2025届高考数学统考一轮复习第七章立体几何第三节空间图形的基本关系与公理课时规范练文含解析北师大版

PAGE第七章立体几何第三节空间图形的基本关系与公理课时规范练A组——基础对点练1．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．bα B．b∥αC．bα或b∥α D．b与α相交或bα或b∥α解析：b与α相交或bα或b∥α都可以．答案：D2．(2024·江西景德镇模拟)将图①中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图②)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．异面且垂直 D．异面但不垂直解析：在题图①中，AD⊥BC，故在题图②中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面，故选C.答案：C3．(2024·湖北荆州模拟)设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列命题正确的是()A．若a⊥b，b⊥α，则a∥αB．若aα，bβ，α∥β，则a与b是异面直线C．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若α∩β＝b，a∥b，则a∥α且a∥β解析：选项A，a可能在α内，故A错；选项B，a与b可能平行可能异面，故B错；选项D，a可能在α或β内，故D错．故选C.答案：C4．(2024·安徽安庆模拟)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是线段BC1A．AD1⊥DP B．AC1⊥DPC．AP⊥B1C D．A1P⊥B解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB＝B，∴B1C⊥平面ABC1∵点P是线段BC1上随意一点，∴AP平面ABC1D1，∴AP⊥B1C答案：C5．(2024·河北模拟)若a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若a∥α，b∥β，a⊥b，则α⊥βB．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥βD．若a∥α，b⊥β，a⊥b，则α∥β解析：∵a∥b，a⊥α，∴b⊥α，又b⊥β，∴α∥β.故选C.答案：C6.(2024·广东东莞模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，EA．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1AC．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1D．A1C1∥平面AB1解析：因为CC1与B1E都在平面CC1B1B内，且CC1与B1E是相交直线，所以选项A错误．假设AC⊥平面ABB1A1，则AC⊥AB，即∠CAB＝90°，从而可得∠C1A1B1＝90°，这与题设“底面三角形A1B1C1是正三角形”冲突，故假设错误，即选项B错误．因为点B1∉AE，直线B1C1交平面AEB1于点B1，所以AE，B1C1为异面直线；由题意可知△ABC是正三角形，又E是BC的中点，所以AE⊥BC，结合BC∥B1C1可得AE⊥B1C1，故选项C正确．因为直线AC交平面AB1E于点A，又AC∥A1C1，所以直线A1C1与平面AB1E相交，故选项D错误．综上，选C.答案：C7．如图，圆柱O1O2的底面半径为1，高为2，AB是一条母线，BD是圆O1的直径，C是上底面圆周上一点，∠CBD＝30°，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A.eq\f(3\r(35),35) B．eq\f(4\r(35),35)C.eq\f(3\r(7),14) D.eq\f(2\r(7),7)解析：连接AO2，设AO2的延长线交下底面圆周上的点为E，连接CE，易知∠CAE(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角，连接CD(图略)，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BD＝2，∠CBD＝30°，得BC＝eq\r(3)，CD＝1.又AB＝DE＝AE＝BD＝2，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(7)，CE＝eq\r(DC2＋DE2)＝eq\r(5)，所以在△CAE中，cos∠CAE＝eq\f(AC2＋AE2－CE2,2AC·AE)＝eq\f(7＋4－5,2×\r(7)×2)＝eq\f(3\r(7),14)，即异面直线AC与BD所成角的余弦值为eq\f(3\r(7),14).答案：C8．(2024·江西高安段考)已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，AA1＝eq\r(2)，则异面直线A1B1与BD1所成角的大小为________．解析：∵A1B1∥AB，∴∠ABD1为异面直线A1B1与BD1所成的角，连接AD1(图略)，则在Rt△ABD1中，AB＝1，易得AD1＝eq\r(3)，∴tan∠ABD1＝eq\f(AD1,AB)＝eq\r(3)，∴∠ABD1＝60°.答案：60°9.(2024·赣州模拟)如图所示是正四面体的平面绽开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN为异面直线，且所成的角为90°，即DE与MN垂直．答案：②③④B组——素养提升练10．(2024·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，lβ，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④ B．③④C．①② D．①③解析：对于①，若α∥β，m⊥α，lβ，则m⊥l，故①正确，解除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又lβ，所以α⊥β，故④正确．选A.答案：A11．如图是一几何体的平面绽开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：将绽开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⃘平面PBC，BC平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不肯定垂直，④错．故选B.答案：B12．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交解析：法一：如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确，选D.法二：因为l分别与l1，l2共面，故l与l1，l2，要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2，与l1，l2是异面直线冲突，故l至少与l1，l2中的一条相交，选D.答案：D13．(2024·河南安阳一模)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cosθ解析：如图所示，设正方体的表面ABB1A1的中心为P，简单证明OP∥A1D，所以直线l即为直线OP，角θ即∠POC1.设正方体的棱长为2，则OP＝eq\f(1,2)A1D＝eq\r(2)，OC1＝eq\r(6)，PC1＝eq\r(6)，则cos∠POC1＝eq\f(2＋6－6,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),6).答案：eq\f(\r(3),6)14.如图所示，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满意条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满意条件________时，四边形EFGH是正方形．解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝eq\f(1,2)BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝eq\f(1,2)AC＝HG，明显四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满意EF＝EH，即AC＝BD；要使平行四边形EFGH为正方形需满意EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.答案：AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD15．如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．解析：如图，取A1C1的中点D1，连接B1D1.因为D是AC的中点，所以B1D1∥BD，所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角或补角．连接AD1，设AB＝a，则AA1＝eq\r(2)a，所以AB1＝eq\r(3)a，B1D1＝eq\f(\r(3),2)a，AD1＝eq\r(\f(