第5讲二次函数的图像与性质九年级数学下册讲义（北师大版）

第5讲二次函数的图像与性质目标导航目标导航理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；.经历探索二次函数图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．知识精讲知识精讲知识点01二次函数y=ax2（a≠0）的图像及性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图像，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图像的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图像的画法用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确.特别说明：二次函数y=ax2(a≠0)的图像．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图像，该图像是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图像左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像．画草图时应抓住以下几点：1）开口方向，2）对称轴，3）顶点，4）与轴的交点，5）与轴的交点.3.二次函数y=ax2(a≠0)的图像的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图像的性质，见下表：函数图像开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y轴x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小.当x=0时，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y轴x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大.当x=0时，y最大=0特别说明：

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图像两边越靠近x轴.【知识拓展1】作出二次函数  y=a画函数的图像．【分析】利用列表、描点、连线的方法作出函数的图像即可．解：列表：描点、连线如下图所示：【点拨】本题考查了图像的作法，比较简单，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质以及函数图像的作法是解题的关键．【即学即练1】画出二次函数y＝x2的图像．【分析】建立平面直角坐标系，然后利用五点法作出大致函数图像即可．解：函数y＝x2的图像如图所示：【点拨】本题考查了二次函数的图像的作法，五点法作图是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．【知识拓展2】二次函数如图所示四个二次函数的图像中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为_____．【答案】a＞b＞d＞c【分析】设x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图像，比较各对应点纵坐标的大小．解：因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），

所以，a＞b＞d＞c．【点拨】本题考查了二次函数的图像，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．【即学即练1】如图，已知点A（4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上．求a的值及点B的坐标.【答案】a=12【解析】先把A点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值和二次函数解析式；再B点坐标代入二次函数解析式，即可求出n的值，从而确定点B的坐标.试题解析：把点A（4，8）代入y=ax2,得：16a=8∴a=12，∴y=12x再把点B（2，n）代入y=12x2∴B（2,2）.考点：二次函数的性质.【知识拓展3】二次函数函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x3的图像交于点（1，b）．求：（1）a和b的值；（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）作y=ax2的草图．【答案】（1）a=1（2）y轴，（0，0）（3）图像见解析试题分析：（1）把点（1，b）代入y=2x3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a的值；（2）由（1）中所求得的a的值，可得y=ax2的解析式，从而可确定抛物线y=ax2的开口方向，对称轴和顶点坐标；（3）根据（2）中求得的抛物线y=ax2的开口方向、对称轴和顶点坐标可画出其草图.解：（1）把（1，b）代入直线y=2x3中，得b=23=1，把点（1，1）代入y=ax2中，得a=1；（2）∵在y=x2中，a=1<0，∴抛物线开口向下；抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；（3）作函数y=ax2的草图如下：【即学即练】已知函数y=m+3（1）求m的值．（2）当m为何值时，该函数图像的开口向下？（3）当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？【答案】（1）m1＝−4，m2＝1；（2）当m＝−4时，该函数图像的开口向下；（3）当m＝1时，函数为，该函数有最小值，最小值为0．【分析】（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．（2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下；（3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图像有最低点，函数有最小值；解：（1）∵函数是关于x的二次函数，∴m2＋3m−2＝2，m＋3≠0，解得：m1＝−4，m2＝1；（2）∵函数图像的开口向下，∴m＋3＜0，∴m＜−3，∴当m＝−4时，该函数图像的开口向下；（3）∵m＝−4或1，∵当m＋3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，∴m＞−3，∵m＝−4或1，∴当m＝1时，函数为，该函数有最小值，最小值为0．【点拨】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．【知识拓展4】二次函数已知是关于x的二次函数.(1)求满足条件的k的值；(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？【答案】(1)k=±2；

(2)见解析；

(3)见解析.【分析】（1）直接利用二次函数定义得出符合题意的k的值；（2）抛物线有最低点，所以开口向上，k+1大于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质，即可得最低点的坐标和函数的单调区间；（3）函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，然后根据二次函数性质可求得最大值和函数单调区间．解：(1)根据二次函数的定义得解得k=±2.

∴当k=±2时，原函数是二次函数.

(2)根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，∴k+1＞0，即k＞1，根据第(1)问得：k=2.

∴该抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而增大.

(3)根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，∴k+1＜0，即k＜1，根据第(1)问得：k=2.

∴该抛物线的解析式为，顶点坐标为(0，0)，∴当k=2时，函数有最大值为0.当x＞0时，y随x的增大而减小.【点拨】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的性质是解题关键，是基础题型．【即学即练1】已知y=(k+2)x（1）求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．【答案】（1）k=﹣3；（2）当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．【解析】（1）根据二次函数的定义得出k2+k﹣4=2，再利用函数图像有最高点，得出k+2＜0，即可得出k的值；（2）利用（1）中k的值得出二次函数的解析式，利用形如y=ax2（a≠0）的二次函数顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴即可得出答案．试题解析：解：（1）∵是二次函数，∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，∴k=﹣3；当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．【即学即练2】已知函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的k的值；（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？【答案】（1）；（2）k＝1，最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大；（3）k＝3，最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．【分析】（1）由于函数是二次函数，所以x的次数为2，且系数不为0，即可求得满足条件的k的值；（2）抛物线有最高点，所以开口向下，系数小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质即可知函数的单调区间；（3）函数有最小值，则开口向上，然后根据二次函数性质可求得最小值，即可知函数单调区间．解：（1）∵函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，∴k满足，且k﹣2≠0，∴解得：；（2）∵抛物线有最高点，∴图像开口向下，即k﹣2＜0，结合（1）所得，∴k＝1，∴最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大．（3）∵函数有最小值，∴图像开口向上，即k﹣2＞0，∴k＝3，∴最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．【点拨】本题考查了二次函数的定义、待定系数法求解析式、解一元二次方程以及二次函数图像的性质；解决本题的关键在于知道二次函数的表达形式，用待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数图像的性质．【知识拓展5】二次函数如图，梯形ABCD的顶点都在抛物线上，且轴.A点坐标为（a,4），C点坐标为（3,b）.（1）求a，b的值；（2）求B，D两点的坐标；（3）求梯形的面积.【答案】（1）,；（2），；（3）25.【分析】（1）把点A，点C坐标分别代入解析式，即可求出a，b的值；（2）由B与A的纵坐标相等，D与C的纵坐标相等，由对称关系，即可求出B，D的坐标；（3）分别求出AB，CD和梯形的高，即可得到答案.解：（1）当时，，∴.∵点A在第三象限，∴.当时，，∴.（2）∵轴，∴A点与B点，C点与D点的纵坐标相同.∵关于y轴对称，∴，.（3）由题意，得梯形的高为5，∴.【点拨】本题考查了二次函数与四边形的综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.【即学即练1】在平面直角坐标系中，若抛物线与直线交于点和点，其中，点为原点，求的面积.【答案】.【分析】首先求得两个交点的坐标，然后求得直线与y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可得出答案．解：由题意得：解得：或∵点和点，其中∴，直线与y轴的交点坐标为：（0，1）∴【点拨】考查了二次函数的性质，解题的关键是了解如何求得两个图像的交点坐标．【即学即练2】抛物线y＝ax2(a＞0)上有A、B两点，A、B两点的横坐标分别为－1，2．求a为何值时，△AOB为直角三角形．【答案】【分析】先求出AB两点坐标，再根据△AOB为直角三角形，根据勾股定理分情况列出含a的方程进行求解.解：∵x=1,∴y=a,∵x=2,∴y=4a，∴A（1，a）,B（2，4a）当AB为斜边时，AB2=AO2+BO2，即32+(3a)2=(1+a2)+(4+16a2),解得a2=，∴a=，∵a0,∴a=.当BO为斜边时，OB2=AB2+AO2，得a=1，∵a0,∴a=1，∵AO2=1+a29+9a2=AB2，AO2=1+a24+16a2=OB2∴AO不是斜边，∴a=或1.【点拨】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是根据勾股定理列出方程解出a的值.知识点02二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像及性质1.二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像（1）（2）2.二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像的性质关于二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图像，将其性质列表归纳如下：函数图像开口方向向上向下顶点坐标(0，k)(0，k)对称轴y轴y轴函数变化当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.最大（小）值当时，当时，3.二次函数与y=ax2+k(a≠0)之间的关系；（上加下减）.的图像向上（k＞0）【或向下（k＜0）】平移│k│个单位得到y=ax2+k(a≠0)的图像.特别说明：抛物线y=ax2+k(a≠0)的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．函数y=ax2+k(a≠0)的图像是由函数的图像向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，k)．抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．【知识拓展1】二次函数  y=a如图，已知抛物线．（1）该抛物线顶点坐标为________；（2）在坐标系中画出此抛物线y的大致图像（不要求列表）；（3）该抛物线可由抛物线向________平移________个单位得到；（4）当时，求x的取值范围．【答案】解：（1）；（2）见解析；（3）上，4；（4）．．【分析】（1）求出对称轴得到抛物线的顶点坐标；（2）先确定抛物线与y轴的交点为（0，4），与x轴交点为（2，0）和（2，0），然后利用描点法画函数图像；（3）根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解；（4）结合函数图像，写出函数图像上x轴上方所对应的自变量的范围即可．解：（1）抛物线的对称轴为：x==0令x=0，y=4则顶点坐标为（0，4）；（2）由（1）得，抛物线与y轴的交点为（0，4），令y=0，x=±2，则抛物线与x轴交点为（2，0）和（2，0），画图得：（3）由上加下减的原则可得，y=x向上平移4个单位可得出y=x+4；（4）根据图像得，当y>0时，x的取值范围为：2<x<2．【点拨】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质和抛物线的平移等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．【即学即练1】已知二次函数与．（1）随着系数和的变化，分别说出这两个二次函数图像的变与不变；（2）若这两个函数图像的形状相同，则______；若抛物线沿轴向下平移2个单位就能与的图像完全重合，则______．（3）二次函数中、的几组对应值如下表：15表中、、的大小关系为______．（用“”连接）．【答案】（1）见解析；（2），；（3）【分析】（1）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项的变化会影响开口大小，开口方向，对称轴和顶点坐标，根据二次函数的性质即可得出图像的具体影响．（2）由于函数图像形状相同，可以得到；根据二次函数平移规律上加下减可求得函数，再由题意就可得到c=2．（3）将表中数值代入二次函数即可分别得到m、n、p含未知数c的代数式，比较大小即可．解：（1）二次函数的图像随着的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数的图像随着的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变．（只要学生答对变与不变各一个点就给满分）．（2）由于函数与函数的形状相同，所以，即．抛物线沿y轴向下平移两个单位，即得到抛物线．因为该抛物线与的图像完全重合所以故答案为；（3）表中数值代入二次函数可得;,,因为<<所以．故答案为【点拨】本题考查二次函数的性质，二次函数图像与几何变换，二次函数上点的坐标特征．特别注意（2）时两个函数图像形状相同．【即学即练2】在同一平面直角坐标系中画出函数y=-x2和的图像，并根据图像回答下列问题：（1）抛物线经过怎样的平移才能得到抛物线？（2）函数，当x_______时，y随x的增大而减小；当x________时，函数有最大值，最大值是_____________；其图像与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是________________.（3）试说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.【答案】（1）抛物线向下平移1个单位长度才能得到抛物线;（2）>0；=0，1；（0，1），（1，0）和（1，0）;（3）抛物线的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，3）.【分析】（1）根据作出的图像，即可得到平移方向和单位；（2）由，结合二次函数的图像和性质，即可得到答案；（3）根据二次函数的图像和性质，即可得到答案.解：函数和的图像如图所示.（1）抛物线向下平移1个单位长度才能得到抛物线.（2）函数，当时，y随x的增大而减小；当时，函数有最大值，最大值是1；其图像与y轴的交点坐标是（0，1），与x轴的交点坐标是（1，0）和（1，0）；故答案为：>0；=0；1；（0，1）；（1，0）和（1，0）.（3）抛物线的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，3）.【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，做出图像后即可得到平移的单位和方向．解题的关键是掌握二次函数的图像和性质.【知识拓展2】已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图像的变与不变；（2）若这两个函数图像的形状相同，则a＝；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图像完全重合，则c＝；（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：x﹣215ymnp表中m、n、p的大小关系为（用“＜”连接）．【答案】（1）二次函数y＝ax2的图像随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图像随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论；(2)由函数图像的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数y=ax22，根据完全重合，得到c=2．(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断．解：（1）二次函数y＝ax2的图像随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图像随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，∴a＝±2，∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图像完全重合，∴c＝﹣2，故答案为：±2，﹣2．（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，∴p＜m＜n，故答案为：p＜m＜n．【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与几何变换，二次函数图像上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．【即学即练2】在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图像的相同点与不同点；（2）说出两个函数图像的性质的相同点与不同点．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据二次函数的图像解答即可；（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.解：（1）解：如图：，与图像的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，与图像的不同点是：开口向上，顶点坐标是（0，1），开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；（2）解：两个函数图像的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；不同点：，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图像与性质是解答的关键.【即学即练2】二次函数图像上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…432101……50343m…（1）m=；（2）在图中画出这个二次函数的图像；（3）当时，x的取值范围是；（4）当时，y的取值范围是.【答案】（1）0；（2）见解析；（3）x≤4或x≥2；（4）4≤y＜5．【分析】（1）先确定出对称轴，根据抛物线的对称性即可求得；

（2）根据二次函数图像的画法作出图像即可；

（3）根据抛物线的对称性，（4，5）关于直线x=1的对称点是（2，5），根据图像即可求得结论，

（4）根据函数图像，写y的取值范围即可．解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（1，4），

∴抛物线的对称轴为直线x=1，

∵（3，0）关于直线x=1的对称点是（1，0），

∴m=0，

故答案为：0；

（2）函数图像如图所示；

（3）∵（4，5）关于直线x=1的对称点是（2，5），

由图像可知当y≥5时，x的取值范围是x≤4或x≥2，

故答案为x≤4或x≥2；

（4）由图像可知当4＜x＜1时，y的取值范围是4≤y＜5，

故答案为4≤y＜5．【点拨】此题考查二次函数的图像，二次函数的性质，解题关键在于数形结合．【知识拓展3】求二次函数如图，在平面直角坐标系中，y轴上一点A（0,2），在x轴上有一动点B，连结AB，过B点作直线l⊥x轴，交AB的垂直平分线于点P(x,y)，在B点运动过程中，P点的运动轨迹是________,y关于x的函数解析式是________.【答案】抛物线y=x2+1【分析】当点B在x轴的正半轴上时，如图1，连接PA，作AC⊥PB于点C，

则四边形AOBC是矩形，由

P在AB的垂直平分线上可得PA=PB，进而可用y的代数式表示出PC、AP，在Rt△APC中根据勾股定理即可得出y与x的关系式；当点B在x轴的负半轴上时，用同样的方法求解即可.解：当点B在x轴的正半轴上时，如图1，连接PA，作AC⊥PB于点C，

则四边形AOBC是矩形，

∴AC=OB=x，BC=OA=2，

∵P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB=y，在Rt△APC中，AC2+PC2=AP2，∴x2+(y−2)2=y2，整理得y=x2+1；当点B在x轴的负半轴上时，如图2，同理可得y，x满足的关系式是：y=x2+1，

∴y，x满足的关系式是：y=x2+1.

故答案为：抛物线、y=x2+1.【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理和求解图形中的二次函数关系式，难度不大，构建直角三角形、熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解题关键.【即学即练1】在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为______．【答案】4【分析】过点Q作QH⊥BG，垂足为H，求出PH，设CG=2x，利用勾股定理表示出PQ，根据x的值即可求出PQ的最小值．解：如图，过点Q作QH⊥BG，垂足为H，∵P，Q分别为BC，EF的中点，BG=8，∴H为CG中点，∴PH=4，设CG=2x，则CH=HG=EQ=x，QH=2x，∴PQ===，则当x=0时，PQ最小，且为4，故答案为：4．【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是表示出PQ的长．【即学即练2】请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向下；②与轴的交点坐标为.此二次函数的解析式可以是______________【答案】【分析】根据二次函数图像和性质得a0,c=3,即可设出解析式.解：根据题意可知a0,c=3,故二次函数解析式可以是【点拨】本题考查了二次函数的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键.【即学即练3】写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____．【答案】y=x2+2，答案不唯一．【分析】对称轴是y轴，即直线x=−=0，所以b=0，只要抛物线的解析式中缺少一次项即可．解：∵抛物线对称轴为y轴，即直线x=0，只要解析式一般式缺少一次项即可，如y=x2+2，答案不唯一.故答案为y=x2+2.【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.知识点03函数与函数的图像与性质1.函数的图像与性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．2.函数的图像与性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．特别说明：二次函数的图像常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图像与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．2.性质：二次函数的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．特别说明：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）【知识拓展1】二次函数已知二次函数经过点，且当时，函数有最大值4．（1）求二次函数的解析式；（2）直接写出一个与该函数图像开口方向相反，形状相同，且经过点的二次函数解析式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）设顶点式为y＝a（x−1）2＋4，然后把（0，3）代入求出a即可；（2）利用二次函数的性质，抛物线解析式为可设为y＝（x−1）2＋h，然后把（0，3）代入求出h解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x−1）2＋4，把（0，3）代入得a（0−1）2＋4＝3，解得a＝−1，所以抛物线解析式为y＝−（x−1）2＋4；（2）设抛物线解析式为y＝（x−1）2＋h，把（0，3）代入得1＋h＝3，解得h＝2，所以满足条件的一个抛物线解析式为y＝（x−1）2＋2．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图像上的坐标特征．【即学即练1】已知函数是二次函数．（1）求m的值；（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】（1）3；（2），开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标是（2，5）【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项次数为2，可以求出m的值，再结合二次项系数不等于0，即可最终确定m的值；（2）将m代入解析式中，即可得到二次函数的顶点式，根据a的正负，对称轴为直线x=h以及顶点坐标为（h，k），即可解决本题．解：（1）∵∴∵∴m≠3∴（2）将m=3代入解析式中，得二次函数的解析式为∵a=6＜0∴开口方向向下∴对称轴是直线，顶点坐标是（2，5）．【点拨】本题主要考查了二次函数的概念以及二次函数的顶点式，熟练其概念以及顶点式的性质是解决本题的关键．【即学即练2】已知二次函数y＝－x2＋4x.(1)用配方法把该二次函数化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并指出函数图像的对称轴和顶点坐标；(2)求这个函数图像与x轴的交点的坐标．【答案】(1)对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，4);(2)(0，0)，(4，0)【解析】试题分析：(1)先将二次函数的表达式化为顶点式，然后写出对称轴与顶点坐标即可.(2)令，然后解一元二次方程即可.试题解析：(1)y＝－(x－2)2＋4，其对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，4)．(2)令y＝0，则－x2＋4x＝0，∴x1＝0，x2＝4，∴这个函数图像与x轴的交点的坐标为(0，0)，(4，0)．【即学即练3】已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点．（1）求抛物线的解析式；（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；（3）求抛物线与y轴的交点坐标．【答案】（1）；（2）x的取值范围为；（3）抛物线与y轴的交点坐标为．【分析】（1）根据题意可设抛物线的解析式为，把点代入即可求解；（2）根据函数的对称轴即可求解；（3）令x=0，即可求解．解：（1）∵抛物线，当时，有最大值，∴抛物线的解析式为．∵抛物线过点，∴，∴．∴此抛物线的解析式．（2）∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下，∴当时，y随x的增大而增大．∴x的取值范围为．（3）当时，，∴抛物线与y轴的交点坐标为．【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知对称轴的应用．【知识拓展2】求二次函数  y=a已知二次函数，求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，小明的计算过程：……①；……②；……③；顶点坐标是……④；（1）请你帮他检查一个，在标出的①②③④几个步骤中开始出现错误的是________________步．（2）请写出此题正确的求顶点的计算过程．【答案】（1）①；（2）见详解【分析】（1）根据配方法把二次函数的一般式化为顶点式的步骤，即可得到答案；（2）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可得到答案．解：（1）y＝0.5x2−x−0.5＝0.5（x2−2x）−0.5①＝0.5（x2−2x＋1−1）−0.5②＝0.5（x−1）2−1③∴顶点坐标是（1，−1）④；故答案为：①；（2）y＝0.5x2−x−0.5＝0.5（x2−2x）−0.5＝0.5（x2−2x＋1−1）−0.5＝0.5（x−1）2−1∴顶点坐标是（1，−1）．【点拨】此题考查二次函数的顶点式，二次函数解析式的三种形式有：顶点式；两根式以及一般式，掌握配方法，是解题的关键．【即学即练1】确定下列函数图像的开口方向、对称轴及顶点坐标.(1)；(2).【答案】(1)抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；(2)抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为.【分析】（1）已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．解：(1)由可知，二次项系数为，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；(2)由可知，二次项系数为，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为.【点拨】本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系，根据二次项系数的符号确定开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴．【知识拓展3】二次函数  y=a把二次函数y=2x2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．【答案】或（答出这两种形式中任意一种均得分）【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图像向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为y=2（x+1）2﹣2．考点：二次函数图像与几何变换．【即学即练1】抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝3x2向______平移______个单位得到．【答案】向上(2，0)直线x＝2≥22小0右2．解：抛物线y＝3（x－2）2的开口方向是向上，顶点坐标为（2，0），对称轴是直线x＝2．当x≥2时，y随x的增大而增大；当x＝2时，y有最小值是0，它可以由抛物线y＝3x2向右平移2个单位得到．故答案为：向上；（2，0）；直线x＝2；≥2；2；小；0；右；2．【即学即练2】将二次函数y=2x2﹣1的图像沿y轴向上平移2个单位，所得图像对应的函数表达式为________．【答案】y=2x2+1【分析】利用二次函数与几何变换规律“上加下减”，进而求出图像对应的函数表达式．解：由二次函数的图像沿y轴向上平移2个单位，因此所得图像对应的函数表达式为：．【点拨】本题考查二次函数的平移，掌握平移规律是本题的解题关键.【知识拓展4】求二次函数  y=a一条抛物线经过点A(2，0)且抛物线的顶点是(1，－3)，求满足此条件的函数解析式．【答案】【分析】设抛物线为：根据抛物线的顶点坐标求解，再把代入解析式可得答案．解：设抛物线为：抛物线的顶点是(1，－3)，抛物线为：把代入抛物线得：，抛物线为：【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，根据题意设出合适的抛物线的解析式是解题的关键．【即学即练1】将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为______；将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为______．【答案】y=2（x+1）2+1y=2（x﹣1）2﹣1解：（1）∵将抛物线绕其顶点旋转180°后新的抛物线的顶点和对称轴都和原抛物线相同，只有开口方向变了，∴将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为：；（2）∵抛物线绕原点旋转180°后，新抛物线的顶点的坐标和原抛物线的顶点坐标关于原点对称，新抛物线对称轴和原抛物线的对称轴关于y轴对称，开口方向和原来开口方向相反，∴将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到的新抛物线的解析式为：.【点拨】（1）抛物线关于其顶点对称的抛物线的解析式为；（2）抛物线关于原点对称的抛物线的解析式：.【即学即练2】已知二次函数的顶点为且过点，求该函数解析式．【答案】【分析】由题意设抛物线的顶点式：，再把代入抛物线的解析式，解方程即可得到答案．解：由顶点（2，2），可设抛物线为：，将点（1，3）代入上式可得：综上所述：．【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，掌握根据题意设出合适的二次函数的表达式是解题的关键．【即学即练3】求符合下列条件的抛物线的函数关系式，（1）通过点（3，8）；（2）与的开口大小相同，方向相反。【答案】；试题分析：(1)、将点(3，8)代入函数解析式求出a的值得出函数解析式；(2)、根据题意得出，从而得出函数解析式．解：(1)、将(3，8)代入函数解析式可得：，解得：a=2，∴二次函数的解析式为：；(2)、∵函数与的开口大小相同，方向相反，∴，∴二次函数的解析式为：．【即学即练4】已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M．（1）求直线l的函数解析式；（2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式．【答案】（1）y=﹣x+4；（2）y=2（x﹣1）2．【分析】(1)根据交点坐标先求直线l的函数解析式（2）抛物线的顶点坐标已知，设交点M的坐标，再根据S△AMP=3求出M的坐标，最后求出解析式.解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把A（4，0），B（0，4）分别代入解析式得解得解析式为y=﹣x+4．（2）设M点的坐标为（m，n），∵S△AMP=3，∴（4﹣1）n=3，解得，n=2，把M（m，2）代入为2=﹣m+4得，m=2，M（2，2），∵抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），可得y=a（x﹣1）2，把M（2，2）代入y=a（x﹣1）2得，2=a（2﹣1）2，解得a=2，函数解析式为y=2（x﹣1）2．【点拨】此题重点考察学生对函数解析式的理解，熟练解析式的求法是解题的关键.【知识拓展5】二次函数A、B两地果园分别有橘子40吨和60吨，C、D两地分别需要橘子30吨和70吨；已知从A、B到C、D的运价如表：到C地到D地A果园每吨15元每吨12元B果园每吨10元每吨9元（1）若从A果园运到C地的橘子为x吨，则从A果园运到D地的橘子为____吨，从A果园将橘子运往D地的运输费用为____元；（2）设总运费为y元，请你求出y关于的函数关系式；（3）求总运输费用的最大值和最小值；（4）若这批橘子在C地和D地进行再加工，经测算，全部橘子加工完毕后总成本为w元，且w=(x25)2+4360，则当x＝___时，w有最__值（填“大”或“小”）．这个值是___．【答案】（1）（40x），12（40x）；（2）y=2x+1050；（3）最大值为1110元，最小值为1050元；（4）25，大，4360【分析】（1）因为从A果园运到C地的橘子是x吨，剩下的都运往D地，所以运往D地的是（40x）吨．运输费用=吨数×每吨的运费．（2）总运费=从A运往C、D的费用+从B运往C、D的费用．（3）总运费与x是一次函数关系，由于0≤x≤30，可计算出总运费的最大值和最小值．（4）利用二次函数的性质，求出函数的最值．解：（1）因为从A果园运到C地的橘子是x吨，那么从A果园运到D地的橘子为（40x）吨，从A运到D地的运费是12元每吨，所以A果园将橘子运往D地的运输费用为12（40x）吨．故答案为：（40x），12（40x）；（2）从A果园运到C地x吨，运费为每吨15元；从A果园运到D地的橘子为（40x）吨，运费为每吨12元；从B果园运到C地（30x）吨，运费为每吨10元；从B果园运到D地（30+x）吨，运费为每吨9元；所以总运费为：y=15x+12（40x）+10（30x）+9（30+x）=2x+1050；（3）因为总运费y=2x+1050，∵，∴函数值随x的增大而增大，由于0≤x≤30，∴当x=30时，有最大值2×30+1050=1110元，当x=0时，有最小值2×0+1050=1050元；（4）w=(x25)2+4360，∵二次项系数1＜0，∴抛物线开口向下，当x=25时，w有最大值．最大值时4360．故答案为：25，大，4360．【点拨】本题考查了列代数式及函数的性质．利用一次函数的性质求出总运费的最大值和最小值，利用二次函数的性质求出总成本的最值．【即学即练1】某商店以30元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示．（1）求与的函数解析式；（2）要使销售利润达到最大，销售单价应定为每千克多少元？【答案】（1）；（2）65元【分析】（1）设与的函数解析式为，把，代入，得解得即可；（2）设销售利润为元，先求出每件销售利润，再乘以销售量，根据题意，，由，时，有最大值，最大值为1225．解：（1）设与的函数解析式为，把，代入，得，解得，∴与的函数解析式为；（2）设销售利润为元，根据题意，得，，，，∵，∴当时，有最大值，最大值为1225．∴要使销售利润达到最大，销售单价应定为每千克65元．【点拨】本题考查一次函数的解析式，列二次函数，利用配方法转化为顶点式，掌握一次函数的解析式的求法，列二次函数方法，会利用配方法将二次函数转化为顶点式，根据开口向下有最大值是解题关键知识点04二次函数与之间的相互关系顶点式化成一般式

从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．一般式化成顶点式．对照，可知，．∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．特别说明：1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．二次函数的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法.其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．特别说明：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，二次函数的图象与性质1.二次函数图象与性质函数二次函数（a、b、c为常数，a≠0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值，2.二次函数图象的特征与a、b、c及b24ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa＞0开口向上a＜0开口向下bab＞0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交b24acb24ac=0与x轴有唯一交点b24ac＞0与x轴有两个交点b24ac＜0与x轴没有交点求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．特别说明：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．【知识拓展1】二次函数已知抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．【答案】（1）（2）（1，4）解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），B（－1，0），∴抛物线的解析式为；，即，（2）∵抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．（1）根据抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式．（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．【即学即练1】用配方法把二次函数y=x2–4x+5化为y=a(x+m)2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，－3)．【分析】用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．解：∵y＝x2－4x＋5＝(x－4)2－3，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，－3)．【点拨】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．【即学即练2】已知二次函数．用配方法将其化为的形式；在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．【答案】（1）；（2）见解析.【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；（2）利用描点法画出二次函数图象即可．解：==，顶点坐标为，对称轴方程为．函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与x轴的交点为，，其图象为：故答案为（1）；（2）见解析.【点拨】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．【即学即练3】已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积．【答案】（1）y＝﹣2x2﹣4x+4；（2）对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）△CAO的面积为2．【分析】（1）利用待定系数法把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c中，可以解得b，c的值，从而求得函数关系式即可；（2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标；（3）由（2）可得顶点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO的面积．解：（1）把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c，得：c=4-2×12所以此抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+4；（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+4＝﹣2（x2+2x）+4＝﹣2[（x+1）2﹣1]+4＝﹣2（x+1）2+6，∴此抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）由（2）知：顶点C（﹣1，6），∵点A（0，4），∴OA＝4，∴S△CAO＝12OA•|xc|＝1即△CAO的面积为2．故答案为：（1）y＝﹣2x2﹣4x+4；（2）对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）△CAO的面积为2．【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键．【知识拓展2】画二次函数  y=a已知：二次函数（1）求出该函数图象的顶点坐标；（2）在所提供的网格中画出该函数的草图．【答案】（1）(－2，－1)；（2）见解析【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标；（2）利用五点法画二次函数的图象即可．解：（1）化为顶点式为则该函数图象的顶点坐标为；（2）先求出自变量x在处的函数值，再列出表格当和时，当和时，当时，列出表格如下：由此画出该函数的草图如下：【点拨】本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键．【即学即练1】已知二次函数y=﹣x2+4x．（1）写出二次函数y=﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．【答案】（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）见解析；（3）x＜0或x＞4．试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．解：（1）∵y=x2+4x=（x2）2+4，∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）列表得：x…1012345…y…5034305…描点，连线．（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．【即学即练2】已知二次函数y＝x2﹣x﹣．（1）在平面直角坐标系内，画出该二次函数的图象；（2）根据图象写出：①当x时，y＞0；②当0＜x＜4时，y的取值范围为．【答案】（1）见解析；（2）①x＜﹣1或x＞3；②﹣2≤y＜．【分析】（1）先把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（1，2）；再分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；（2）①利用函数图象写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；②先确定x＝4时，y＝，然后利用函数图象写出当0＜x＜4时对应的函数值的范围．解：（1）∵y＝（x﹣1）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）；当x＝0时，y＝x2﹣x﹣＝﹣，则抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣）当y＝0时，x2﹣x﹣＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），如图，（2）①当x＜﹣1或x＞3时，y＞0；②当0＜x＜4时，﹣2≤y＜；故答案为x＜﹣1或x＞3；﹣2≤y＜．【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．【即学即练3】已知抛物线．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；（3）设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）或；（3）当a＞0时，；当a＜0时，或．【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到的值，进而得到其解析式；（3）根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到的取值范围．解：（1）∵，∴，∴其对称轴为：．（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：，∵抛物线顶点在轴上，∴，解得：或，当时，其解析式为：，当时，其解析式为：，综上，二次函数解析式为：或．（3）由（1）知，抛物线的对称轴为，∴关于的对称点为，当a＞0时，若，则1＜m＜3；当a＜0时，若，则m＜1或m＞3.【点拨】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．【知识拓展3】二次函数  y=a把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．（1）直接写出抛物线的函数关系式；（2）动点能否在拋物线上？请说明理由；（3）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由．【答案】（1）；（2）不在，见解析；（3），见解析【分析】（1）先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；（2）根据抛物线的顶点的纵坐标为，即可判断点不在拋物线上；（3）根据抛物线的增减性质即可解答．解：（1）抛物线，∴抛物线的顶点坐标为(1，2)，根据题意，抛物线的顶点坐标为(1+4，25)，即(3，3)，∴抛物线的函数关系式为：；（2）动点P不在抛物线上．理由如下：∵抛物线的顶点为，开口向上，∴抛物线的最低点的纵坐标为．∵，∴动点P不在抛物线上；（3）．理由如下：由（1）知抛物线的对称轴是，且开口向上，∴在对称轴左侧y随x的增大而减小．∵点都在抛物线上，且，∴．【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【即学即练1】在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当时，的最大值与最小值的差；（3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用待定系数法将点，代入解析式中解方程组即可；（2）根据（1）中函数关系式得到对称轴，从而知在中，当x=2时，y有最大值，当时，y有最小值，求之相减即可；（3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出>0，根据根与系数的关系可得出a，b的值，然后根据，整理得出m的取值范围．解：（1）∵的图象过点，，∴解得∴（2）由（1）得，二次函数对称轴为∴当时，y的最大值为(2)2(2)2=4,y的最小值为∴的最大值与最小值的差为；（3）由题意及（1）得整理得即∵一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，∴化简得即解得m≠5∴a，b为方程的两个解又∵∴a=1，b=4m即4m>3∴m<1综上所述，m的取值范围为．【点拨】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质．【即学即练2】如图，已知抛物线y=x22x3与x轴交于A、B两点．（1）当0＜x＜3时，求y的取值范围；（2）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．【答案】(1)﹣4≤y＜0;(2)P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）分析：(1)、首先将抛物线配成顶点式，然后根据x的取值范围，从而得出y的取值范围；(2)、根据题意得出AB的长度，然后根据面积求出点P的纵坐标，根据抛物线的解析式求出点P的坐标．解：（1）∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．（2）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=1x2=3∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB=4．设P（x，y），则S△PAB=AB•|y|=2|y|=10，∴|y|=5，∴y=±5．①当y=5时，x2﹣2x﹣3=5，解得：x1=﹣2，x2=4，此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；②当y=﹣5时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解；综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．点拨：本题主要考查的是二次函数的性质，属于基础题型．求函数值取值范围时，一定要注意自变量的取值范围是否是在对称轴的一边．【即学即练3】已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，直线x=1是其对称轴，（1）确定a，b，c，Δ=b24ac的符号，（2）求证：ab+c>0，（3）当x取何值时，y>0；当x取何值时y<0.【答案】（1）a<0，b<0，c>0，b24ac>0；（2）ab+c>0；（3）当3<x<1时y>0，∴当x<3或x>1时，y<0.【解析】思路点拨：（1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定b24ac的符号；（2）根据图象和x=1的函数值确定ab+c与0的关系；（3）抛物线在x轴上方时y＞0；抛物线在x轴下方时y＜0．解：由抛物线的开口向下，得a<0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方，得c>0，又由<0，∴>0，∴a、b同号，由a<0得b<0.由抛物线与x轴有两个不同的交点，∴Δ=b24ac>0（2）由抛物线的顶点在x轴上方，对称轴为x=1.∴当x=1时，y=ab+c>0（3）由图象可知：当3<x<1时y>0，∴当x<3或x>1时，y<0考点：二次函数的图象与系数的关系【知识拓展4】二次函数的图象和各项系数的符号如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．（1）m的值为________；（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）1＜x＜3；（4）5≤y≤4【分析】根据函数的图象和性质即可求解．解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m，故答案为3；（2）m＝3时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，函数的对称轴为直线x＝＝1，∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，故答案为x＞1；（3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3，从图象看，当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方；故答案为﹣1＜x＜3；（4）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，而抛物线的顶点坐标为（1，4），故当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4，故答案为﹣5≤y≤4．【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键．【即学即练1】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③2a+b﹣c＜0；④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣，y1）和（，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是_____（填入正确结论的序号）【答案】②③④解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右边，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故②正确；∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，c＞0，∴﹣=1，∴2a+b=0，∴2a+b＜c，∴2a+b﹣c＜0，故③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故④正确；∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴抛物线上x=﹣时的点与当x=时的点对称，∵x＞1，y随x的增大而减小，∴y1＜y2，故⑤错误；故答案为：②③④．【点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．【知识拓展5】一次函数、二次函数图象的综合判断如图，已知直线=2x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求m的值；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是x轴上一点，当△ABP为直角三角形时直接写出点P的坐标．【答案】（1）m＝6；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）点P的坐标为（7，0）或（1，0）．【分析】（1）将点A坐标代入y=2x+m，即可求解；（2）y=2x+6，令y=0，则x=3，故点B（3，0），则二次函数表达式为：y=a（x1）2+4，将点B的坐标代入上式，即可求解；（3）分∠BAP=90°、∠AP（P′）B=90°两种情况，求解即可．解：（1）将点A坐标代入y＝﹣2x+m得：4＝﹣2+m，解得：m＝6；（2）y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点B（3，0），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（3）①当∠BAP＝90°时，直线AB的表达式为：y＝﹣2x+6，则直线PB的表达式中的k值为，设直线PB的表达式为：y＝x+b，将点A的坐标代入上式得：4＝×1+b，解得：b＝，即直线PB的表达式为：y＝x+，当y＝0时，x＝﹣7，即点P（7，0）；②当∠AP（P′）B＝90°时，点P′（1，0）；故点P的坐标为（7，0）或（1，0）．【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本知识，要注意类讨论，避免遗漏，本题较为简单．【即学即练1】已知二次函数．如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；如图，二次函数的图象过，点，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．【答案】（1）且；（2）P点坐标为．解：（1）根据题意得且；（2）先求二次函数的解析式，再求抛物线的对称轴，用待定系数法求直线AB的解析式，再求AB与对称轴的交点P.解：根据题意得且，所以且；把代入得，解得，所以抛物线解析式为，所以抛物线的对称轴为直线，当时，，则，设直线AB的解析式为，把，代入得，解得，所以直线AB的解析式为，当时，，所以P点坐标为．【点拨】本题考核知识点：二次函数与一次函数.解题关键点：理解二次函数图象的交点问题.【即学即练2】如图所示，已知直线y=x与抛物线y=交于A、B两点，点C是抛物线的顶点．(1)求出点A、B的坐标；(2)求出△ABC的面积；(3)在AB段的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点A、B的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)30；(3)当a＝1时，△ABP的面积最大，此时点P的坐标为(1，)．【分析】（1）由直线与抛物线交于A、B两点，可得方程，解方程即可求得点A、B的坐标；（2）首先由点C是抛物线的顶点，即可求得点C的坐标，又由S△ABC=S△OBC+S△OAC即可求得答案；（3）首先过点P作PD∥OC，交AB于D，然后设，即可求得点D的坐标，可得PD的长，又由S△ABP=S△BDP+S△ADP，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．解：(1)∵直线与抛物线交于A、B两点，∴，解得：x＝6或x＝﹣4，当x＝6时，y＝﹣3，当x＝﹣4时，y＝2，∴点A、B的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；∵点C是抛物线的顶点．∴点C的坐标为(0，6)，∴S△ABC＝S△OBC+S△OAC＝×6×4+×6×6＝30；(3)存在．过点P作PD∥OC，交AB于D，设P(a，﹣a2+6)，则D(a，﹣a)，∴PD＝﹣a2+6+a，∴S△ABP＝S△BDP+S△ADP＝×(﹣a2+6+a)×(a+4)+×(﹣a2+6+a)×(6﹣a)＝(﹣4＜a＜6)，∴当a＝1时，△ABP的面积最大，此时点P的坐标为(1，)．【点拨】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积的求解以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．【知识拓展6】两个二次函数图像的综合判断 已知二次函数与．（1）随着系数和的变化，分别说出这两个二次函数图像的变与不变；（2）若这两个函数图像的形状相同，则______；若抛物线沿轴向下平移2个单位就能与的图像完全重合，则______．（3）二次函数中、的几组对应值如下表：15表中、、的大小关系为______．（用“”连接）．【答案】（1）见解析；（2），；（3）【分析】（1）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项的变化会影响开口大小，开口方向，对称轴和顶点坐标，根据二次函数的性质即可得出图像的具体影响．（2）由于函数图像形状相同，可以得到；根据二次函数平移规律上加下减可求得函数，再由题意就可得到c=2．（3）将表中数值代入二次函数即可分别得到m、n、p含未知数c的代数式，比较大小即可．解：（1）二次函数的图像随着的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数的图像随着的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变．（只要学生答对变与不变各一个点就给满分）．（2）由于函数与函数的形状相同，所以，即．抛物线沿y轴向下平移两个单位，即得到抛物线．因为该抛物线与的图像完全重合所以故答案为；（3）表中数值代入二次函数可得;,,因为<<所以．故答案为【点拨】本题考查二次函数的性质，二次函数图像与几何变换，二次函数上点的坐标特征．特别注意（2）时两个函数图像形状相同．【即学即练1】如图，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．⑴当a=1，b=－2，c=3时，求点C的坐标(直接写出答案)；⑵若a、b、c满足了①求b：b′的值；②探究四边形OABC的形状，并说明理由．【答案】解：（1）C（3，0）；（2）①抛物线，令=0，则=，∴A点坐标（0，c）．∵，∴，∴点P的坐标为（）．∵PD⊥轴于D，∴点D的坐标为（）．根据题意，得a=a′，c=c′，∴抛物线F′的解析式为．又∵抛物线F′经过点D（），∴．∴．又∵，∴．∴b:b′=．②由①得，抛物线F′为．令y=0，则．∴．∵点D的横坐标为∴点C的坐标为（）．设直线OP的解析式为．∵点P的坐标为（），∴，∴，∴．∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴．∴．∵点P的横坐标为，∴点B的横坐标为．把代入，得．∴点B的坐标为．∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC=OA），∴四边形OABC是平行四边形．又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．【解析】（1）先求出抛物线解析式，再根据平移的特征即可得到点C的坐标；（2）①根据抛物线顶点坐标的表达式及抛物线与坐标轴的交点坐标的特征即可得到结果；②根据抛物线与坐标轴的交点坐标及抛物线与直线OP的交点坐标的特征即可得到结果；【知识拓展7】根据二次函数图象判断式的符号如图，二次函数的图像开口向上，图像经过点和，且与轴相交于负半轴．第问：给出四个结论：①；②；③；④．写出其中正确结论的序号（答对得分，少选、错选均不得分）第问：给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1．写出其中正确结论的序号．【答案】（1）正确的序号为①④；（2）正确的序号为②③④．【分析】（1）根据抛物线开口向上对①进行判断；根据抛物线对称轴x=在y轴右侧对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方对③进行判断；根据x=1时，y=0对④进行判