第12讲百分比应用（二）及等可能事件（5大考点）

第12讲百分比应用（二）及等可能事件（5大考点）考点考点考向一、增长率与下降率1.甲比乙多了百分之几甲比乙多了百分之几=．2.甲比乙少了百分之几甲比乙少了百分之几=．3.增长率：即增长了百分之几增长率=．4.下降率：即下降了百分之几下降率=．二、涨价与降价1.“折数”“打八折”指现价是原价的80%，“打对折”指现价是原价的50%，“打七五折”指现价是原价的75%．2.“成数”成数是以10为分母的的分数．如一成就是，即10%；75%可以称为七成五．3.涨价了百分之几涨价了百分之几=．4.降价了百分之几降价了百分之几=．三、盈利率与亏损率1.盈利和亏损盈利=实际售价–成本；亏损=成本–实际售价．2.盈利率和亏损率盈利率==；亏损率==．四、利率与税率1、利率将钱存入银行，银行根据不同的存期制定了相应的利率，存款人取出存款时，银行在返还存款时还向存款人支付利息．向银行借款时（或称贷款），也需要向银行支付利息．存款额或借款额称为本金．利率又称利息率，表示一定时期内利息与本金的百分比，按年计算则称为年利率；按月计算则称为月利率；按日计算则称为日利率．2、税率税金=应缴税额×税率．在特定的时期，国家规定，到银行存款时获取利息的同时，还需按一定的税率，向国家缴纳利息税．3、利息利息=本金×利率×期数×（1－利息税率）．本利和=本金＋利息．五、等可能事件1.事件学校组织六年级八个班进行“元旦联欢会”活动，每个班都准备了一个节目，活动的时候用抽签的方式确定各个班级的出场顺序．那么哪个年级可能第一个出场？此时，每个班级都有第一个出场的可能，但无法确定具体哪个班级第一个出场．像上述的问题，我们把它称为事件．类似的事件有许多，如抛掷一枚硬币，落地后是正面朝上还是背面朝上？掷骰子停止后，哪一点朝上？等等．2.等可能事件上述事件具有共同的特点，就是事先知道出现的结果会有几种可能性，但是又无法确定到底会出现哪一种结果．我们将这类事件叫做等可能事件．3.等可能事件中发生某种结果可能性的大小用字母“P”表示可能性的大小．．可能性的大小一般用分数表示，也可以用百分数表示．考点考点精讲考点一：增长率与下降率例1（1）甲数是20，乙数是50，甲数比乙数少______%；（2）计划投资比实际少5万元，计划投资15万元，实际比计划多______%；（3）某市今年上半年的工业总产值是1800亿元，计划全年总产值是4000亿元，下半年相对于上半年的总产值增长率是______（除不尽的百分号前保留1位小数）；（4）某校六年级的男生比女生多，则女生比男生少______%．【难度】★【答案】（1）60； （2）33.3； （3）22.2%； （4）25．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）设女生人数为3份，则男生人数为4份，．【总结】考察百分数的应用：甲比乙多(少)百分之几，注意公式的准确运用．例2.（浦东四署2020期末3）如果甲数比乙数大10%，而乙数比丙数小，则甲、丙的大小关系是（）A.甲数=丙数；B.甲数丙数；C.甲数丙数；D.无法确定.【答案】C；【解析】解：设甲、乙、丙三个数分别为a、b、c，依题得，，所以，所以即甲数<乙数；因此答案选C.例3.（2019进才北12月考5）一件商品,如果先提价20%,再降价20%,那么该商品的售价（）A.与原价相同B.比原价高4%C.比原价低16%D.比原价低4%【答案】D；【解析】解：设这种商品原价为a元，先提价20%，再降价20%后售价为：，故该商品的售价比原价低的百分比为：，故答案选D.例4.（虹口区2019期末15）学校图书馆原有书本2000册，今年图书册数增加了15%，现在图书馆有书册.【答案】2300;【解析】解：根据题意，现在图书馆有书：册.例5.（2019进才北12月考15）第二季度的工业总产值为200亿元，比第一季度增长了5.8%，预计第三季度的增长率在第二季度的基础上将提高2个百分点，则第三季度的工业总产值为亿元.【答案】215.6亿元；【解析】解：第三季度的工业总产值为亿元.例6.工人原来做800个零件要用5小时，现在做900个零件只要4.5小时，他的工作效率提高了______%．【难度】★★【答案】25．【解析】原来工作效率为：个/小时，现在工作效率为个/小时，工作效率提高了．【总结】考察甲比乙多百分之几，此题要先求出原来和现在的工作效率．例7.甲仓存货量比乙仓多10%，乙仓存货量比丙仓少10%，那么（）A．甲仓比乙仓相等 B．甲仓最多C．丙仓最多 D．无法比较【难度】★★【答案】C【解析】因为乙仓存货量比丙仓少10%，所以乙仓存货量为丙的90%，设丙仓存货量为y，则乙仓存货量为90%y，，可得丙比乙仓多11．1%， 而题中甲仓存货量比乙仓多10%，所以丙仓最多．【总结】考察一个数比另一个数多百分之几．本题中乙仓存货量可用丙仓存货量来表示．例8.从甲堆煤中，取出给乙堆，这时两堆煤重量就相等了，原来乙堆煤的重量比甲堆煤的重量少百分之几？【难度】★★【答案】40%．【解析】设甲堆煤重量为5份，则乙堆煤重量为3份，则乙堆煤的重量比甲堆煤的重量少：．【总结】考察甲比乙少百分之几的运用，本题注意对甲、乙重量的合理选取．例9.王师傅加工一批零件，加工720个之后，他的工作效率提高了20%，结果提前4天完成任务，如果王师傅从一开始就把效率提高了12.5%，那么也可以提前4天完成任务，这批零件共有多少个？【难度】★★★【答案】2160个．【解析】当工作效率提高20%时，工效比为5：6，则时间比为6：5；当工作效率提高12.5%时，工效比为8：9，则时间比9：8；因为两者的时间差是一样的，且可以提前4天完成任务，则说明1份代表4天，所以原来共有4×9=36（天），而加工720个，剩下的按原工作效率进行，还要4×6=24天，即720个用3624=12天，所以原来1天做720÷12=60（个）．所以这批零件共有：60×36=2160（个）．【总结】考察工程问题，本题需先理解工作效率提高20%和12.5%的意义．例10.A、B两个工程分别由甲、乙两个队来完成．在晴天，甲队完成A工程需要12天，乙队完成B工程需要15天；在雨天，甲队的效率要下降40%，乙队的工作效率要下降10%，现在两队同时开工，并同时完成这两个工程，那么在施工的日子里，晴天有几天？雨天有几天？【难度】★★★【答案】晴天有6天，雨天有10天．【解析】在雨天：甲队完成A工程的工作效率：，乙队完成B工程的工作效率：，则晴天时甲队工作效率比乙队工作效率高的部分为：，雨天时乙队工作效率比甲队工作效率高的部分为：．所以甲队和乙队在晴天和雨天时的工作效率比为：．按照3个晴天，5个雨天可得甲完成的工作量是：，故要完成整个工程，晴天数为：天，雨天数为：天．考点二：涨价与降价例1.（1）一种篮球原价180元，现在按原价的七五折出售。这种篮球现价每只______元，每只便宜了______元；（2）李丹家去年收玉米300千克，前年收玉米240千克，去年比前年的玉米增产了______（填百分数）．【难度】★【答案】（1）135，45；（2）25％．【解析】（1），180135=45；（2）【总结】考察折数和增产数的概念．例2（松江区2020期末9）原价2500元的打八五折销售，现在的售价为元.【答案】2125；【解析】解：原价2500元的打八五折销售，现在的售价为2500×85%=2125元.例3（虹口区2019期末26）一件衣服按进价加价20%作为标价，再按标价打八折出售，售价为192元，求进价.【答案】200元；【解析】解：设这件衣服的进价为x元，根据题意，得，解之得：元.答：这件衣服的进价为200元.例4.（浦东南片十六校2020期末15）一件商品原价是120元，后由于换季原因降到96元，这件商品的售价打了折.【答案】八折；【解析】解：根据题意，这件商品打的折扣为：即八折.例5.一种先提价20%，再降价20%，结果与原价相比（）A．不变 B．提高了 C．降低了 D．无法比较【难度】★★【答案】C【解析】设原价为a，先提价20%，再降价20%后的价格为．【总结】考察涨价和降价的问题，注意先提价后降价的基数是不一样的．例6.商品甲的定价打九折后和商品乙的定价相等，下面说法中不正确的是（）A．乙的定价是甲的90% B．甲比乙的定价多10%C．乙的定价比甲少10% D．甲的定价是乙的倍【难度】★★【答案】B【解析】由题意可设商品甲的价格为100，则乙的价格为90，所以甲比乙的定价多．【总结】考察一个数比另一个数多百分之几的运用．例7.原价每袋2元的某种牛奶正在搞促销活动，甲商店每袋降价15%，乙商店“买四送一”，丙商店每袋打八八折出售，小智要买五袋牛奶，从______商店买最便宜．【难度】★★【答案】乙【解析】从甲商店购买共需：元；从乙商店购买共需：元；从丙商店购买共需：元，故从乙商店购买最便宜．【总结】本题中主要理解每个促销活动的不同计算方法．例8..（闵行区2020期末26）小明、小丽、小杰三人去一家餐厅吃火锅，付款时打印的结账单如图所示.现有三种优惠活动如下：（1）大众点评网上可用88元购得该店100元的代金券（每单最多可用两张）；（2）支付宝付款可享受全单八八折；（3）火锅店优惠活动“除锅底、酒水、饮料外，每消费满80元立减10元”.以上三种优惠方式只能选择一种，你能帮他们算一算哪种支付方式最优惠吗？【答案】(1)272元；（2）260.48元；（3）266元；【解析】解：（1）2×88+（296200）=272元；（2）296×0.88=260.48元；（3）2963810=248元；248÷80=3…8；2963×10=266元，272>266>260.48；所以，选择第二种支付方式最优惠.例9.某服装店的老板以每件75元的进价进了一批服装，提价10%出售．某日卖出一件衣服后不小心收进了一张100元的假币，这个老板在这件衣服上实际亏损了（）A．75元 B．100元 C．元 D．元【难度】★★★【答案】D【解析】售价为：元；找零：元；故共亏损：元．【总结】考察销售中的涨价问题，本题注意是在进价的基础上亏损．例10.王先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元，王先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件减1元，我就多订购4件．”商店经理算了一下，如果减价5%，那么由于王先生肯多订购，仍可获得与原来一样多的利润，这家商店的商品的成本是多少元？【难度】★★★【答案】75元．【解析】若减价5%，则实际减少的价钱为元，此时可多订件．设这家商店的商品的成本为x元，由利润相等，得：，解得：即这家商店的商品的成本是75元．【总结】考察利润问题，列方程的依据是减价前后利润相同．考点三：盈利率与亏损率例1.（1）一件服装进价为100元，售价为120元，则它的盈利率为______；（2）一台冰箱批发价为2000元，若要盈利60%，则每台的售价为______元．【难度】★【答案】（1）20%；（2）3200元．【解析】（1）；（2）（元）．【总结】主要考察对盈利率的理解以及相关计算．例2.一件商品每件原售价为80元，打八折出售后，仍可赚25%，求这件商品的成本是______．【难度】★【答案】51.2元．【解析】元．【总结】主要考察对盈利率的理解以及相关计算．例3.（1）一商品如果以95元的价格进货，盈利5%，则它的售价为______元；（2）一商品如果以210元的价格出售，盈利5%，则它的成本为______元．【难度】★★【答案】（1）99．75元；（2）200元．【解析】（1）元；（2）元．【总结】主要考察对盈利率的理解以及相关计算．例4.（川沙中学南校2019期末25）某商场一种品牌的服装标价为每件1000元，为了参与市场竞争，商场按标价的八五折再让利40元销售，结果每件服装仍可获利20%，这种服装每件的进价是多少元？【答案】675元；【解析】解：设进价为x元，根据题意列方程：，解得，即原方程的解为.答：进价为675元；(或者：根据盈利率列方程：，解得.)例5.（卢湾中学2020期末27）一水果商从水果批发市场购进猕猴桃100个，共花了240元．在零售时，其中75个以每个5元卖出，余下的25个有点瑕疵的猕猴桃以每个1.8元卖出．求这个水果商在这笔买卖中的盈亏率．【答案】盈利75%；【解析】解：根据题意得：营业额：；盈利：；盈利率：.答：这个水果商在这笔买卖中盈利75%.例6.玩具商店同时出售两种玩具售价都是120元，一件可赚25%，另一件赔25%。如果同时出售这两件玩具，算下来是赔还是赚，如赔，赔多少元，如赚，赚多少元？【难度】★★【答案】赔16元．【解析】成本：元；元；则两件玩具的总成本为：96+160=256元；售价为：120+120=240元；所以赔了256240=16元．【总结】考察盈利和亏损问题，本题中注意两个玩具的成本是不一样的．例7.元旦期间，某商店以每张0．5元的价格购进500张贺卡，再以每张1．5元的价格卖出了370张，剩下的每张打八折出售，全部售完，求这家商店出售这批贺卡的盈利率．【难度】★★★【答案】184.4%．【解析】成本：元；售价：=711元．盈利率：．【总结】考察盈利率问题，注意盈利率可以大于1．例8.某水果店批发进来200千克橘子，用去运费30元，出售时按批发价提高50%卖出，卖了90%后剩下的橘子烂了，最后结算可得2成利润，问橘子的批发价是每千克多少元？【难度】★★★【答案】1元．【解析】设橘子的批发价是每千克x元，则由题意，可得：解得：x=1即橘子的批发价是每千克1元．【总结】考察盈利率问题，注意本题利润中要减去运费．考点四：利率与税率例1.（1）某人买了20000元的国家建设债券，定期5年，如果年利率为3%，到期得利息_____元；（2）小智买了1000元国库券，三年后得到本息和1084元，这种国库券的年利率是______．【难度】★【答案】（1）3000元；（2）2.8%．【解析】（1）元；（2）．【总结】考察对于本金及其利率的理解及相关计算．例2.王老师每月工资1450元，超出1200元的部分按5%交纳个人所得税。王老师每月税后工资是多少元？【难度】★【答案】1437.5元．【解析】元．【总结】考察对税率的理解及相关计算．例3.（1）小智将5000元存入银行，定期二年，年利率为2．5%，到期扣除20%的利息税，二年后小智实际可以拿到______元；（2）定期三个月存款的年利率是1．71%，折合成月利率是______．【难度】★★【答案】（1）5200元；（2）0.1425%．【解析】（1）元；（2）．【总结】考察利率的相关计算，通常情况下，月利率×12=年利率．例4.（1）如果税率为12%，某人共缴纳税金7．68万元，那么计税金额是______万元；（2）一批进口商品价值600万元，其中25%的商品按12%计算进口税，其余商品按10%计算进口税，这批进口商品共应缴纳进口税______万元．【难度】★★【答案】（1）64万元；（2）63万元．【解析】（1）万元；（2）万元．【总结】考察对税率的理解及相关计算，第（2）小题中两个计税金额是不一样的．例5．（松江区2020期末26）小杰把2000元钱存入银行两年，年利率是2.25,到期需支付20的利息税，问到期后他可以拿到税后本息和多少元?【答案】2072;【解析】解：==2072.答：到期后他能拿到的税后本息和是2072元.例6.小王在银行存了一笔钱，是两年期的定期存款，年利率为2．7%，两年后在扣除了20%的利息税后，小王实际得到的利息是216元，小王存了多少钱？【难度】★★【答案】5000元．【解析】元．【总结】考察对利率的理解及相关计算．例7.张平有500元钱，打算存入银行两年．可以有两种储蓄办法，一种是存两年期的，年利率是2．43%；一种是先存一年期的，年利率是2．25%，第一年到期时再把本金和税后利息取出来合在一起，再存入一年．选择哪种办法得到的税后利息多一些？【难度】★★★【答案】第一种办法得到的税后利息多一些．【解析】第一种办法得到的税后利息：元；第二种办法得到的税后利息：元，所以第一种办法得到的税后利息多一些．【总结】考察利息的计算，代入相关公式即可．考点五：等可能事件例1.抛掷一枚骰子，骰子落地时点数朝上的数是2的倍数可能性的大小是（）A． B． C． D．【难度】★【答案】A【解析】点数朝上的数是2的倍数有2，4，6．【总结】考察等可能事件发生某种结果的可能性大小．例2.一盒中有两颗白棋子，三颗黑棋子，如果摸出一颗棋子，摸到白棋子的可能性P=______．【难度】★【答案】．【解析】摸到每一颗棋子的可能性相等，一共有两颗白棋子，所以为．【总结】考察等可能事件发生某种结果的可能性大小．例3（嘉定区2020期末11）从51、53、55、57、59、60这6个数中任意抽取一个数，抽到的数能被5整除的可能性的大小是_________.【答案】；【解析】解：这6个数中55、60能被5整除，故抽到的数能被5整除的可能性的大小是.例4（浦东南片十六校2020期末12）一副52张的扑克牌（无大、小王），从中任意取出一张，抽到“Q”的可能性大小是.【答案】；【解析】解：52张扑克牌中“Q”一共有4张，故抽到“Q”的可能性大小为.例5．（虹口区2019期末13）袋中有形状大小相同的8个红球，2个白球，从袋中任取一只，取到红球的可能性大小为．【答案】；【解析】解：从袋中任取一只，取到红球的可能性大小为.例6.（卢湾中学2020期末13）班会课上，小强与班上其他32名同学每人制作了一张贺卡放在一个盒子里，小强从盒子中任意地抽取一张，恰好抽到自己制作的那张贺卡的可能性为．【答案】；【解析】解：小强从盒子中任意地抽取一张，恰好抽到自己制作的那张贺卡的可能性大小为.例7.在写有1~100的100张卡片中随机抽取一张卡片，正好是合数的可能性是______．【难度】★★【答案】．【解析】1~100中素数有25个，除去1，剩下的为合数，即100251=74个，所以随机抽一张卡片为合数的可能性为．【总结】考察等可能事件发生某种结果的可能性大小，本题中注意1既不是素数也不是合数．例8.从分别标有号码1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的10张卡片中任意取出一张，则取出的卡片上既是2的倍数又是3的倍数的可能性是______；取出的卡片上号码小于8的可能性是______．【难度】★★【答案】；．【解析】既是2的倍数又是3的倍数只有6；小于8的的数有1~7．【总结】考察等可能事件发生某种结果的可能性大小．例9.有两个圆盘，我们将其中一个等分成5份，分别标上A、B、C、D、E；另一个等分成3份，分别标上1、2、3，指针绕中心旋转，求一个指针落在区域C内，并且另一个指针落在区域3内的可能性是______．【难度】★★★【答案】．【解析】转动圆盘时，两个指针的位置有种可能性，一个指针落在区域C内，并且另一个指针落在区域3内的可能性是．【总结】考察等可能事件发生某种结果的可能性大小．例10.一盒中有两颗白棋子，三颗黑棋子，如果一次摸出两颗棋子，摸到两颗都是白棋子的可能性P=______．【难度】★★★【答案】．【解析】由题意可知，一次摸出两个棋子的总可能性一共十种，一次摸出两颗白棋子的 可能性是一种，所以一次摸出两颗白棋子的可能性为．【总结】考察等可能事件发生某种结果的可能性大小．巩固巩固提升1.（哈尔滨松北2020期末9）某件商品降价20%出售相当于打（）折出售.A.二；B.三；C.八；D.九.【答案】C；【解析】解：某件商品降价20%出售相当于打八折出售，故答案选C.2.（哈尔滨松北2020期末10）个人所得税法规定，个人月收入超过2000元的部分将征收5%的税，请问，小明的爸爸本月收入3000元，将交税（）元.A.50；B.150；C.90；D.100.【答案】A；【解析】解：小明爸爸本月将交税元，故答案选A.3.（2019大同初中12月考4）下列说法正确的是（）A.一商户按计税金额的6％交税，实际纳税9万元，那么计税金额是0.54元B.一件商品打九折出售，就是现价比原价降低了90％C.若乙数比甲数多25％，则甲数比乙数少25％D.一本书原价32元，现价比原价便宜8元，则这本书是打七五折出售【答案】D；【解析】解：A、依题，计税金额为万元，故A错误；B、打九折即现价比原价低了10%，故B错误；C、若乙数比甲数多25％，设甲数a，乙数b，则即，则甲数比乙数少，故C错误；D、折扣率为，故打七五折，D正确，故答案选D.4.（川沙中学南校2019期末8）在“HappyNewYear”中任选一个字母，这个字母为“p”的可能性大小是.【答案】;【解析】解：在“HappyNewYear”中一共12个字母中，有字母“p”2个，故从中任选一个字母为“p”的可能性大小为.5.（闵行区2020期末15）同时掷两颗大小、质地均相同的骰子，那么两颗骰子向上一面的点数均为素数的可能性大小为.【答案】;【解析】解：同时掷两颗骰子，出现的结果为11，12，13，14，15，16，21，22，23，24，25，26，31，32，33，34，35，36，41，42，43，44，45，46，51，52，53，54，55，56，61，62，63，64，65，66一共36种，均是素数的情况为22，23，32，25，52，33，35，53，55一共9种，两颗骰子向上一面的点数均为素数的可能性大小为.6.（嘉定区2020期末9）一套数学从书打八折后售价为100元，那么这套数学从书的原价是______元.【答案】125元；【解析】解：设原价为x元，则80%x=100，解得x=125元.7.（哈尔滨道里2020期末15）张叔叔得稿费6000元，按稿酬所得税规定，超过1200元的部分要按14%缴纳稿酬所得税，张叔叔需要缴纳的稿酬所得税是元.【答案】672元；【解析】解：张叔叔需要缴纳的稿酬所得税是=672元.8.（2019进才北12月考14）小丽家为了买房，以4.9%的年利率向银行贷款30万元，借期8年，到期时小丽家应支付给银行的本利和是万元.【答案】41.76万元；【解析】解：到期时小丽家应支付给银行的本利和是=41.76万元.9.（2019大同初中12月考19）一家商场2018年的全年销售额为3000万元，比2017年增长了5％，该商场计划2019年的全年销售额的增长率比上年提高两个百分点，这个商场2019年全年销售额是万元【答案】3210万元；【解析】解：这个商场2019年全年销售额为=3210万元.10．（虹口区2019期末25）小王将压岁钱1000元钱存入银行，年利率为1.5%，3年到期后小王拿到本利和共多少元？【答案】1045元；【解析】解：根据题意，3年到期后小王拿到的本利和为：元.答：3年到期后小王拿到的本利和为1045元.11.（浦东南片十六校2020期末26）某商店以每件200元的价格购进一批服装，加价30%后作为定价出售.（1）该服装的售价是每