多边形的内角和课件

1.经历探索多边形的内角和与外角和公式的过程.

2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.

学习目标某社区公园的边缘是一个四边形（如图），小唯唯每天下班后围绕公园跑步，你能求出小唯唯围绕公园环跑一圈总共拐弯的度数吗？我们知道正方形，矩形他们的角都是90°，内角的和为360°，那任意一个四边形的内角和是否都为360°呢？

新课引入研究多边形的问题通过添加对角线，都可以转化为三角形.你能利用三角形内角和定理，证明任意一个四边形ABCD

的内角和等于360°吗？已知：四边形ABCD，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.DCAB探究1新知学习已知：四边形ABCD，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.DCAB方法1证明：如图，连接AC，∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=∠1

+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=(∠1

+∠3+∠B)+(∠2+∠4+∠D)=180°+180°=360°.1234方法2证明：如图，在四边形内部取一点O，连接OA，OB，OC，OD，把四边形分成四个三角形.所以四边形ABCD

的内角和=180°×4-(∠AOB+∠AOD+∠COD+∠COB)=180°×4-360°=360°.DCABO方法3证明：如图，在BC

边上取一点O

，连接OA，OD，把四边形分成三个三角形.所以四边形ABCD

的内角和=180°×3-(∠AOB+∠AOD+∠COD)=180°×3-180°=360°DCABO方法4证明：如图，在四边形外任取一点O，连接OA，OB，OC，OD，把四边形转化为有一个公共顶点的三个三角形.所以四边形ABCD

的内角和=180°×3-(∠COB+∠CBO+∠BCO)=180°×3-180°=360°DCABO以上这四种方法都运用了转化的思想，把四边形分割成三角形，转化为已学的三角形内角和进行求解.类比上面的过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？ACDEBABCDEF内角和为180°×3=540°.内角和为180°×4=720°.名称四边形五边形六边形n边形图形从一个顶点出发能作的对角线条数过一个顶点的对角线把多边形分成的三角形个数多边形内角和123n-3234n-22×180°3×180°4×180°(n-2)×180°

一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作_________条对角线，它们将n边形分为__________个三角形，n边形的内角和等于______________.(n－3)（n－2)(n－2)×180°归纳多边形的内角和公式：n边形内角和等于(n-2)×180°.注意：①n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边其内角和增加180°.②多边形的内角和是180°的整倍数.如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？DCAB解：

如图，在四边形ABCD

中，

∠A+∠C=180°，

∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，

∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C) =360°-180°=180°如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.思考后来小唯唯沿公园里面的一个五边形小路按逆时针方向跑步，小唯唯每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？他跑一圈一共转了多少度？探究2把上面的问题抽象为数学问题，如右图.分析：1.任意一个外角同它相邻的内角有什么关系？2.五边形的6个外角加上与它们相邻的内角的总和是多少？5×180°=900°互补解：

五边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°，因此六边形的5个外角加上它们相邻的内角，所得的总和等于5×180°.这个总和就是五边形的外角和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于

5×180°-(5-2)×180°=2×180°=360°结论：五边形的外角和等于360°.思考如果将五边形换成n边形（n是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗？n边形外角和－(n－2)×180°=360°=n个平角-n边形内角和=n×180°n边形的外角和等于360°.归纳与多边形边数无关你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？每个内角的度数是每个外角的度数是思考例

若小唯唯现在围绕一个正多边形的公园跑步，每一个内角都等于135°，则这个公园是几边形？解：设这个多边形是n边形，由题意得（n－2）×180o=n×135o

解得：n=8所以这个公园是八边形.

还有其他解法吗？解法二：∵正多边形的每一个内角都等于135°，

∴正多边形的每一个外角都等于180°-135°=45°，

由多边形的外角和等于360°

360÷45=8

所以这个公园是八边形.

1.多边形的外角和为360°.2.多边形的内(外)角和与边数间的关系：(1)多边形的内角与边数有关，且随着边数的增加而增加．(2)多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少无关，其作用是：①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数；②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数．总结归纳1.五边形的外角和等于(

)A．180°B．360°C．540°D．720°B2.如果正n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是(

)A．4B．5C．6D．7C随堂练习3．一个正多边形的内角和是540゜，则这个正多边形的每一个外角等于(

)．A．60゜B．72゜C．90゜D．108゜4．一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是(

)A．五边形B．四边形C．三角形D．不能确定BC5.一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．解：设该正多边形的每个内角是

x°，相邻外角是

y°，则得到一个方程组解得而任何多边形的外角和是

360°，则该正多边形的边数为

360÷120

=

3.故这个多边形的每个内角的度数是

60°，边数是三条．6.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.解：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°.89外角和内角和计算公式(n-2)×180°(n≥3的整数）多边形的外角和等于360°，与边数无关.多边形正多边形每个内角=