3]在图中，用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA′,\s\up6(→))表示eq\o(A′C,\s\up6(→))，eq\o(BD′,\s\up6(→))及eq\o(DB′,\s\up6(→)).解析：eq\o(A′C,\s\up6(→))＝eq\o(A′A,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A′A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→))；eq\o(BD′,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DD′,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DD′,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))；eq\o(DB′,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)).[例2]如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式运算结果为eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()①eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))；④eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)).A．①② B．②③C．③④ D．①④[解析]①eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；②eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；③eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；④eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))，故选A.[答案]A方法技巧1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，敏捷应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要留意和向量、差向量的方向，必要时可采纳空间向量的自由平移获得更精确的结果．2．化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便敏捷运用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：敏捷运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．跟踪探究2.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的是________(填序号)．①(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))；②(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))；④(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)).解析：①(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；②(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；③(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；④(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→)).所以所给四个式子的运算结果都是eq\o(AC1,\s\up6(→)).答案：①②③④授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]空间向量的加法、减法运算法则与平面对量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.[素养培优]1．对空间向量的有关概念理解不清致误下列说法中，错误的个数为()(1)若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同．(2)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))满意|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))同向，则eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→)).(3)若两个非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))满意eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，则eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))互为相反向量．(4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的充要条件是A与C重合，B与D重合．A．1 B．2C．3 D．4易错分析向量相等，则向量的方向相同，模相等，但表示它们的有向线段的起点未必相同，终点也未必相同．故(1)(4)错误．反过来，方向相同，模相等的向量是相等向量，只能用“＝”连接，故(2)错误．自我订正(1)错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．(2)错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．(3)正确，由eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))互为相反向量．(4)错误，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))同向，但A与C，B与D不肯定重合．故一共有3个错误命题，正确答案为C.答案：C2．对向量减法的三角形法则理解记忆不清致误在长方体ABCD­A1B1C1D1中，化简eq\o(DA,\s\up6