第四章等可能条件下的概率（知识归纳题型突破）

第四章等可能条件下的概率（知识归纳+题型突破）知道试验的结果具有等可能性的含义。会求等可能条件下的概率。能够运用列表法和树状图法计算简单事件发生的概率。等可能性：一般的，设一个试验的所有可能发生的结果有n个。它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现。如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性。等可能条件下的概率：等可能条件下的概率计算方法和步骤是列出所有的可能结果，并判定每个结果发生的可能性相等。确定所有可能发生的结果个数n和其中出现所求事件的结果个数m。计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=m用列举法计算概率常见的列举法有两种：列举法和画树状图法题型一判断事件发生的可能性大小【例1】一份粽子礼盒中装有豆沙、咸蛋黄、鲜肉三种不同口味的粽子，从这个礼盒中随机取出一个粽子，则取出鲜肉粽子的可能性最大的是（

）A．有1个豆沙、2个咸蛋黄和5个鲜肉的礼盒B．有2个豆沙、3个咸蛋黄和3个鲜肉的礼盒C．有3个豆沙、3个咸蛋黄和2个鲜肉的礼盒D．有4个豆沙、3个咸蛋黄和1个鲜肉的礼盒【答案】A【分析】分别计算出四个选项中取出咸肉粽子的概率，即可得出答案．【详解】解：A、有1个豆沙、2个咸蛋黄和5个鲜肉的礼盒取出咸肉粽的可能性为；B、有2个豆沙、3个咸蛋黄和3个鲜肉的礼盒取出咸肉粽的可能性为；C、有3个豆沙、3个咸蛋黄和2个鲜肉的礼盒取出咸肉粽的可能性为；D、有4个豆沙、3个咸蛋黄和1个鲜肉的礼盒取出咸肉粽的可能性为；故选：A．【例2】彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（

）A．一定正面朝上 B．一定反面朝上C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上【答案】D【分析】根据等可能事件的意义解答即可．【详解】解：抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同，每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上，故选：D．【例3】一只不透明的袋子中装有10个白球、20个黄球和30个红球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，则下列事件：（1）该球是白球；（2）该球是黄球；（3）该球是红球；则发生的可能性最大的为：（只填写序号）．【答案】（3）【分析】根据概率公式，分别求出各个事件发生的概率，再进行比较即可．【详解】解：∵袋子中装有10个白球、20个黄球和30个红球，∴一共有个球，∴（1）该球是白球的概率；（2）该球是黄球；（3）该球是红球；∵，∴该球是红球发生的可能性最大，故答案为：（3）．【例4】在一副扑克牌中，任意抽取一张，则下列事件：①抽到“红桃”；②抽到“黑桃”；③抽到“”；④抽到“红色的”，则事件发生的可能性最大的是．（填序号）【答案】④【分析】根据题意逐项分析判段即可求解．【详解】解：在一副扑克牌中，有54张纸牌，有4种花色，2种颜色，“黑桃”有1个，“”有4个，则①抽到“红桃”的概率为；②抽到“黑桃”的概率为；③抽到“”的概率是；④抽到“红色的”概率为，则事件发生的可能性最大的是④，故答案为：④．巩固训练1．转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的可能性最大的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】找出哪幅图中红色区域所占的份数最多，即可得出结果．【详解】解：在转盘中的4等份中，A中红色区域为1份，B中红色区域为1份，C中红色区域为2份，D中红色区域为3份，当转盘停止转动时，D中指针指向红色区域的可能性最大，故选：D．2．一只不透明的口袋中装有3只黄色乒乓球和5只白色乒乓球（除颜色外都相同），搅匀后从中任意摸出一只乒乓球，摸到（填写“黄”或“白”）色乒乓球的可能性大．【答案】白【分析】用个体分别除以总数，算出可能性再进行比较．【详解】解：∵袋中共8个乒乓球，3只黄色乒乓球和5只白色乒乓球，∴摸到黄色乒乓球的可能性为，摸到白色乒乓球可能性为．∵∴白色可能性大．故答案为：白．3．一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，①该球是白球；②该球是黄球；③该球是红球．将这些事件的序号按发生的可能性从小到大排列为．【答案】【分析】根据概率公式，求出各个事件发生的概率，再进行比较即可．【详解】解：∵袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，∴摸出白球概率，摸出黄球概率，摸出红球概率，∴将这些事件的序号按发生的可能性从小到大排列为；故答案为：．4．有4根小棒，长度分别是1，6，7，8，从中任取3根，能围成三角形的可能性比不能围成三角形的可能性()．（填“大”或“小”）【答案】小【分析】根据任意两边之和大于第三边确定构成三角形的可能性，问题即可作答．【详解】任选3根，总的选择方法有：1，6，7；1，6，8；1，7，8；6，7，8，共四种，∵，，，，∴只有选择6，7，8等3根小棒时可以构成三角形，∴能构成三角形的可能性为：，不能构成三角形的可能性为：，∵，∴能围成三角形的可能性比不能围成三角形的可能性小，故答案为：小．题型二根据概率公式计算概率【例5】实验室的试管架上有三个没有标签的试管，试管内分别装有，，三种溶液，小明同学将酚酞试剂随机滴入其中一个试管，则试管中溶液变红的概率是（

）A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】利用概率公式即可求解．【详解】解：溶液变红的情况有2种，则试管中溶液变红的概率为：，故选D．【例6】小明的书包里只装有外观相同的作业本，其中语文作业本4本，数学作业本5本，英语作业本3本．小明从书包中随机抽出一本，不是数学作业本的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出书的总量，再求出不是数学作业本的数量，最后根据概率公式求解即可．【详解】∵语文作业本4本，数学作业本5本，英语作业本3本，∴共有本，不是数学作业本的有7本，∴小明从书包中随机抽出一本，不是数学作业本的概率是，故选：D．巩固训练5．袋子里有8个红球，m个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，则m的值不可能是（）A．10 B．5 C．3 D．1【答案】A【分析】摸到红球的可能性最大，则红球数最多，故m的值小于8，注意判断即可．【详解】解：∵袋子里有8个红球，m个黑球，∴摸到红球的可能性为；摸到黑球的可能性为，∵摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，∴，∴．故选：A．6．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是元．【答案】6【分析】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以用加权平均数的方法求得．【详解】解：=2+4=6（元）故答案为6题型三几何概率【例7】如图，点C、D在线段上，且．以点A为圆心，分别以线段为半径画同心圆，记以为半径的圆为区域Ⅰ，所在的圆环为区域Ⅱ，所在的圆环为区域Ⅲ．现在此图形中随机撒一把豆子，统计落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则（

）

A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同【答案】A【分析】计算出三个区域的面积，面积最小的概率最小，进而即可得到答案．【详解】解：，设，则，，，，Ⅰ区域的面积为：，Ⅱ区域的面积为：，Ⅲ区域的面积为：，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积比为：，豆子落在区域Ⅰ的概率最小．故选A．【例8】如图，正方形，点在对角线上，，分别交、于点、，若随机向正方形内投一粒米，则落在阴影部分的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】证明四边形是正方形，，进而可得阴影部分面积等于正方形的面积，根据相似图形的性质，即可求解．【详解】解：如图所示，连接，过作于点，于点，则四边形是矩形，

∵四边形是正方形，点在的对角线上，∴，，∴四边形是正方形，∵，，∴，在与中，，∴，∴阴影部分面积等于正方形的面积，又∵正方形与正方形相似，，∴,∴阴影部分面积与正方形的面积比，故选：B．【例9】小华在如图所示的正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是．

【答案】【分析】令每个小正方形面积为1，运用“移补”的方法可知，阴影部分的面积为5，整个正方形面积为16，进而求得概率．【详解】解：．故飞镖落在阴影区域的概率是．故答案为：．巩固训练7．如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（）．

A．1 B． C． D．【答案】B【分析】任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，据此即可作答．【详解】解：∵任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，∴，故选：B．8．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想，现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率为P，则圆周率π的值为（用所给字母表示．）【答案】【分析】计算圆形钱币和正方形的面积，利用几何概率公式求出P，即可求出圆周率π的值．【详解】解：由题意知，解得，，故答案为：．．9．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是．

【答案】【分析】根据题意可得：图中共有10块大小相同的小方格地砖，其中黑色区域的面积恰好等于5块小方格地砖的面积，根据及几何概率的求解方法解答即可．【详解】解：根据题意可得：图中共有10块大小相同的小方格地砖，其中黑色区域的面积恰好等于5块小方格地砖的面积，所以该小球停留在黑色区域的概率；故答案为：．题型四列表法或树状图法求概率【例10】某校对初一新生随机摇号分班，一共分4个班，班号分别为1班、2班、3班、4班，甲、乙两人是该校的初一新生．(1)甲恰好被分在1班的概率为______；(2)用画树状图或列表方法求甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）所有等可能的情况数有4种，甲恰好被分在1班的情况有1种，求出甲恰好被分在1班的概率即可；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙被分在班号连续的两个班级的情况数，求出甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率即可．【详解】（1）∵所有等可能的情况数有4种，甲恰好被分在1班的情况有1种，∴甲恰好被分在1班的概率为，故答案为：；（2）列表如下：12341234所有等可能的情况有16种，其中甲、乙被分在班号连续的两个班级的情况数有6种，分别为，，，，，，则P（甲、乙被分在班号连续的两个班级）．【例11】有4张扑克牌，牌面数字分别为2、3、4、4，其余都相同．小明随机从中摸出一张牌，记录牌面数字后放回；洗匀后再从中摸出一张牌，记录牌面数字后又放回．小明摸了100次，结果统计如下：牌面数字2344次数26243020(1)上述试验中，小明摸出牌面数字为3的频率是；小明摸一张牌，摸到牌面数字为3的概率是；(2)若小明一次摸出两张牌，求小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率．【答案】(1)，(2)【分析】（1）直接由频率定义和概率公式分别求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的结果有4种，再由概率公式求解即可．【详解】（1）上述试验中，小明摸出牌面数字为3的频率是；小明摸一张牌，摸到牌面数字为3的概率是；故答案为：，；（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的结果有4种，∴小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率为．【例12】2023年5月30日，神舟十六号飞船发射成功，我国航天事业开启新篇章．某校举行“筑梦天宫，探秘苍穹”主题知识竞答活动，共有10道必答选择题，每道选择题都有A，B，C三个选项，有且只有一个选项是正确的．小明已答对前8题，最后这两道题小明只能从所有选项中随机选择一个．(1)小明第9题答对的概率是________；(2)请计算余下两题中，小明至少答对一题的概率．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据求概率的公式，即可求解；(2)假设表示第题正确的选项，表示第题错误的选项；表示第题正确的选项，表示第题错误的选项，列表即可求解.【详解】（1）∵每道选择题都有三个选项，有且只有一个选项是正确的，∴小明答对第9题的概率是故答案为：．（2）假设表示第题正确的选项，表示第题错误的选项；表示第题正确的选项，表示第题错误的选项；列树状图如下：

由表可知，共有种等可能的结果，至少答对一题的结果为种，∴小明至少答对一题的概率为【例13】如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．【答案】【分析】根据题意画出树状图，共有8种等可能的路径，其中落入③号槽内的有3种路径，再由概率公式求解即可.【详解】画树状图得：所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内的概率为.巩固训练10．小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目（A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：盘丝洞）中各自随机选择一个项目游玩．(1)小华选择C项目的概率是_________；(2)用画树状图或列表等方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）列表法求概率即可求解．【详解】（1）解：共有三个热门项目，小华选择C项目的概率是；故答案为：．（2）解：列表法如图，小华小丽共有9种等可能结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目，有6种，∴小华、小玲选择不同游玩项目的概率．11．由于疫情原因，我校在校门口建立两个体温检测通道，九（3）班甲乙两位同学上午从两个通道中任意一个通道进入校园，求下列事件发生的概率．(1)甲同学从通道进入的概率是；(2)求甲乙两位同学都从通道进入的概率．（请写出分析过程）【答案】(1)(2)【分析】（1）根据简单概率公式直接求解即可得到答案；（2）根据列举法得到甲乙两位同学可从两个通道中任意一个通道进入校园的结果，利用简单概率公式直接求解即可得到答案．【详解】（1）解：建立了两个体温检测通道，甲同学从通道进入的概率是，故答案为：；（2）解：根据题意，甲乙两位同学可从两个通道中任意一个通道进入校园，有①甲从进、乙从进；②甲从进、乙从进；③甲从进、乙从进；④甲从进、乙从进四种等可能的结果，甲乙两位同学都从通道进入的概率为．12．李老师带领甲、乙、丙三名同学乘飞机去北京参加活动，若航班售票系统随机分配座位，且系统已将4人分配到同一排，如图所示是飞机内同一排座位A，B，C，D的排列示意图：窗AB过道CD窗(1)利用树状图或表格，求甲乙两同学被分配到相邻座位的概率（过道两侧座位B、C不算相邻）；(2)为方便管理，若李老师首先选择过道左侧座位B，让甲、乙、丙三名同学随机选择座位，甲同学认为：座位不在过道左侧，就在过道右侧，所以他自己也在过道左侧的概率为．请判断甲同学的观点是否正确，并简述理由．【答案】(1)，树状图见解析；(2)不正确，理由见解析．【分析】（1）根据题意画出树状图即可求解；（2）甲同学随机选择中的一个座位的概率相同，据此即可求解．【详解】（1）解：树状图如图所示：

由图可知共有12种等可能的结果，其中甲乙两同学被分配到相邻座位的结果有4种故：乙两同学被分配到相邻座位的概率（过道两侧座位B、C不算相邻）为：（2）解：甲同学的观点不正确，理由如下；甲同学随机选择中的一个座位，选中每个座位的概率都是∴甲同学在过道左侧的概率为题型五概率的应用【例14】林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：移植的棵数10001500250040008000150002000030000成活的棵数8651356222035007056131701758026430成活的频率（精确到）(1)________，________；(2)估计该种幼树在此条件下移植成活的概率的估计值是多少？（精确到）(3)若要成活26400棵树苗，需要移植多少棵树苗？【答案】(1)(2)(3)30000【分析】（1）根据成活的频率成活的棵树移植的棵树进行求解即可；（2）根据概率是大量反复试验下频率的稳定值进行求解即可；（3）用成活的树苗数除以成活的概率即可得到答案．【详解】（1）解：∵，∴（2）解：∵概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，这种幼树移植成活率的概率约为；（3）解：（棵）答：若要成活26400棵树苗，需要移植30000棵树苗．【例15】商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种：方案一：购物每满200元减66元；方案二：顾客购物达到200元可抽奖一次．具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有2张写着数字1，2张写着数字5．顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受的优惠如表所示．的值2610实际付款8折7折6折(1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得7折优惠的概率；(2)若某顾客的购物金额为元（），请用所学统计与概率的知识，求出选择方案二更优惠时的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）列出表格，得到所有的等可能的结果，根据概率公式即可得结果．（2）根据题意分别表示出顾客按方案一、方案二需要支付的金额，然后根据选择方案二更优惠列出不等式，即可求解．【详解】（1）解：列表如下：11551（1，1）（1，5）（1，5）1（1，1）（1，5）（1，5）5（5，1）（5，1）（5，5）5（5，1）（5，1）（5，5）由上表可知共有12种结果，并且他们发生的可能性相等，其中和为6的有8种．∴该顾客选择方案二的抽奖方式获得7折优惠的概率为；（2）解：依题意知，所以该顾客可按方案二抽奖一次．选择方案二时，由（1）可知，该顾客获得“8折”优惠的概率为，获得“7折”优惠的概率为，获得“6折”优惠的概率为，∴方案二的平均打折数为．选择方案一时，该顾客需要支付元．∴依题意可得：，解得：．∴当时，该顾客选择方案二更优惠．巩固训练13．菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次，被视为数学界的诺贝尔奖，截至2022年，世界上共有65位数学家获得过菲尔兹奖，获奖者获奖时的年龄分别如下表：年龄/岁27293132333435363738394045人数1354446599771通过上表数据，某同学绘制了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整）：

菲尔兹奖获得者