专题6.7动角旋转问题专项训练（浙教版）

专题6.7动角旋转问题专项训练【浙教版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对线段中的动点问题的理解！1．（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB=3∠AOC．

(1)如图1所示，若∠AOB=120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数；(2)如图2所示，∠AOB是直角，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC−∠AOC=∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数；(3)如图3所示，∠AOB=x°，射线OP，射线OQ分别从OC，OB出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O逆时针旋转，OP和OQ分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为①直接写出∠AOP和∠COQ的数量关系；②若∠AOB=150°，当∠POQ=23∠BOP【答案】(1)40°(2)45°(3)①∠COQ=2∠AOP；②t=20【分析】（1）先求出∠AOC=40°，再根据角平分线的定义得到∠AOM=20°，（2）先求出∠AOC=30°，则∠BOC=60°，进一步求出∠COD=30°，由角平分线的定义得到∠COM=12∠COD=15°（3）①先求出∠AOC=13x°，∠BOC=23x°，根据题意可得∠COP=t°，∠BOQ=2t°，由此求出∠AOP=13x−t°，∠COQ=2【详解】（1）解：∵∠AOB=3∠AOC,∠AOB=120°，∴∠AOC=1∵OM平分∠AOC,ON平分∠AOB，∴∠AOM=1∴∠AOM=20°，∴∠MON=∠AON−∠AOM=60°−20°=40°；（2）解：∵∠AOB=90°，∴∠AOC=30°，∴∠BOC=60°，∵∠BOC−∠AOC=∠COD，∴∠COD=60°−30°=30°，∵OM平分∠COD，∴∠COM=1∴∠BOM=∠BOC−∠COM=45°；（3）解：①∵∠AOB=3∠AOC，∴∠AOC=∴∠BOC由题意得：∠COP=t×1°=t°，∴∠AOP=∠AOC−∠COP=13x−t∴∠COQ=2∠AOP；②由①知∠COP=t°，∠COQ=∵∠POQ=∠COQ+∠COP，∴∠POQ=2x∵∠AOB=150°，∠POQ=2∴23把x=150代入得：100−t=解得t=20，∴若∠AOB=150°，当∠POQ=23∠BOP【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键．2．（2022上·广东深圳·七年级深圳市宝安中学（集团）统考期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将△AOB绕着点O顺时针旋转α0°<α<180°(1)如图2，若α=26°，则∠BOP=______，∠AOM+∠BOQ=______；(2)若射线OC是∠BOM的角平分线，且∠POC=β．①△AOB旋转到图3的位置，∠BON=______．（用含β的代数式表示）②△AOB在旋转过程中，若∠AOC=2∠AOM，则此时β=______．【答案】(1)64°；180°(2)①2β；②60°或36°【分析】（1）根据∠BOP=180°−∠AOB−∠AOQ，以及角的和差计算即可；（2）①先求∠BOP，再利用∠BON=∠BOP+∠PON得出结论；②分两种情况讨论：当OB旋转到OP左侧时；当OB旋转到OP右侧时，解答即可．【详解】（1）解：MN⊥PQ，∴∠MOQ=∠MOP=90°，∵α=26°，∴∠AOQ=α=26°，∵∠AOB=90°，∴∠BOP=180°−∠AOB−∠AOQ=180°−90°−26°=64°；∵∠AOM=∠MOQ−∠AOQ=90°−26°=64°，∠BOQ=∠AOB+∠AOQ=90°+26°=116°，∴∠AOM+∠BOQ=64°+116°=180°；故答案为：64°；180°．（2）解：①∵∠MOP=90°，∠POC=β，∴∠MOC=90°−β，∵射线OC是∠BOM的角平分线，∴∠BOM=2∠MOC=290°−β∴∠BOP=90°−∠BOM=90°−180°+2β=2β−90°，∵∠PON=90°，∴∠BON=∠BOP+∠PON=2β−90°+90°=2β；故答案为：2β；②当OB旋转到OP左侧时，如图所示：∵OC是∠BOM的角平分线，∴∠BOC=∠MOC，∵∠AOC=2∠AOM，∴∠AOM=∠MOC，∴∠BOC=∠MOC=∠AOM，∵∠BOC+∠MOC+∠AOM=90°，∴∠BOC=∠MOC=∠AOM=30°，∴∠POC=β=∠MOP−∠MOC=90°−30°=60°；当OB旋转到OP右侧时，如图所示：设∠AOM=x，∵∠AOC=2∠AOM=2x，∴∠MOC=∠AOM+∠AOC=3x，∵OC是∠BOM的角平分线，∴∠BOC=∠MOC=3x，∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=90°，∴2x+3x=90°，解得：x=18°，∴∠MOC=3x=54°，∴∠POC=β=90°−∠MOC=36°；综上分析可知，β的值为：60°或36°．故答案为：60°或36°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是解题的关键．3．（2023上·广东茂名·七年级统考期末）如图，∠AOB=∠EOF=90°，连接AB．(1)用尺规作图法在射线OF上作OC=OB，在射线OE上取点D使CD=AB；(2)连接CD，找一点P使它到四边形OBCD四个顶点的距离之和最小，并说明理由；(3)设∠AOF=α，①当α=42°28′时，求②当∠AOB绕点O旋转任意角度时，请用α表示∠AOF和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)①137°32′，②【分析】（1）利用尺规：以点O为圆心，OB长为半径作弧，与OF交于点C，以点C为圆心，AB长为半径作弧，交OE与点D，点C、D即为所求；（2）根据两点之间线段最短，即可找到点P；（3）①结合图形及题意可得∠BOF=47°32′；代入②根据各角之间的数量关系进行等量代换求解即可得答案．【详解】（1）解：如图，OC，点D即为所求；；（2）解：点P即为所求；因为两点之间线段最短，所以OP+OC+OB+OD=OC+BD最小；∴点P到四边形OBCD四个顶点的距离之和最小．（3）解：①∵∠AOF=α=42°28∴∠BOF=90°−42°28∴∠BOE=∠BOF+EOF=48°+90°=137°32②当∠AOB绕点O旋转任意角度时，∠AOF+∠BOE=180°，理由如下：∵∠AOB=∠EOF=90°，∠AOF=α，∴∠BOF=90°−α，∴∠BOE=∠EOF+∠BOF=90°+90°−α=180°−α，∴∠AOF+∠BOE=α+180°−α=180°．∴∠AOF+∠BOE=180°．【点睛】本题主要考查了利用尺规作图，最短路线问题，角度计算等，理解题意，熟练掌握各个基本知识点是解题关键．4．（2022上·福建莆田·七年级校联考期末）已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引两条射线OC，OD，且OC平分∠AOD(1)若∠BOD∶∠AOD=4∶6，求∠AOC的度数．(2)请在图1中画一条射线OE，使得OE平分∠BOD，并求此时∠COE的度数．(3)将(2)中的射线OE绕O点旋转一定的角度，使得∠BOE=4∠DOE，且∠COE=75°，求此时∠BOE的度数．【答案】(1)∠AOC=54°(2)∠COE=90°(3)∠BOE=40°或24°【分析】（1）根据平角的定义，结合已知条件得出∠AOD=108°，然后根据角平分线的定义，即可求解．（2）由角平分线的定义得出∠COD=12∠AOD，∠EOD=（3）当射线OE在∠BOD内部时，设∠1=α，则∠2=4α，∠4=∠3=(75°−α)，根据平角的定义列等式求出结果即可，当射线OE在∠BOD外时，同理可得结论．【详解】（1）解：∵∠BOD∶∠AOD=4∶6，且∠AOD+∠BOD=180°，∴∠AOD=3∵OC平分∠AOD，∴∠AOC=1（2）如图所示，OE即为所求∵OC平分∠AOD，OE平分∠BOD，∴∠COD=12∠AOD∴∠COE=∠COD+∠EOD=（3）当射线OE在∠BOD内部时，如图，设∠1=α，根据题意得∠2=4∠1=4α．∵∠COE=∠1+∠3=75°，∴∠3=(75°−α)．∵OC平分∠AOD，∴∠4=∠3=(75°−α)，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴α+4α+75−α解得：α=10°．∴∠2=4α=40°．∴∠BOE=40°．当射线OE在∠BOD外时，如图∵∠BOE=4∠DOE，设∠DOE=α，则∠DOB=3α，∴∠AOD=180°−∠DOB=180°−3α，∵OC平分∠AOD，∴∠COD=1∴∠COE=∠COD−∠EOD=90°−3∵∠COE=75°，∴90°−5∴α=6°，∴∠BOE=4α=24°，综上所述，∠BOE=40°或24°．【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．5．（2023上·江苏南京·七年级校考期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．此时∠AOM=度；(2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明你的理由；(3)将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？(4)将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转，同时射线OC绕点O以每秒2°的速度沿逆时针方向旋转，旋转30秒后都停止．在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是秒．（直接写出答案）【答案】(1)120(2)∠AOM−∠NOC=30°，理由见解析(3)5秒或20秒(4)6011秒或240【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠BOM=60°，再根据平角的定义即可得到∠AOM=180°−∠BOM=120°；（2）先根据平角的定义求出∠AOC=60°，再由∠AON=∠NOM−∠AOM=∠AOC−∠NOC即可得到结论；（3）设三角板绕点O旋转的时间是t秒，先求出∠AOC=60°，然后分当ON在∠AOC外部时，当ON在∠AOC内部时，两种情况求出对应的旋转角度，然后建立方程求解即可；（4）设三角板绕点O旋转的时间是m秒，先求出∠AOC=60°−m°，然后分当ON在∠AOC外部时，当ON在∠AOC内部时，两种情况求出对应的旋转角度，然后建立方程求解即可．【详解】（1）解：∵OM恰好平分∠BOC，∠BOC=120°∴∠BOM=1∴∠AOM=180°−∠BOM=180°−60°=120°．故答案为：120；（2）解：∠AOM−∠NOC=30°，理由如下：∵∠BOC=120°，∴∠AOC=180°−∠BOC=60°，∵∠AON=∠NOM−∠AOM=∠AOC−∠NOC，∴90°−∠AOM=60°−∠NOC，∴∠AOM−∠NOC=30°；（3）解：设三角板绕点O旋转的时间是t秒，∵∠BOC=120°，∴∠AOC=180°−∠BOC=60°，当ON在∠AOC外部时，如图1所示，∵直线NH平分∠AOC，∴∠AOH=1∴∠BON=∠AOH=30°，∴此时的旋转角度为90°−30°=60°，∴12t=60，解得t=5；当ON在∠AOC内部时，如图2所示，∵ON恰好平分∠AOC，∴∠CON=1∴此时旋转的角度为90°+120°+30°=240°，∴12t=240，解得t=20；综上所述，当直线ON恰好平分∠AOC，此时三角板绕点O旋转的时间是5秒或20秒；（4）解：运动时间为m秒时，直线ON恰好平分∠AOC，∴∠AOC=60°−2m°，当ON在∠AOC外部时，如图3所示，∵直线NH平分∠AOC，∴∠AOH=1∴∠BON=∠AOH=30°−m°，∴此时的旋转角度为90°−30°−m°∴12m°=60°+m°，解得m=60当ON在∠AOC内部时，如图4所示，∵ON恰好平分∠AOC，∴∠CON=1∴此时旋转的角度为90°+120°+30°−m°+2m°=240°+m°，∴12m=240+m，解得m=240综上所述，当直线ON恰好平分∠AOC，此时三角板绕点O旋转的时间是6011秒或240【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．6．（2023上·内蒙古通辽·七年级校考期末）【阅读理解】如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1:2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．(1)∠AOB的角平分线这个角的“幸运线”（填“是”或“不是”）；(2)若∠AOB=120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC=．(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），直接写出当t为何值时，射线OP是以射线OA、【答案】(1)是(2)60°或40°或80°(3)满足条件的t的值为157或3或154或45【分析】（1）根据“幸运线”的定义判断即可．（2）有三种情形：①当OC是角平分线，②当∠AOC=2∠BOC时，③当∠AOC=1（3）当OP在射线OA，OQ之间时，有三种情形：①当∠AOP=12∠POQ，②当∠AOP=∠POQ时，③当∠AOP=2∠POQ时，当OP在射线OA，【详解】（1）解：∠AOB是角平分线是∠AOB的“幸运线”．故答案为是．（2）解：有三种情形：①当OC是角平分线，此时∠AOC=1②当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC=2③当∠AOC=12∠BOC综上所述，满足条件的∠AOC的值为60°或40°或80°．故答案为60°或40°或80°．（3）解：由题意得：∠AOP=20°t,∠BOQ=10°t，∵射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的“幸运线”，∴当OP在射线OA，OQ之间时，则有∠POQ=150°−20°t−10°t=150°−30°t，如图所示，则有三种情形：①当∠AOP=12∠POQ，则有20t=②当∠AOP=∠POQ时，则有20t=150−30t，解得t=3．③当∠AOP=2∠POQ时，则有20t=2(150−30t)，解得t=15当OP在射线OA，OQ所构成角的外部时，则有∠AOQ=150°−10°t，∠POQ=20°t−150°−10°t有两种情形：①∠AOQ=2∠POQ，则有150−10t=2[20t−(150−10t)]，解得t=45②当∠AOQ=∠POQ时，则有150−10t=20t−(150−10t)，解得t=15③当∠POQ=2∠AOQ时，则有20t−(150−10t)=2(150−10t)，解得t=9（不符合题意，舍去）．综上所述，满足条件的t的值为157或3或154或457【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了动点问题，OC为∠AOB的“幸运线”的定义等知识，解题的关键是理解题意学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．7．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）如图，∠AOB内部有一射线OC，OC⊥OA，∠AOC与∠BOC的度数比为3:2，射线OM从OA出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线ON从OC出发以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线ON与射线OB重合后，立即以原速逆时针旋转，当ON与OC重合后再次改变方向顺时针向OB旋转（即ON在OC与OB之间来回摆动），当OM与OC重合时，OM与ON都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒．(1)t=1时，∠MON=(2)当t为何值时，OC恰好是∠MON的平分线；(3)在旋转的过程中，作∠CON的角平分线OP，是否存在某个时间段，使得∠MOP的度数保持不变？如果存在，求出∠MOP的度数，并写出对应的t的取值范围；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)100(2)3或7(3)存在，0≤t≤3时，∠MOP的度数保持不变，∠MOP=90°；6<t≤9时，∠MOP的度数保持不变，∠MOP=30°【分析】（1）当t=1时，∠AOM=10°，∠CON=20°，故∠COM=∠AOC−∠AOM=80°，即得∠MON=∠COM+∠CON=100°；（2）OC⊥OA，∠AOC与∠BOC的度数比为3:2，知∠AOC=90°，∠BOC=60°，故ON从OC旋转到OB（或从OB旋转到OC)需要60°÷20°=3（秒），OM从OA旋转到OC需要90°÷10°=9（秒），当0≤t≤3时，90°−10°t=20°t；当3<t≤6时，90°−10°t=60°−20°(t−3)；当6<t≤9时，90°−10°t=20°(t−6)，解方程可得答案；（3）当0≤t≤3时，∠MOP=∠COM+∠COP=90°−10°t+10°t=90°；当3<t≤6时，∠MOP=∠COM+∠COP=90°−10°t+60°−10°t=150°−20°t；当6<t≤9时，∠MOP=∠COM+∠COP=90°−10°t+10°t−60°=30°，即可得到答案．【详解】（1）解：（1）当t=1时，∠AOM=10°，∠CON=20°，∴∠COM=∠AOC−∠AOM=90°−10°=80°，∴∠MON=∠COM+∠CON=100°；故答案为：100；（2）∵OC⊥OA，∠AOC与∠BOC的度数比为3:2，∴∠AOC=90°，∠BOC=60°，∴ON从OC旋转到OB(或从OB旋转到OC)需要60°÷20°=3（秒），OM从OA旋转到OC需要90°÷10°=9（秒），当0≤t≤3时，∠COM=90°−10°t，∠CON=20°t，∵OC恰好是∠MON的平分线，∴90°−10°t=20°t，解得t=3；当3<t≤6时，∠COM=90°−10°t，∠CON=60°−20°(t−3)，∵OC恰好是∠MON的平分线，∴90°−10°t=60°−20°(t−3)，解得t=3（舍去）；当6<t≤9时，∠COM=90°−10°t，∠CON=20°(t−6)，∵OC恰好是∠MON的平分线，∴90°−10°t=20°(t−6)，解得t=7；综上所述，当t为3或7时，OC恰好是∠MON的平分线；（3）存在某个时间段，使得∠MOP的度数保持不变，理由如下：当0≤t≤3时，∠COM=90°−10°t，∠CON=20°t，∵OP平分∠CON，∴∠COP=1∴∠MOP=∠COM+∠COP=90°−10°t+10°t=90°，∴0≤t≤3时，∠MOP的度数保持不变，∠MOP=90°；当3<t≤6时，∠COM=90°−10°t，∠CON=60°−20°(t−3)=120°−20°t，∵OP平分∠CON，∴∠COP=1∴∠MOP=∠COM+∠COP=90°−10°t+60°−10°t=150°−20°t，∴3<t≤6时，∠MOP的度数随t的改变而改变；当6<t≤9时，∠COM=90°−10°t，∠CON=20°(t−6)=20°t−120°，∵OP平分∠CON，∴∠COP=1∴∠MOP=∠COM+∠COP=90°−10°t+10°t−60°=30°，∴6<t≤9时，∠MOP的度数保持不变，∠MOP=30°；综上所述，0≤t≤3时，∠MOP的度数保持不变，∠MOP=90°；6<t≤9时，∠MOP的度数保持不变，∠MOP=30°．【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能应用分类讨论思想解决问题．8．（2022上·贵州贵阳·七年级统考期末）已知∠AOB=90°,∠COD=60°，按如图①所示摆放，将OA,OC边重合在直线MN上，OB,OD边在直线MN的两侧．(1)保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图②所示的位置，则∠AOC+∠BOD=，∠BOC−∠AOD=；(2)若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转时间为t分钟．求∠MOC−∠AOD的大小（用t的代数式表示）；(3)保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°(n≤180°)，若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．【答案】(1)150°,30°(2)(8t−60)°或(2t+60)°(3)15°【分析】（1）①将∠AOC+∠BOD转化为∠COD+∠AOB即可得；②依据∠BOC=∠AOB−∠AOC、∠AOD=∠COD−∠AOC，将原式转化为∠AOB−∠COD计算可得；（2）设运动时间为t秒，0<t≤36,∠MOC=(5t)°，只需表示出∠AOD即可得出答案，而∠AOD在OD与OA相遇前、后表达式不同，故需分OD与OA相遇前后即0<t≤20和20<t≤36两种情况求解；（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，再分①射线OE、OF在射线OB同侧；②射线OE、OF在射线OB异侧，分别求解即可．【详解】（1）①∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠AOD+∠AOB=∠COD+∠AOB=60°+90°=150°，②∠BOC−∠AOD=(∠AOB−∠AOC)−(∠COD−∠AOC)=∠AOB−∠AOC−∠COD+∠AOC=∠AOB−∠COD=90°−60°=30°；故答案为：150°,30°；（2）设旋转时间为t秒，则0<t≤36，∠MOC=(5t)°，①0<t≤20时，OD与OA相遇前，∠AOD=(60+2t−5t)°=(60−3t)°，∴∠MOC−∠AOD=(8t−60)°；②20<t≤36时，OD与OA相遇后，∠AOD=5t−(60+2t)∴∠MOC−∠AOD=(2t+60)°；（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，①0<n°≤150°时，如图①，OE、OF在射线OB同侧，∵∠AOB=90°,∠MOD=60°−n°，∴∠BOD=∠AOB+∠MOD=150−n∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=1∵∠MOC=n°，OE平分∠AOC，∴∠MOE=∴∠BOE=(90−1∴∠EOF=∠BOE−∠BOF=15°；②150°<n°≤180°时，如图②，OE、OF在射线OB异侧，∵∠AOB=90°,∠MOD=n°−60°，∴∠BOD=∠MOD−∠AOB=n−150∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=1∵∠MOC=n°，OE平分∠AOC，∴∠MOE=∴∠BOE=(90−1∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=15°．综上，∠EOF=15°．【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是掌握角的和差计算、角平分线的定义及分类讨论思想的运用．9．（2023上·四川成都·七年级统考期末）在同一平面内，以点O为公共顶点的∠AOB和∠POQ，满足2∠AOQ=∠BOP，则称∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”．已知∠AOB=60°（本题所涉及的角均小于平角）．(1)如图1，若∠AOQ=45°，OQ在∠AOB内，且∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”，则∠AOP=；(2)如图2，若射线OP、OQ同时从射线OB出发绕点O旋转，射线OP以10°/秒的速度绕点O逆时针方向旋转，到达直线BO后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线OQ以6°/秒的速度绕点O逆时针方向旋转，射线OQ到达直线BO时，射线OP、OQ同时停止运动，设运动时间t秒，当t为何值时，∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”；(3)如图3，∠POQ保持大小不变，在直线BO上方绕点O旋转，若∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”，设∠POQ=m°，请直接用含m的代数式表示∠BOP的大小．【答案】(1)30°或150°；(2)t=6011或(3)120°+2m3或2m+120°【分析】（1）根据“二倍关联角”的概念，得到∠BOP=90°，分两种情况讨论即可得到答案；（2）分三种情况讨论：①当0≤t<10时；②当10<t<18时；当18<t<30时，分别用含t的式子表示出∠AOQ和∠BOP,再利用“二倍关联角”的概念列方程求解即可得到答案；（3）分三种情况讨论：①当∠POQ在∠AOB内部时；②当OA在∠POQ内部时；③当∠POQ在∠AOB外部时，利用“二倍关联角”的概念分别求解即可得到答案．【详解】（1）解：∵∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”，∠AOQ=45°，∴∠BOP=2∠AOQ=2×45°=90°；如图1−1，当OP在OB上方时，∠AOP=∠BOP−∠AOB=90°−60°=30°，如图1−2，当OP在OB下方时，∠AOP=∠BOP+∠AOB=90°+60°=150°，故答案为：30°或150°；（2）解：①当0≤t<10时，∠AOQ=∠AOB−∠BOQ=60−6t，∠BOP=10t，∵∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”，∴2∠AOQ=∠BOP，∴2(60−6t)=10t，∴t=60②当10<t<18时，∠AOQ=∠BOQ−∠AOB=6t−60，∠BOP=10t，∵∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”，∴2∠AOQ=∠BOP，∴2(6t−60)=10t，∴t=60，不符合题意，舍去；当18<t<30时，∠AOQ=∠BOQ−∠AOB=6t−60，∠BOP=360−10t，∵∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”，∴2∠AOQ=∠BOP，∴2(6t−60)=360−10t，∴t=240综上可知，当t=6011或24011时，∠POQ（3）解：①如图3−1，当∠POQ在∠AOB内部时，∠BOP=2∠AOQ=2∠AOB−∠BOQ解得：∠BOP=120°+2m②如图3−2，当OA在∠POQ内部时，∠BOP=2∠AOQ=2(∠AOB−∠BOQ)=2[60°−(∠BOP−∠POQ)]=2[60°−(∠BOP−m)]=120°−2∠BOP+2m，解得：∠BOP=120°+2m③如图3−3，当∠POQ在∠AOB外部时，∠BOP=2∠AOQ=2∠BOQ−∠AOB解得:∠BOP=2m+120°，综上可知，∠BOP的大小为120°+2m3或2m+120°【点睛】本题考查了新定义——二倍关联角，利用分类讨论的思想，找准角度之间的数量关系是解题关键．10．（2022上·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校考期末）【阅读材料】：如图1，将线段OA0放在直线MN上，然后将线段OA0绕点O按如下方式旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始先顺时针旋转锐角α至OA1；第2步，从OA1开始继续同向旋转2α至OA2；第3步，从

例如：当α=20°时，OA1，OA【解决问题】：(1)当α=15°时，OA①∠A2OA3②求出∠A(2)当α<30°时,且∠A2OA4(3)若在整个旋转过程中，OA4是第一次经过弹回后而得到的位置，则α的范围是【答案】(1)①45°；60°；②45°(2)207；34013(3)18<α≤45【分析】（1）①当α=15°时，利用∠A2O②先求出∠A4ON=180°−∠（2）分三种情况讨论即可得到答案；（3）根据在整个旋转过程中，OA4是第一次经过弹回后而得到的位置，分情况讨论即可得到【详解】（1）解：①当α=15°时，∠A2O故答案为：45°；60°；②∵∠A4ON=180°−∠∴∠A故答案为：45°（2）①当OA3，则3α+4α=20，∴α=207②当OA4在则4α−180−6α解得α=③当OA4在则4α−180−6α解得α=综上可知，α的值为207°或34013故答案为：207；34013（3）当OA4在OA则0<4α−180−6α解得18<α≤45当OA4在OA则180−6α<4α−180−6α解得452当OA4在OA2或者则3α≤4α−180−6α解得1807当OA4在OA1或OA则5α≤4α−180−6α解得36≤α≤45，若在整个旋转过程中，OA4是第一次经过弹回后而得到的位置，则α的范围是故答案为：18<α≤45【点睛】此题考查了角度的计算，理解题意正确列式是解题的关键．11．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图1，A，O，B三点在一条直线上，且∠AOC=24°，∠BOD=78°，射线OM，ON分别平分∠AOD和∠BOD．如图2，将射线OA以每秒8°的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将∠COD以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转，当射线OC与射线OB重合时，∠COD停止运动．设射线OA的运动时间为t秒．

(1)运动开始前，如图1，∠DON=______°，∠AOM=______°；(2)旋转过程中，当t为何值时，射线OD平分∠BOM?(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠MON=42°？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)39，51(2)t=5.4(3)存在，符合条件的t的值为12s或33s【分析】（1）根据平角的定义求得∠AOD，再根据角平分线的定义直接计算即可；（2）根据∠BOD=∠DOM列方程求解即可；（3）分情况根据∠MON=42°列方程求解即可．【详解】（1）解：∵A，O，B三点在一条直线上，∠AOC=24°，∠BOD=78°，∴∠AOD=180°−∠BOD=180°−78°=102°，∵OM，ON分别平分∠AOD和∠BOD，∴∠DON=12∠BOD=故答案为：39，51；（2）解：∵射线OA以每秒8°的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将∠COD以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转，∴∠AOD=180°−78°+6°t−8°t=102°−2°t，∵射线OM平分∠AOD，∴∠DOM=1∵∠BOD=78°−6°t，∴51°−t°=78°−6°t，∴t=5.4s（3）解：存在某一时刻使得∠MON=42°，分以下几种情况：情况一：若ON在OB上方，此时∠DOM+∠DON=42°，即12解得t1情况二：若ON在OB下方，此时∠DOM−∠DON=42°，即12解得t2情况三：当∠COD停止运动时，OA继续旋转时，当OA旋转264°时，有∠MON=42°，此时t=264综上所述，符合条件的t的值为12s或33s．

【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的性质，根据角的关系列方程求解是解题的关键．12．（2018下·江苏扬州·八年级阶段练习）解答下列问题．

(1)【探索新知】如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．①一个角的平分线这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”）②如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=．（用含α的代数式表示出所有可能的结果）(2)【深入研究】如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当与PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．①当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”．②若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．【答案】(1)①是；②12α或2(2)①9s或18s或12s；②6s【分析】（1）①根据巧分线定义即可求解；②分3种情况，根据巧分线定义即可求解；（2）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可；②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．【详解】（1）解：①一个角的平分线是这个角的“巧分线”；故答案为：是②∵∠MPN=α，当PQ是∠MPN的角平分线时，∴∠MPQ=1当PQ是∠MPN三等分线时，∠MPQ较小时，∴∠MPQ=1当PQ是∠MPN三等分线时，∠MPQ较大时，∴∠MPQ=2故答案为：12α或13（2）解：①∵PM是∠QPN的“巧分线”，∴PM在∠QPN内部，所以PQ转至PM左侧，∵PQ与PN成180°时停止旋转，且∠MPN=60°，PQ旋转速度为10°/s∴6<t≤18．当∠MPN=2∠Q

10t=60+1解得t=9；当∠MPN=∠QPN时，如图所示：

10t=2×60，解得t=12；当2∠MPN=∠Q

10t=60+2×60，解得t=18．∵9s或12s或18s∴综上可得：当t为9s或12s或18s时，射线PM②依题意有：PQ在∠MPN的内部，∴∠QPN=10t，∠MPN=5t+60，当∠QPN=1

10t=1解得t=2.4；②当∠QPN=1

10t=1解得t=4；③当∠QPN=2

10t=2解得t=6．∴当t为2.4s或4s或6s时，射线PQ【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了角之间的数量关系，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义．13．（2023下·上海长宁·六年级校联考期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若∠COD=12∠AOB，则∠COD

(1)如图1，∠AOB=70°，∠AOC=15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD=________；(2)如图2，已知∠AOB=120°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α0°<α<60°得∠COD，当旋转角α为何值时，∠COB是∠AOD(3)已知∠AOB=30°，把一块含有30°角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O以5度/秒的速度按顺时针旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．【答案】(1)20°(2)当旋转角度α为40°时∠COB是∠AOD的内半角(3)能，分别为2秒，18秒，54秒，70秒【分析】（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠BOD=∠AOB−∠AOC−∠COD，可得出结论；（2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式120°−α=120°+α2，即可求出（3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间．【详解】（1）解：如图1，∵∠AOB=70°，∠COD是∠AOB的内半角，

∴∠COD=1∵∠AOC=15°，∴∠BOD=∠AOB−∠AOC−∠COD=70°−15°−35°=20°；故答案为：20°．（2）解：如图2，由旋转可知，∠AOC=∠BOD=α，

∴∠BOC=120°−α，∠AOD=120°+α，∵∠COB是∠AOD的内半角，∴∠COB=12∠AOD解得，α=40°；（3）解：能，理由如下：由旋转可知，∠AOC=∠BOD=5°t；根据题意可分以下四种情况：①当射线OC在∠AOB内，如图4，

此时，∠BOC=30°−5°t，∠AOD=30°+5°t，则∠COB是∠AOD的内半角，∴∠COB=12∠AOD解得t=2（秒)；②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6，如图5，此时，∠BOC=5°t−30°，∠AOD=30°+5°t，

则∠COB是∠AOD的内半角，∴∠COB=12∠AOD解得t=18（秒)；如图6，此时，∠BOC=360°−5°t+30°，∠AOD=360°−5°t−30°，

则∠AOD是∠BOC的内半角，∴∠AOD=12∠BOC解得t=54（秒)；③当射线OD在∠AOB内，如图7，

此时，∠BOC=360°−5°t+30°，∠AOD=30°−(360°−5°t)=5°t−330°，则∠AOD是∠BOC的内半角，∴∠AOD=12∠BOC解得t=70（秒)；综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：2秒；18秒；54秒；70秒．【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；由旋转正确表达对应的角是本题解题关键．14．（2023上·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．

(1)将图1中的三角板绕点O以每秒2°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．求t的值；并判断此时ON是否平分∠AOC？说明理由；(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由．【答案】(1)t=152；ON平分(2)t的值为154或【分析】（1）根据∠AOC的度数求出∠COM的度数，根据互余得出∠CON的度数，进而求出时间t即可；根据题意和图形得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON+∠COM=90°，再根据∠BOM=∠COM，即可得出ON平分∠AOC；（2）根据题意和图形得出∠CON=∠COM=45°，再根据旋转求出结果即可．【详解】（1）解：旋转前∠MOC=90°−∠AOC=60°,当OM平分∠BOC时，∠MOC=1则2t=75−60,解得：t=15结论：ON平分∠AOC,理由：∵∠CON=90°−∠MOC=90°−75°=15°，又∵∠AOC=30°，∴∠AOC=2∠CON,∴ON平分∠AOC；（2）解：∠MOC=∠AOM−∠AOC=若OC平分∠MON，

则∠MOC=1∴60−4t=45，∴t=15当OC停止时,OC平分∠MON,则有2t=360−45,

∴t=315综上所述，满足条件的t的值为154或315【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题.15．（2022上·河南郑州·七年级郑州外国语中学校联考期末）如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．例如：当α=30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在

解决如下问题：(1)若α=45°，在图4中借助量角器画出OA2，OA(2)若α<40°，且OA3所在的射线平分∠A(3)若α<35°，是否存在对应的α值使∠A2O【答案】(1)45°(2)对应的α值是20°或36°．(3)存在，对应的α值是307°或1507【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出α的度数即可．【详解】（1）解：如图1，

∠A（2）解：①当魔法棒从OM位置绕点O顺时针旋转到OA3位置（不到即OA3不从

∵OA3平分∴α+2α+3α+3α=180°，解得：α=20°．②当魔法棒从OM位置绕点O顺时针旋转到ON被弹回到OA3位置（在ON与

由题意可知：∠A∵OA3平分∴∠∴α+2α+α+α=180°，解得：α=36°．综上，对应的α值是20°或36°．（3）解：分三种情况：①OA4和OA

3α+4α=30，α=30②OA4在

根据题意得：4α−180−6αα=150③OA4在

根据题意得：4α−180−6αα=30°；综上，对应的α值是307°或1507【点睛】本题主要考查角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析．16．（2023上·河南漯河·七年级统考期末）如图，∠AOB=90°,∠COD=60°．

(1)若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数；(2)渃∠BOC=114∠AOD(3)若射线OP从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒12°的速度旋转，同时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒9°的速度旋转，射线OP旋转的时间为t（单位：秒），且0<t<7.5，求当∠QOP=12∠AOP【答案】(1)30°(2)140°(3)3或5【分析】（1）利用角平分线的定义解答即可；（2）设∠AOD=x，利用角的和差列出关于x的方程，解方程即可求得结论；（3）利用分类讨论的思想方法，根据题意画出图形，用含t的代数式表示出∠AOP和∠QOP的度数，依据∠QOP=1【详解】（1）解：∵OC平分∠AOD，∴∠COD=∠AOC=1∵∠COD=60°，∴∠AOC=60°，∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=30°；（2）解：设∠AOD=x，则∠BOC=1∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOD=∠COD−∠BOC，∴∠AOD=∠AOB+∠COD−∠BOC，∵∠AOB=90°，∠COD=60°，∴∠AOD=150°−∠BOC，∴x=150−1解得：x=140°，∴∠AOD的度数为140°．（3）解：当射线OP与射线OQ未相遇之前，如图，

由题意得：∠AOQ=9t，∠BOP=12t，∴∠AOP=90°−∠BOP=90°−12t，∠QOP=90°−∠AOQ−∠BOP=90°−21t，∵∠QOP=∴90°−21t=1解得：t=3；当射线OP与射线OQ相遇后且均在∠AOB内部时，如图，

由题意得：∠AOQ=9t，∠BOP=12t，∴∠AOP=90°−∠BOP=90°−12t，∠QOP=∠BOP−∠BOQ=∠BOP−90°−∠AOQ∵∠QOP=∴21t−90°=解得：t=5；综上所述，当∠QOP=12∠AOP【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，分类讨论的思想方法的应用，本题是新定义型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键．17．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，点O是直线MN上一点．将射线OM绕点O逆时针旋转，转速为每秒5°，得到射线OA；同时，将射线ON绕点O顺时针旋转，转速为OM转速的3倍，得到射线OB．设旋转时间为t秒（0≤t≤12）．

(1)当t=4秒时（如图1），求∠AOB的度数；(2)当射线OA与射线OB重合时（如图2），求t的值；(3)是否存在t值，使得射线OB平分∠AOM？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)100°(2)9(3)存在t值，使得射线OB平分∠AOM，t的值为727【分析】（1）当t=4时，∠AOM=20°，（2）根据射线OA与射线OB重合时，列出方程求解即可；（3）由射线OB平分∠AOM，得5t=2180−15t【详解】（1）解：当t=4时，∠AOM=4×5°=20°，∴∠AOB=180°−∠AOM−∠BON=100°，∴当t=4秒时，∠AOB为100°．（2）解：根据题意得：5t+3×5t=180，解得t=9，∴当射线OA与射线OB重合时，t的值是9．（3）解：存在t值，使得射线OB平分∠AOM，如图：∵∠BON=3×5t∴∠BOM=180°−15°t,∵射线OB平分∠AOM，∴5t=2180−15t，解得t=∴t的值为727

【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、平角的定义、角的运用等知识点，解题的关键是读懂题意列出一元一次方程解决问题．18．（2023上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿道时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t(t的值在0到30

(1)当t=3时，求∠AOB的度数；(2)在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA的夹角为90°？如果存在，请直接写出t的值：如果不存在，请说明理由．【答案】(1)150°(2)24秒(3)存在，9秒或27秒【分析】（1）当t=3时，∠AOM=12°，∠BON=18°，根据平角减去∠AOM，∠BON即可求解；（2）根据题意，当∠AOB第二次达到60°时，则4t+6t=180+60，解方程即可求解；（3）当射线OB与射线OA第一次夹角为90°时，两条射线共旋转180°−90°=90°，当射线OB与射线OA第二次夹角为90°时，两条射线共旋转180°+90°=270°，分别解方程即可求解．【详解】（1）解：当t=3时，∠AOM=3×4=12°，∠BON=3×6=18°，所以∠AOB=180°−12°−18°=150°，答：∠AOB的度数是150°；（2）根据题意，当∠AOB第二次达到60°时，4t+6t=180+60，解得t=24，答：当∠AOB第二次达到60°时，t的值是24秒；（3）存在这样的t，使得射线OB与射线OA的夹角为90°，理由如下：当射线OB与射线OA第一次夹角为90°时，两条射线共旋转180°−90°=90°，所以4t+6t=90，解得t=9；当射线OB与射线OA第二次夹角为90°时，两条射线共旋转180°+90°=270°，所以4t+6t=270，解得t=27，综上所述，t的值是9秒或27秒．【点睛】本题考查了结合图形中的角度计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．19．（2023上·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB的下方且互不重合，OD在OE的右侧，(1)如图1，α=80°，当OD平分∠BOC时，求∠AOE的度数；(2)如图2，若∠DOC=2∠BOD，且α<80°，求∠BOE的度数；（用含α的代数式表示）(3)如图3，点M在射线OA上，把射线OM绕点O从OA开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OB结束，在旋转过程中，设运动时间为t，射线ON是∠MOC的四等分线，且3∠CON=∠MON，请求出在运动过程中4∠AON+∠BOM的值．【答案】(1)40°(2)40°+α(3)4∠AON+∠BOM=360°【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DOC=60°，进而求出∠COE=20°，再根据平角的定义即可得到答案；（2）根据∠BOC=120°，∠DOC=2∠BOD求出∠BOD=40°，则∠BOE=∠BOD+∠DOE=40°+α；（3）先求出∠AOC=60°，再分当0≤t<12时，如图31所示，当12<t≤36时，如图32所示，两种情况分别求出∠AON，∠BOM的度数即可得到答案．【详解】（1）解：∵OD平分∠BOC，∠BOC=120°，∴∠DOC=1∵∠DOE=α=80°，∴∠COE=∠DOE−∠DOC=20°，∴∠AOE=180°−∠BOC−∠COE=40°；（2）解：∵∠BOC=120°，∠DOC=2∠BOD，∴∠BOD=1∵∠DOE=α，∴∠BOE=∠BOD+∠DOE=40°+α；（3）解：∵∠BOC=120°，∴∠AOC=180°−∠BOC=60°，当0≤t<12时，如图31所示，∵射线OM绕点O从OA开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OB结束，∴∠AOM=5t∴∠COM=∠AOC−∠AOM=60°−5t°，∵3∠CON=∠MON，∴∠MON=3∴∠AON=∠AOM+∠MON=45°+∴4∠AON+∠BOM=180°+5t当12<t≤36时，如图32所示，∵射线OM绕点O从OA开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OB结束，∴∠AOM=5t∴∠COM=∠AOM−∠AOC=5t°−60°，∵3∠CON=∠MON，∴∠CON=1∴∠AON=∠AOC+∠CON=∴4∠AON+∠BOM=180°+5t综上所述，4∠AON+∠BOM=360°．【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．20．（2023上·江苏泰州·七年级校考期末）已知∠AOB=2∠COD=140°，OE平分∠AOD．(1)如图①，若∠COE=10°，求∠AOC的度数；(2)将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？请说明理由；(3)将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由．【答案】(1)90°(2)∠BOD=2∠COE，理由见解析(3)不成立，理由见解析【分析】（1）先求出∠COD的度数，根据∠DOE=∠EOC+∠COD，求出∠EOD，角平分线得到∠AOE=∠EOD，再利用∠AOC=∠AOE+∠COE，即可得解；（2）设∠AOD=α，易得：∠BOD=140°−α，求出∠COE=∠AOC+∠AOE=70°−α+1（3）设∠AOD=α，则∠AOC=70°+α，∠BOD=360°−(140°+α)=220°−α，求出∠COE=∠AOC−∠AOE=70°+α−12α=70°+12【详解】（1）解：∵∠AOB=2∠COD=140°，∴∠COD=1∴∠DOE=∠EOC+∠COD=80°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠EOD=80°，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=90°；（2）解：2∠COE=∠BOD；理由如下：设∠AOD=α，则∠AOC=70°−α，∠BOD=140°−α，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠EOD=1∴∠COE=∠AOC+∠AOE=70°−α+1∴2∠COE=140°−α=∠BOD；（3）不成立，理由如下：设∠AOD=α，则∠AOC=70°+α，∠BOD=360°−(140°+α)=220°−α∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠EOD=1∴∠COE=∠AOC−∠AOE=70°+α−1∴2∠COE+∠BOD=140°+α+220°−α=360°；∴（2）中的关系不成立．【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握角平分线平分角，是解题的关键．21．（2022上·安徽黄山·七年级统考期末）如图1，把一副三角板拼在一起，边OA、OC与直线EF重合，其中∠AOB=45°，∠COD=60°．此时易得∠BOD=75°．(1)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O以每秒5°的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板AOB一直在∠EOD的内部，设三角尺AOB运动时间为t秒．①当t=2时，∠BOD=°；②求当t为何值时，使得∠AOE=2∠BOD；(2)如图3，在（1）的条件下，若OM平分∠BOE，ON平分∠AOD．①当∠AOE=20°时，∠MON=°；②请问在三角板AOB的旋转过程中，∠MON的度数是否会发生变化？如果发生变化，请叙述理由；如果不发生变化，请求出∠MON的度数．【答案】(1)①65°；②10(2)①37.5°；②不变化，37.5°【分析】（1）①根据题意和角的和差进行求解即可；②由∠AOE=2∠BOD，结合题意可得∠AOE+∠BOD=75°，从而得出∠BOD=25°，∠AOE=50°，进而求出时间t；（2）①根据OM平分∠BOE，ON平分∠AOD，可得∠EOM=∠BOM=12∠EOB,∠AON=∠DON=12②根据OM平分∠BOE，ON平分∠AOD，可得∠MOE=12∠AOE+22.5°，∠NOD=60°−【详解】（1）解：①当t=2时，∠AOE=5°×2=10°，∴∠BOD=75°−10°=65°，故答案为：65°；②∵∠AOE=2∠BOD，∠AOE+∠BOD=75°∴∠BOD=25°，∴∠AOE=50°，∴t=50°∴当t为10秒时，∠AOE=2∠BOD；（2）①∵OM平分∠BOE，ON平分∠AOD，∴∠EOM=∠BOM=1∴∠MON=∠MOB+∠BON=======37.5°，故答案为：37.5°；②∠MON的度数不发生变化，理由：∵OM平分∠BOE，∴∠MOE=1∵ON平分∠AOD，∴∠NOD=1=1∵∠MON=180°−∠DOC−∠MOE−∠NOD，∴∠MON=120°−(1=120°−=37.5°．【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键．22．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC:∠BOC=1:3，将一直角三角板的直角顶点放在点О处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．(1)∠BOC=___________度；(2)将图1中的三角板绕点О按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为___________度；(3)在（2）旋转过程中，当旋转至图3的位置时，使得OM在∠BOC的内部，ON落在直线AB下方，试写出∠COM与∠BON之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)135(2)180(3)∠COM−∠BON=45°，见解析【分析】（1）根据∠AOC:∠BOC=1:3及邻补角可进行求解；（2）根据OM的初始位置和旋转后在图2的位置进行分析；（3）依据已知先计算出∠BOC=135°，则∠MOB=135°−MOC，根据∠BON与∠MOB互补，则可用∠MOC表示出∠BON，从而发现二者之间的等量关系．【详解】（1）解：∵∠AOC:∠BOC=1:3，∠AOC+∠BOC=180°，∴∠BOC=3故答案为135；（2）解：OM由初始位置旋转到图2位置时，在一条直线上，所以旋转了180°．故答案为180；（3）解：∵∠AOC:∠BOC=1:3，∴∠BOC=180°×3∵∠MOC+∠MOB=135°，∴∠MOB=135°−∠MOC．∴∠BON=90°−∠MOB=90°−(135°−∠MOC)=∠MOC−45°．即∠COM−∠BON=45°．【点睛】本题主要考查了角之间的和差关系，解题时一定要结合图形分析题目．23．（2023上·广东广州·七年级统考期末）如图1，已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OB上的点，线段OM，ON同时开始旋转，线段OM以30度/秒的速度绕点O顺时针旋转，线段ON以10度/秒的速度绕点O逆时针旋转，当OM旋转到与OB重合时，线段OM，ON都停止旋转．设OM旋转的时间为t秒．(1)若∠AOB=150°，则①填空：当t=1时，∠MON=______；当t=4时，∠MON=______．②若OC是∠AOB的平分线，当t为何值时，∠NOB与∠COM中的一个角是另一个角的2倍？(2)如图2，若OM，ON分别在∠AOC，∠COB内部旋转时，总有∠COM=3∠CON，请填空：∠BOC∠AOB【答案】(1)①110°；10°；②t=32或(2)1【分析】（1）①当t=1时，线段OM与ON未相遇，根据∠MON=∠AOB−∠AOM−∠BON计算即可；当t=4时，线段OM与ON已相遇过，根据∠MON=∠BON−∠AOB−∠AOM②分两种情况讨论，列出方程可求解；（2）由∠COM=3∠CON，列出关于∠AOB，∠BOC的等式，即可求解．【详解】（1）解：①当t=1时，如图，∠MON=150°−10°×1−30°×1=110°；当t=4时，如图，∠MON=4×10°−150°−4×30°故答案为：110°；10°；②∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC=1若∠COM=2∠BON时，30t−75=2×10t∴t=32或当∠BON=2∠COM时，230t−75∴t=157或综上所述：当t=32或157或3时，两个角∠NOB（2）解：∵∠COM=3∠CON，∴∠AOB−∠BOC−30t=3∠BOC−10t∴∠AOB=4∠BOC，∴∠BOC∠AOB故答案为：14【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，几何图形中角的运算，解题的关键是利用角的和差关系列出算式及等式．24．（2023上·广东珠海·七年级统考期末）如图1，把一副直角三角板的直角边BO和DO分别放在直线MN上，两个三角板分别在直线MN两侧，∠AOB=90°，(1)在图1中，∠AOC=___________，∠BOC=___________；(2)如图2，OE为射线，将三角板AOB绕点O旋转，使△AOB的一边OB恰好平分∠NOE．问：此时OA是否平分∠DOE？请说明理由；(3)将图2中的三角板AOB绕点O旋转至图3的位置，使OA在∠DOC的内部．①求∠COB+∠DOA的度数；②求∠BOD−∠AOC的度数．【答案】(1)120°，150°(2)OA平分∠DOE，见解析(3)①120°，②60°【分析】对于（1），根据角的和差解答即可；对于（2），根据角平分线定义得∠EOB=∠NOB，再根据等角的余角相等得∠AOE=∠AOD，进而得出答案；对于（3）①，由题意得出∠COB+∠DOA=∠AOB+∠COA+∠AOD，再代入计算即可，②由题意得出∠BOD−∠AOC=∠AOB−(∠AOD+∠AOC)【详解】（1）∠AOC=90°+30°=120°，∠BOC=180°−30°=150°．故答案为：120°，150°；（2）OA平分∠DOE，理由如下：∵OB平分∠NOE，∴∠EOB=∠NOB．∵∠AOB=90°，∴∠AOE+∠EOB=90°，∠AOD+∠NOB=180°−∠AOB=90°，则∠AOE=∠AOD，即OA平分∠DOE；（3）①∠COB+∠DOA==∠AOB+=90°+30°=120°；②∠BOD−∠AOC==∠AOB−(∠AOD+∠AOC)=90°−30°=60°．【点睛】本题主要考查了三角板中角的和差，角平分线定义等，弄清各角之间的数量关系是解题的关键．25．（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）已知∠AOB=108°，∠COD=42°．OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．(1)如图1，当OB，OC重合时，求(2)如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒时（0<t<10），在旋转过程中∠AOE−∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值：若发生变化，请说明理由．(3)在（2）的条件下，当∠COF=18°时，求t的值．【答案】(1)33°(2)不变，∠AOE−∠BOF=33°是定值．(3)2【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE=12∠AOC=（2）首先由题意可得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得出∠AOC=∠AOB+3t°=108°+3t°，∠BOD=∠COD+3t°=42°+3t°，然后由角平分的定义解答即可；（3）根据题意可得∠BOF=3t+18°，得出【详解】（1）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=12∠AOC=∴∠AOE−∠BOF=54°−21°=33°；（2）解：∠AOE−∠BOF=33°是定值．理由如下：由题意：∠BOC=3t°，则∠AOC=∠AOB+3t°=108°+3t°，∠BOD=∠COD+3t°=42°+3t°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=1∠BOF=1∠AOE−∠BOF=54°+∴∠AOE−∠BOF的值是定值，定值为33°；（3）解：根据题意得：∠BOF=3t+18∴3t+18=21+3解得：t=2．故答案为2．【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键．26．（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE=140°，将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒20°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．

(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，求此时∠BOC的度数；(2)若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；(3)若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒25°的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线OC平分∠BOD．直接写出t的值．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）【答案】(1)∠BOC=70°(2)存在，t=1或4或16(3)13或373【分析】（1）先根据补角定义求出∠COD的度数，再根据角平分线的定义求出∠COA的度数，最后根据余角定义即可求出∠BOC的度数；（2）分三种情况讨论，①当OA平分∠COD时，②当OC平分∠AOD时，③当OD平分∠AOC时，可分别求出t的值；（3）设运动时间为t，分三种情况分别画出图形进行讨论，利用角平分线的定义列方程即可求出t的值．【详解】（1）解：∵∠COE=140°，∴∠COD=180°−∠COE=40°，又∵OA平分∠COD，∴∠AOC=1∵∠AOB=90°，∴∠BOC=90°−∠AOC=70°；（2）存在，当OA平分∠COD时，∠AOD=∠AOC=20°，

即20°t=20°，解得：t=1；当OC平分∠AOD时，∠AOC=∠DOC=40°，

即20°t−40°=40°，解得：t=4；当OD平分∠AOC时，∠AOD=∠COD=40°，

即360°−20°t=40°，解得：t=16；综上所述：t=1或4或16；（3）∵OC平分∠BOD，∴∠BOC=∠COD，①设运动时间为t，如图，∠BOD=90°+20°t，∠COD=40°+25°t，

∴90+20t=240+25t解得：t=1②如图，∠COD=360°−40°−25°t=320°−25°t，∠BOD=270°−20°t，

∴270−20t=2320−25t解得：t=37③当OC回到起始位置后，

∵OC平分∠BOD，∴∠BOC=∠COD=40°，∠BOD=80°，∴t=360−10所以t的值为13或373或【点睛】本题考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用，角的动态定义的理解，掌握分类讨论思想是关键．27．（2022上·江西新余·七年级统考期末）[阅读理解]定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT=2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．[迁移运用](1)如图1，射线PT_____（选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；射线PS_____（选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；(2)如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB=40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．【答案】(1)是；不是(2)①t的值为52或352；②∠CON的度数为160°【分析】（1）利用“双倍和谐线”的定义结合图形进行判断即可；（2）①由题意得：∠AOC=90°−4t，∠AOB=40°，利用分类讨论的思想方法分∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论；②由题意得：∠CON=4t，∠AON=90°+2t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON−∠AOD=70°+2t，利用分类讨论的思想方法分∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论．【详解】（1）解：∵PS平分∠RPT，∴∠TPR=2∠TPS，∴射线PT是射线PS，PR的“双倍和谐线”；∵PS平分∠RPT，∴∠RPS=∠TPS，∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”．故答案为：是；不是．（2）解：①由题意得：∠AOC=90°−4t，∠AOB=40°．∵射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”，∴∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC，当∠AOC=2∠AOB时，如图所示：则：90−4t=2×40，解得：t=5当∠AOB=2∠AOC时，如图所示：则：40=290−4t解得：t=35综上，当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，t的值为52或35②由题意得：∠CON=4t，∠AON=90°+2t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON−∠AOD=70°+2t，∵当射线OC与射线OA重合时，运动停止，∴此时∠AON=∠CON，∴90+2t=4t，∴t=45．∴当t=45秒时，运动停止，此时∠AON=180°，∵射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”，∴∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM，当