离散时间信号与系统的Z域分析

离散时间信号与系统的Z域分析

离散时间信号的Z域分析离散时间系统的Z域分析离散时间系统函数与系统特性离散时间系统的模拟

离散时间信号的Z域分析

理想取样信号的拉普拉斯变换

Z变换定义

Z变换的收敛域

常用序列的Z变换

单边Z变换的性质

Z反变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换f[k]=aku[k]a>0的傅里叶变换？将f[k]乘以衰减因子r-k不存在!二、Z变换定义

双边Z变换Z反变换：

单边Z变换

物理意义：将离散信号分解为不同频率复指数rejW的线性组合C为F(z)的ROC中的一闭合曲线。三、收敛域（ROC）1)有限长序列(整个Z平面收敛)

收敛域（ROC）:三、收敛域（ROC）2)右边序列(圆外)

收敛域（ROC）:三、收敛域（ROC）3)左边序列(圆内)

收敛域（ROC）:三、收敛域（ROC）4)双边序列(圆环)

收敛域（ROC）:必须在|b|>|a|的条件下，序列的Z变换才存在。序列的收敛大致有以下几种情况：(1)对于有限长的序列，其双边Z变换在整个平面。(2)对因果序列，其Z变换收敛域在某个圆外区域。(3)对反因果序列，其Z变换收敛域在某个圆内区域。(4)对双边序列，其Z变换收敛域为环状序列。三、收敛域（ROC）三、收敛域（ROC）注意：对双边Z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不唯一。四、常用单边序列的Z变换五、单边Z变换的主要性质1.线性特性ROC扩大五、单边Z变换的主要性质2.位移特性

因果序列的位移

f[k

-n]

z-nF(z)ROC=Rf例求单边Z变换单边单边例求单边Z变换五、单边Z变换的主要性质3.指数加权特性五、单边Z变换的主要性质4.Z域微分特性五、单边Z变换的主要性质4.Z域微分特性五、单边Z变换的主要性质5.序列卷积ROC包含Rf1∩Rf2五、单边Z变换的主要性质5.序列卷积ROC包含Rf1∩Rf2五、单边Z变换的主要性质6.初值与终值定理应用终值定理时，只有序列终值存在，终值定理才适用。五、单边Z变换的主要性质6.初值与终值定理初值定理适用于右边序列，即适用于k<M（M为整数）时f[k]=0的序列。只有k>M（M为整数）时，f[k]有值。终值定理适用于右边序列，即适用于k<M（M为整数）时f[k]=0的序列。只有k>M（M为整数）时，f[k]有值。五、单边Z变换的主要性质6.初值与终值定理例：求以下周期序列的单边Z变换。(1)

若计算出f1[k]的Z变换F1(z)，利用因果序列的位移特性和线性特性，则可求得其单边周期序列的Z变换为分析：周期为N的单边周期序列fN[k]u[k]可以表示为第一个周期序列f1[k]及其位移f1[k-lN]的线性组合，即解：例：求以下周期序列的单边Z变换。(1)(1)

f[k]可表示为

利用

[k]的Z变换及因果序列的位移特性，可得

离散时间信号的Z域分析

理想取样信号的拉普拉斯变换

Z变换定义

Z变换的收敛域常用序列的Z变换

Z变换的性质

Z反变换2六、Z反变换C为F(z)的ROC中的一闭合曲线。

zi为F(z)zk-1在C中的极点

计算方法：幂级数展开和长除法部分分式展开留数计算法3六、Z反变换

部分分式法1.m<n，分母多项式无重根各部分分式的系数为4六、Z反变换

部分分式法2.m<n，分母多项式在z=u处有l阶重极点5六、Z反变换

部分分式法3.m>n按(1)(2)情况展开多项式6解：7解：F(z)有一对共轭复根，复根是部分分式展开,可以直接利用8解：由指数加权性质9六、Z反变换

留数法若F(z)z

k-1在z=pi处有一阶极点，则该极点的留数为

若F(z)z

k-1在z=p处有一阶极点，则该极点的留数为

11解：例：

,用留数法求f[k]。F(z)z

k-1在z=1,z=-0.5有两个一阶极点，其留数为=[1+(-0.5)k]u[k]

12离散时间信号的Z域分析小结1)

Z变换与拉普拉斯变换的关系。 2)

双、单边Z变换的定义与适用范围:

单边大多用于因果离散系统的分析 3)

Z域分析与其他域分析方法相同，Z变换的性质类似于其他变换。但位移特性，单、双边变换明显不同。13

离散时间系统响应的Z域分析时域差分方程时域响应y[k]Z域响应Y(z)Z变换Z反变换解差分方程解代数方程Z域代数方程14二阶系统响应的Z域求解对差分方程两边做Z变换，利用初始状态为y[-1],y[-2]15二阶系统响应的Z域求解Yx(z)Yf(z)16解：例：已知一LTI离散系统满足差分方程由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应对差分方程两边做z变换19解：例：已知一LTI离散系统满足差分方程由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应零输入响应为20解：例：已知一LTI离散系统满足差分方程由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应零状态响应为21离散时间信号与系统的Z域分析

离散时间信号的Z域分析离散时间系统的Z域分析

离散时间系统函数与系统特性

离散时间系统的模拟1

系统函数H(z)与系统特性

系统函数

系统函数的定义

H(z)与h[k]的关系

Z域求零状态响应求H(z)的方法零极点与时域特性离散系统的稳定性2一、系统函数1.定义

系统在零状态条件下，输出的z变换式与输入的z变换式之比，记为H(z)。3一、系统函数2.H(z)与h[k]的关系h[k]

[k]

yf[k]=

[k]*h[k]4一、系统函数3.求零状态响应h[k]H(z)f[k]yf[k]=f[k]*h[k]F(z)Yf(z)=F(z)H(z)5一、系统函数4.求H(z)的方法①

由系统的单位脉冲响应求解：H(z)=Z{h[k]}③

由系统的差分方程写出H(z)②

由定义式6解：例：

一LTI离散系统，其初始状态为y[-1]=8，y[-2]=2,当输入x[k]=(0.5)ku[k]时，输出响应为

y[k]=4(0.5)ku[k]-0.5k(0.5)k-1

u[k-1]-(-0.5)ku[k]

求系统函数H(z)。7解：例：

一LTI离散系统，其初始状态为y[-1]=8，y[-2]=2,当输入x[k]=(0.5)ku[k]时，输出响应为

y[k]=4(0.5)ku[k]-0.5k(0.5)k-1

u[k-1]-(-0.5)ku[k]

求系统函数H(z)。8二、零极点与时域特性系统的时域特性主要取决于系统的极点9二、零极点与时域特性

离散系统H(z)与h[k]关系10三、离散系统的稳定性

定理：离散LTI系统稳定的充要条件是H(z)的收敛域包含单位圆则系统稳定。因果系统的极点全在单位圆内则该系统稳定。由H(z)判断系统的稳定性：11解：例：已知一离散LTI系统的系统函数为

1)

|z|<0.5

系统不稳定2)0.5<|z|<1.5系统稳定3)

|z|>1.5系统不稳定试判断该系统的稳定性。12解：例

一离散系统如图所示，求a)H(z)b)系统稳定时q的范围。系统稳定13

离散系统的模拟系统的基本联接

系统的级联系统的并联反馈环路离散系统的模拟框图

直接型结构级联型结构并联型结构14一、系统的基本联接1.系统的级联15一、系统的基本联接2.系统的并联16一、系统的基本联接3.反馈环路17二、离散系统的模拟框图1.直接型结构设差分方程中的m=n，即H1(z)H2(z)18二、离散系统的模拟框图1.直接型结构系统可以看成两个子系统的级联描述这两个系统的差分方程为19二、离散系统的模拟框图1.直接型结构时域框图20二、离散系统的模拟框图1.直接型结构Z域框图21二、离散系统的模拟框图2.级联型结构H(z)=H1(z)H2(z)…..Hn(z)

将系统函数分解为一阶或二阶相乘的形式，即

画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各子系统级联。22二、离散系统的模拟框图3.并联型结构H(z)=H1(z)+H2(z)+….+Hn(z)

将系统函数分解为一阶或二阶相加的形式，即

画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各子系统并联。23解：例：已知试作其直接形式，并联形式及级联形式的模拟框图。1）直接型0.233.60.60.1z-1z-1