特训13第4-6章压轴题（2023新题数形结合与分类讨论思想专练）

特训13第46章压轴题（2023新题，数形结合与分类讨论思想专练）一、解答题1．（2023下·湖南长沙·八年级校考阶段练习）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为．(1)无理数的“麓外区间”是_________；(2)若其中一个无理数的“麓外区间”为且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求值．(3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“麓外区间”．【答案】(1)(2)1或37(3)【分析】（1）只需要估算出的取值范围即可得到答案；（2）由是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，得到是一个完全平方数，，再由，可得满足题意的m、n的值为：或，由此代入方程中进行求解即可；（3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“麓外区间”的定义即可求解．【解析】（1）解：∵，，∴，∴，∴无理数的“麓外区间”是，故答案为：（2）解：由题意得，m、n是两个相邻的正整数，∵是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，∴是一个完全平方数，，∵，∴满足题意的m、n的值为：或，当时，则，∴，∴；当时，则，∴，∴，综上所述，C的值为1或37；（3）解：∵，∴，，∴，∴，∴，∵∴，，两式相减，得，∴，∴的算术平方根为，∵，∴，∴的算术平方根的“麓外区间”是．【点睛】本题主要考查了算术平方根、无理数的估算，非负数的性质，解二元一次方程组，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“麓外区间”的定义．2．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，对于任意图形及直线，给出如下定义：将图形先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形的伴随图形．例如：点的[x轴，y轴]伴随图形是点．(1)点的[x轴，y轴]伴随图形点的坐标为；(2)若直线的解析式为：，则点的[轴，]伴随图形点的坐标为；(3)已知，，，直线经过点．①当，且直线与轴平行时，点A的[轴，]伴随图形点的坐标为；②当，点的[轴，]伴随图形点的坐标为，求直线的解析式；③当直线经过原点时，的[轴，]伴随图形上只存在两个与轴的距离为1的点，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)(3)①；②；③或【分析】（1）将点先沿轴翻折，再沿轴翻折得出的坐标即可；（2）将点先沿轴翻折，再沿轴翻折得出的坐标即可；（3）①先得出点的坐标和直线的解析式，然后翻折得出的坐标即可；②先求出点沿轴翻折后的坐标，在得出翻折后的点的坐标和点的坐标的中点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析即可；③先求出直线的解析式，再求出的[轴，]伴随图形上各顶点的坐标，根据只存在两个与轴的距离为1的点列不等是求解即可．【解析】（1）解：将点沿轴翻折得到，再沿轴翻折得到的坐标为，点的[x轴，y轴]伴随图形点的坐标为，故答案为：；（2）解：将点沿轴翻折得到，再沿直线翻折得到的坐标为，点的[轴，]伴随图形点的坐标为，故答案为：；（3）解：①当时，，直线与轴平行，且直线经过点，直线的解析式为，将点沿轴翻折得到，再沿直线翻折得到的坐标为，点A的[轴，]伴随图形点的坐标为，故答案为：；②当时，，将沿轴翻折得到，点的[轴，]伴随图形点的坐标为和的中点坐标为，即，直线过点，设直线的解析式为，将和代入解析式得，，解得：，直线的解析式为，故答案为：；③直线经过原点，且经过点，直线的解析式为，由题意知，三点沿轴翻折点坐标依次表示为，，，再沿直线翻折点坐标依次表示为：，，，的[轴，]伴随图形上只存在两个与轴的距离为1的点，或，解得：或．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，直角坐标系中中点的坐标，待定系数法求一次函数解析式，解不等式，解题的关键在于正确地将翻折后的点的坐标表示出来．3．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，且，将线段向右平移5个单位得到线段，其中点A的对应点为点D．

(1)请直接写出点A、B、C、D的坐标；(2)线段与y轴交于点E，线段上是否存在一动点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)若动点Q从原点出发，沿y轴以每秒0.5个单位长度的速度向上运动，连接直线交四边形的边长于点F，当直线将四边形的面积分成两部分时，求点Q的运动时间．【答案】(1)，，，(2)存在，点P的坐标为(3)秒或秒【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出a、b的值，然后再根据平移求出C、D点的坐标即可；（2）先求出，，设点，则，求出m的值即可；（3）根据直线将四边形的面积分成两部分，求出这两部分的面积，分情况画出图形，由面积关系列出方程，解方程即可．【解析】（1）解：∵要想有意义，∴，解得：，∴，解得：，∴，，∵将线段向右平移5个单位得到线段，∴，；（2）解：存在；点P的坐标为；根据题意可知，，，，∴，，设点，则，解得：，∴P点坐标为；

（3）解：如图，直线将四边形的面积分成两部分，此时与四边形的面积之比为，

∵，∴，即，解得：，则点的坐标为，设直线的解析式为：，则：，解得：，∴直线的解析式为：，把代入得：，∴此时点Q的坐标为，∴此时点Q的运动时间为：（秒）；如图，直线将四边形的面积分成两部分，此时与四边形的面积之比为，

∵，∴，即，解得：，则点的坐标为，设直线的解析式为：，则：，解得：，∴直线的解析式为：，把代入得：，∴此时点Q的坐标为，∴此时点Q的运动时间为：（秒）；综上分析可知，点Q的运动时间为秒或秒．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，坐标与图形，求一次函数解析式，一次函数的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．4．（2023上·北京东城·八年级北京一七一中校考期中）平面直角坐标系中，等边的顶点A在轴正半轴上，顶点B、C都在轴上，给出如下定义：若点P为轴上一点，且点P与的一个顶点的距离恰好等于的边长，则称点P为的友好点，这个距离称为点P和的友好距离，记作．

(1)若点P和的友好距离，写出的顶点B的坐标______，顶点C的坐标______；(2)如图，等边的顶点B坐标为，顶点C坐标为．①在，，中，的友好点是______；②已知点E坐标为，点F坐标为，若线段上恰有两个的友好点，直接写出的取值范围是______．【答案】(1)(2)①，②且且【分析】本题为新定义类型的综合题，考查了等边三角形的性质，平面直角坐标系．（1）根据新定义的友好距离，得，再由等边三角形的性质即可；（2）①根据新定义即可判断，②的友好点分别是点再根据题意列不等式组即可．本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．【解析】（1）解：点P与的一个顶点的距离恰好等于的边长，且，，等边的顶点A在轴正半轴上，顶点B、C都在轴上，，，故答案为：；（2）解：①等边的顶点B坐标为，顶点C坐标为，，即，，，故，是的友好点．，在中，，，在中，，故不是的友好点．故答案为：，；②由题意得：的友好点分别是点，解得：，当或时，有三个友好点，且，故的取值范围是且且，故答案为：且且．5．（2023上·山西晋中·八年级校考阶段练习）下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．2023年9月22日天气：晴无理数与线段长．今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实．回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点．拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！

任务：(1)在图3中画图确定表示的点M．

(2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图．

(3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．

(4)在图6中的数轴上分别标出表示数以及的点，并比较它们的大小．

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)不能，理由见解析(4)数轴见解析，【分析】（1）由，可作出单位长度以3和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，即可解答；（2）设1个小正方形的面积为1，则5个小正方形的面积为5，即所拼成的大正方形的边长为，进而即可画出裁剪线和所拼得的大正方形；（3）由题意可求出正方形纸片的边长为．设长方形纸片的宽为，则长为，则可列出关于x的方程，再利用平方根解方程，即得出长方形纸片的长为，最后比较即可；（4）由，可作出单位长度以2和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以表示的点为圆心，以为半径画弧，与数轴右侧的交点即为．再画出表示的点，根据数轴的性质比较即可．【解析】（1）解：如图，点M即为所作；

（2）解：如图所示；

（3）解：不能．理由：由题意可知这个面积为的正方形纸片的边长为，设面积为的长方形纸片的宽为，则长为，∴，解得：（舍去负值），∴长方形纸片的长为．∵，∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片；（4）解：在数轴上表示数和的点如图，

有数轴可知：．【点睛】本题主要考查勾股定理，数轴和利用平方根解方程．利用数形结合的思想是解题关键．6．（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知分别在坐标轴的正半轴上．

(1)如图1，若满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点的坐标是______；(2)如图2，若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：；(3)如图3，设的平分线过点，请求出的值，并说明理由．【答案】(1)(2)见解析(3)，理由见解析【分析】（1）由偶次方和绝对值的非负性得出，，则，，证明，得到，，，即可得解；（2）过作轴于，则，证明，得到，，，再证明是等腰直角三角形，得，然后由三角形外角的性质即可得出结论；（3）过点作轴于，轴于，交的延长线于，则，由角平分线的性质可得，证明得到，同理证明得到，即可求解．【解析】（1）解：，，，，，，，，，，如图，过点作轴于，则，，，，，，，，，，，，故答案为：；（2）证明：如图，过作轴于，则，，，，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，，即，，是等腰直角三角形，，，，；（3）解：如图，过点作轴于，轴于，交的延长线于，，，平分，，，，，，同理可得：，，，，，，即．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、角平分线的性质、非负数的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质、证明三角形全等是解此题的关键．7．（2023上·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）在平面直角坐标系中，已知点，我们将经过点且垂直于轴的直线记为直线，将经过点且垂直于轴的直线记为直线．对于点给出如下定义，将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，称点为点关于的“对应点”．对于图形给出如下定义，将图形关于直线对称得到图形，再将图形关于直线对称得到图形，称图形为图形关于的“对应图形”．已知的顶点坐标为，，(1)如图1，若点①由定义知，将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称，得到点，则点关于的对应点为．那么，点关于的对应点为，点关于的对应点为．②已知点和点，若线段关于的对应线段位于的内部（不含三角形的边），求的取值范围．(2)若轴上存在点，使得点关于的对应点恰好落在的边上，直接写出点横坐标的取值范围．【答案】(1)①，；②(2)【分析】（1）①根据题目的新定义求解即可；②根据新定义表达出和，结合图形即可作答；（2）设点，则点关于的对应点，根据点关于的对应点恰好落在的边上，可得，问题得解．【解析】（1）①将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则点关于的“对应点”为，将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则点关于的“对应点”为，故答案为：，；②解：由上述可得点关于的“对应点”为，点关于的“对应点”为．如图，线段在内部，此时只需在轴下方，在轴上方，即，解得；∴的取值范围是：．（2）设点，∵，∴点关于的对应点，∵点关于的对应点恰好落在的边上，结合图形有：，∴，即的取值范围：．【点睛】本题考查了平面直角坐标系的新定义，轴对称的性质，坐标与图形等知识，解决本题的关键是掌握“对应点”的定义，结合轴对称表示出对应点的坐标，是解答本题的关键．8．（2023上·全国·八年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交轴于点，，点是轴负半轴．上一动点（点不与点重合）．

(1)求点、、的坐标．(2)问题探究：①如图2，过点作，小明发现在点的运动过程中，的度数为定值，为求出这个定值，小明过点作，请你帮他用表示出的度数，并说明理由；②如图3，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的度数．【答案】(1)A，B，C(2)①，理由见解析；②的度数不发生变化，理由见解析过程，【分析】（1）结合题意，根据乘方、算术平方根、绝对值的性质，结合坐标的性质分析，即可得到答案；（2）①根据平行线的性质，推导得，，结合余角的性质计算，即可得到答案；②根据角平分线的性质，得，；根据余角和三角形内角和的性质计算，即可得到答案．【解析】（1）解：，，，，，，；（2）解：①，，，，，，；②的度数不发生变化，理由如下：过点作，

，，，，，，，、分别为，的平分线，，，．【点睛】本题考查了直角坐标系、乘方、算术平方根、绝对值、角平分线、平行线、三角形内角和、余角的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、平行线、三角形内角和的性质，数形结合完成求解．9．（2023上·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期中）阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足，就称点P为“燕南点”．例如：点E，令得，，所以E不是“燕南点”；F，令得，，所以F是“燕南点”．（1）点A，B是“燕南点”的是（2）点M是“燕南点”，请判断点M在第几象限？并说明理由；（3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C是“燕南点”，求t的值．【答案】（1）B；（2）M，在第一象限；（3）．【分析】（1）根据“燕南点”的定义分别判断即可；（2）直接利用“燕南点”的定义得出a的值再求出点的坐标进而得出答案；（3）直接利用“燕南点”的定义得出t的值进而得出答案；【解析】（1）点A，令解得，A不是“燕南点“，点B，令解得，B是“燕南点”；故答案为：B；（2）根据题意,得，，，求得，所以，所以M，在第一象限；（3）方程组的解为∵点是“燕南点”，∴∴，∴，解得，∴t的值为10．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，点的坐标的知识，同时考查了阅读理解能力及迁移运用能力．10．（2023上·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）在平面直角坐标系中，直线表示过且垂直于轴的直线，对某图形上的点作如下变换：当时，作点关于直线的对称点，称为变换；当时，作点关于轴的对称点，称为变换，若某个图形上既有作变换的点，又有作变换的点，则称此图形为双变换图形．例如，已知，，如图所示，当时，点应作，变换后为；点应作变换，变换后为．(1)当时，已知点，则作相应变换后的坐标为，若点作相应变换后的点的坐标为，则点的坐标为，(2)已知，，若线段是双变换图形，则的取值范围为，已知点在第四象限角平分线上，若及其内部（点除外）组成的图形是双变换图形，且变换后所得图形记为，直接写出所有图形所覆盖的区域的面积为．【答案】(1)；或．(2)或；【分析】（1）①由题意根据变换的定义求解即可；②根据题意分两种情形：，，分别构建不等式解决问题即可．（2）①由题意根据，两点的横坐标，判断出的范围即可；②由题意可知满足条件的图形是平行四边形，变换后所有图形所覆盖的区域的面积．【解析】（1）解：①∵，，∴，∴相应变换后的点的坐标是，故答案为：．②∵，直线为．若，则点作变换后的点的坐标为，，，且符合题意．∴．若，则点作变换后的点的坐标为，，且符合题意．∴．综上，或．（2）解：①线段是双变换图形，，，∴，或．故答案为：或．②如下图中，点E满足条件的图形是平行四边形，对于直线，由题意，对于及其内部的点（E除外），满足，则它关于直线对称的图形为及其内部的点；对于及其内部的点（线段除外），满足，则它关于y轴对称的图形为及其内部（线段除外），∴所有图形F所覆盖的区域为平行四边形及平行四边形，且它们的面积相等，等于平行四边形的面积，变换后所有图形所覆盖的区域的面积．故答案为：【点睛】本题属于几何变换综合题，考查Ⅰ变换，Ⅱ变换，双变换图形的定义，解题的关键是理解题意，学会构建不等式解决问题，属于中考创新题型．11．（2023上·广东深圳·八年级深圳市宝安中学（集团）校考期中）学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法．(1)【学有所用】如图1，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰、的距离、分别为、，小明发现，通过连接，将的面积转化为和的面积之和，建立等量关系，便可证明，请你结合图形来证明：；(2)【尝试提升】如图2，在中，，D是边上一点，使，过上一点P，作，垂足为点E，作，垂足为点F，已知，，求的长．(3)【拓展迁移】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点M到的距离是2，求的值．【答案】(1)见解析(2)6(3)或【分析】（1）连接AM，根据，结合三角形面积公式和即可证明；（2）根据勾股定理可求出，再根据，，，结合（1）所得结论即得出；（3）根据函数解析式可求得，，，从而可得，即为等腰三角形．再根据上的一点M到的距离是，则可分类讨论：当点M在边上时，过点作于点G，作于点H，如图，易得出，从而得出，从而可求出，，即得出；②当点M在延长线上时，过点作于点P，则，易证，得出，从而可求出，即得出．【解析】（1）证明：连接AM，由题意得，，，∵，∴，∴，∵，∴；（2）∵，，，∴在中，．又∵，，，∴结合（1）可知；（3）解：对于，令，得：；令，得：，∴，．对于，令，得：，则．∵在中，，，∴，即为等腰三角形．∵上的一点M到的距离是，则点M在边上或在延长线上，分类讨论：当点M在边上时，过点作于点G，作于点H，如图，由（1）知：，由题可知：，则，将，代入，解得：，∴，∴，，∴；②当点M在延长线上时，过点作于点P，如图，∴，又∵，，∴，∴．∵，∴，∴．综上所述：的值为或．【点睛】本题考查等积法，勾股定理，一次函数的应用，三角形全等的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键．12．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对于函数的图像和性质进行探究．

(1)列表：下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=________，n=________；x…43211234……m2n2…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：(2)请把y轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来；(3)观察图形并分析表格，解决下列问题：①自变量x的取值范围是__________；②函数图象关于点___________中心对称；③求证：当时，y随x的增大而增大．【答案】(1)，(2)见详解(3)①②③见详解【分析】（1）将，代入函数解析式即可求解；（2）用光滑的曲线顺次连接起来，即可求解；（3）①由得，分母不为，即可求解；②由表格可得第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数，即可求解；③设，可得，，可求，，，，即可求解．【解析】（1）解：当时，，当时，；故答案：，．（2）解：如图，用光滑的曲线顺次连接起来，

（3）①解：由得自变量x的取值范围是，故答案：；②解：由表格得：与，与，与，，第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数，函数图像关于点中心对称，故答案：．③证明：设，，，，，，，，，，，故当时，y随x的增大而增大．【点睛】本题考查了通过作函数图象，通过图象来研究函数性质：自变量取值范围、对称性、增减性，掌握函数增减性的证明方法是解题的关键．13．（2023上·辽宁锦州·八年级统考期末）【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用．

【模型应用】

(1)如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，①则_________；②C，D是正比例函数图像上的两个动点，连接AD，BC，若，则AD的最小值是__________；(2)如图2，一次函数的图像与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式；【模型拓展】(3)如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．【答案】(1)①；②(2)(3)或或或【分析】（1）①先根据函数解析式确定，进而得到，然后根据等腰直角三角形的性质即可解答；②根据点到直线的距离垂线段最短，可得当时，AD有最小值，然后判定可得，最后根据勾股定理求解即可；（2）先证可得，进而得到，最后根据待定系数法即可解答；（3）分，点P在x轴上方或下方和点P在x轴上方或下方，四种情况，分别运用全等三角形的判定与性质和二元一次方程组解答即可【解析】（1）解：①∵与x轴，y轴交于A，B两点，∴，∴，又∵，∴为等腰直角三角形，∴；故答案为；②∵A是定点，∴如图：当时，有最小值；

∵,∴，∵，∴，在和中，∴，∴在中，由勾股定理得：，∴，∴的最小值为．故答案为．（2）解：如图，过点B作交直线l于点C，过点C作轴．

∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．当时，，∴．当时，，∴．∴．设直线l对应的函数表达式为，将和代入，得

解得∴．（3）解：①当,,P在x轴的上方，如图1：过P作轴，交于M，交y轴于N，∵，∴，又∵，∴，∴；∵直线l：，∴设，∴，∴，∴，∴,即，①②联立解得：，∴；

②当,,P在x轴的下方，如图2：

同①易证：，∴；∵直线l：，∴设，∴，∴，∴,∴,即，①②联立解得：，∴;

③当,,P在x轴的上方，如图3：易证，∴；∵直线l：，∴设，∴，∴，∵，∴，①②联立解得：，∴；

④当,,P在x轴的下方，如图：易证，∴；∵直线l：，∴设，∴，∴，∵，∴，①②联立解得：，∴．

综上，点P的坐标为或或或．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．14．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道上有A，B，C三个站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）．甲、乙两个机器人分别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走．图2是两机器人距离C站点的距离y（米）出发时间t（分钟）之间的函数图像，其中为折线段．请结合图像回答下列问题：

(1)乙机器人行走的速度是___________米/分钟；(2)在时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度．①图2中m的值为___________．②请求出在时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间t的值．【答案】(1)50(2)①120，②7或【分析】（1）根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，据此可求得乙机器人行走的速度；（2）①先求得甲机器人行走的总路程540米，再分段求得甲机器人行走的路程，根据速度、时间、路程的关系式求解即可；②分情况讨论，一种是甲乙都在运动，第二种状态是甲先到，静止下来，乙在跑，以甲停止运动那一刻为分界点．【解析】（1）解：根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，∴乙机器人行走的速度为(米/分)；故答案为：50．（2）①设甲机器人前3分钟的速度为x米/分，依题意得：，解得，甲机器人行走的总路程为：(米)，甲机器人前4分钟的速度为80米/分，甲行走路程：(米)，时，甲的速度变为与乙的速度相同，甲行走路程：(米)，∴，故答案为：．②∵6分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，∴6分钟后甲机器人的速度是80米/分，当时，甲乙两机器人的距离为：（米），当甲到达终点C时，（分），乙到达终点C时，（分）当时，当时，当时，，解得解得甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间的值为7或【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程中追击问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．15．（2023下·北京朝阳·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点和点Q给出如下定义：若点Q的坐标为，则称点Q为点P的“n倍点”．(1)①若点，点Q为点P的“倍点”，则点Q的坐标为___________；②当P是直线与x轴的交点时，点P的“n倍点”的坐标为___________．(2)已知点，，，．①若对于直线上任意一点Q，在直线上都有点P，使得点Q为点P的“n倍点”，求n的值；②点P是直线上任意一点，若在四边形的边上存在点P的“n倍点”，且，直接写出k的取值范围．【答案】(1)①；②(2)①

②【分析】（1）①直接根据题中定义求解即可；②先求得与x轴的交点坐标，再根据定义求解即可；（2）①先利用待定系数法求得直线的表达式为．则，又，利用题中定义可求得n值；②先得出轴，，再求得直线的表达式为，设，则点P的“n倍点”，分点Q在边上时、点Q在边上时、点Q在边上时、点Q在边上时，求得，进而可求解．【解析】（1）解：①根据定义，点Q的坐标为，故答案为：；②由得，∴，∴点P的“n倍点”的坐标为，故答案为：；（2）解：①设过点，的直线为，

解得∴直线的表达式为．．点P在直线上，．．②∵点，，，．∴轴，，设直线的表达式为，将代入，得，∴直线的表达式为．设，则点P的“n倍点”，若点Q在边上时，则，即，∴，则；若点Q在边上时，则，即，∴，则；若点Q在边上时，则，即，∴，则；若点Q在边上时，则，即，∴，则综上，，又，∴．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、解不等式、算术平方根等知识，理解题中定义并正确求解是解答的关键．16．（2023下·福建厦门·八年级统考期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：商品进价售价乒乓球拍（元/套）45羽毛球拍（元/套）52已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．(1)求出a，b的值；(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元．①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？【答案】(1)a的值为35，b的值为40(2)①y与x的函数关系式为，x的取值范围为：；②当时，乒乓球拍