考点05三角函数（20种题型8个易错考点）（原卷版）

考点05三角函数（20种题型8个易错考点）

♦【课程安排细目表】

一、真题抢先刷，考向提前知

二、考点清单

三、题型方法

四、易错分析

五.刷压轴

镖一、真题抢先刷，考向提前彳"

一.选择题（共2小题）

1.（2021♦上海）已知/（x）=3sinx+2,对任意的制曰0,与，都存在期日。，与，使得/（xi）=〃t（工2+。）

+2成立，则下列选项中，e可能的值是（）

A.32LB."C.4D.22L

5555

2.（2020•上海）“a=B"是"sin2a+cos2p=lw的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

二.填空题（共5小题）

3.（2022•上海）函数/（x）=cos2x-sin2x+l的周期为.

4.（2022♦上海）若lanu—3,则Lan（u+--）—_________.

4

5.（2021•上海）已知。＞0,存在实数年，使得对任意於N*,cos（〃6+（p）V返，则。的最小值

2

是.

6.（2020•上海）已知3sin2x=2sinx,（0,ir）,则x=.

7.（2020•上海）函数y=tan2x的最小正周期为.

三.解答题（共1小题）

8.(2020•上海)已知函数/(x)=sin(ox.o)>0.

(1)f(x)的周期是4n,求3,并求/(k)=』"的解集；

2

(2)已知3=1,g(x)=/(x)+V3f(-%)f(-—■x),xG[0,求g(x)的值域.

24

市清单

一.任意角的概念

一、角的有关概念

1.从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.

2.从终边位置来看，可分为象限角与轴线角.

3.若B与a是终边相同的角，则0用a表示为0=2Ki+a(AEZ).

【解题方法点拨】

角的概念注意的问题

注意易混概念的区别：第•象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第•类是象限角，第二类、

第三类是区间角.

二.终边相同的角

终边相同的角：

妙360'+a(k£Z)它是与a角的终边相同的角，(4=0时，就是a本身)，凡是终边相同的两个角，则它们之

差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定

相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件.

还应该注意到：J=｛x|x=^360°+30°,AWZ｝与集合5=｛小=〃・360°-330°,髭Z｝是相等的集合.

相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是｛x|x=女・360°,依Z｝；与x轴负方向终边相同的角的集合是｛x|x

=4・360°+180°,依Z｝：与y轴正方向终边相同的角的集合是｛x|x=K360°+90°,依Z｝；与歹轴负方向

终边相同的角的集合是｛x|x=左・360°+270°,AWZ｝

【解题方法点拨】

终边相同的角的应用

（1）利用终边相同的角的集合S={q〃=2E+a,AWZ}判断一个角幽在的象限时，只需把这个角写成［0,

2n）范围内的一个角a与27r的整数倍的和，然后判断角。的象限.

（2）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集

合，然后通过对集合中的参数人赋值来求得所需角.

三.象限角、轴线角

在直角坐标系内讨论角

（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为

这个角是第几象限角.

（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.

（3）所有与角修边相同的角连同角a在内，可构成一个集合5={用〃=研4・360°,keZ}.

【解题方法点拨】

（1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第

二类、第三类是区间角.

（2）角度制与弧度制可利用180°=nrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混

用.

（3）注意熟记0°〜360°间特殊角的弧度表示，以方便解题.

四.弧度制

1弧度的角

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是o,倒=!，/是以角间乍为圆

r

心角时所对圆弧的长，「为半径.

2.弧度制

把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值上与所取的「的大小无关，仅与角的大小有关.

r

【解题方法点拨】

角度制与弧度制不可混用

角度制与弧度制可利用180°进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

五.弧长公式

弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为/,圆心角大小为a(“")，半径为尸，则/=也，扇形的面积为S=17r=L2a.

22

【解题方法点拨】

弧长和扇形面积的计算方法

(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.

(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于a的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最

值.

(3)记住下列公式：①/=aR；②S=LR；③5=工解其中R是扇形的半径，/是弧长，a(0VaV2n)

22

为圆心角，S是扇形面积.

六.扇形面积公式

弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为/,圆心角大小为a(md),半径为八则/=厘，扇形的面积为S=Zr=a

22

【解题方法点拨】

弧长和扇形面积的计算方法

(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.

(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于渝不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最

值.

(3)记住下列公式：①/=加②S=*③S=/2其中R是扇形的半径，/是弧长，a(0<a<2n)

22

为圆心角,S是扇形面枳.

七.任意角的三角函数的定义

任意角的三角函数

1定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点。(x,y),那么sina=2，cosa=x,tana=X

2.几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在送4上，余弦线的起点都是

原点，正切线的起点都是(1,0).

【解题方法点拨】

利用三角函数的定义求三角函数值的方法

利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：

(1)角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；(2)纵坐标门(3)该点到原点的距离几若题目中已

知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同).

八.三角函数线

几何表示

三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线

的起点都是(1,0).

如图中有向线段“尸，OM,4T分别叫做角颛正弦线，余弦线和正切线.

、,VVf

T

厂人z-K

f/LNA。0)何久、(a人於A(LO)

九.三角函数的定义域

【概念】

函数的定义域指的是函数在自变量x的取值范围，通俗的说就是使函数有意义的x的范围.三角函数作为

一类函数，也有定义域，而且略有差别.

【三角函数的定义域】

以下所有的4都属于整数.

①正弦函数：表达式为》=$2；(2h1)TT,(2k+1)TT],其中在[2ATT-2L,2E+?L]单调递增，其他

22

区间单调递减.

②余弦函数：表达式为歹=cosx；xe[(2k-I)n,(2A+1)n],其中在单调递增，其他区间

单调递减.

③正切函数：表达式为y=tanx；xG(kn--,内计匹)，在区间单调递增.

22

④余切函数：表达式为歹=cotr,xE(E-?,内叶?)，在区间单调递减.

⑤正割函数：表达式为卜=$©3,xE（2K-2-,2KT+?L）U（2KT+2L,2ka+有secx・cosx=1.

2222

⑥余割函数：表达式为^=©$以，xW（2ATT-K,2内r）U（2E,2内r+u）,有cscx,sinx=1.

【考点点评】

这是一个概念，主要是熟记前面四种函数的定义域，特别是他们各自的单调区间和各自的周期，在书写的

时候一定不要忘了补充kWZ.

十.三角函数值的符号

三角函数值符号记忆口诀

记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）.即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限

正切为正，第四象限余弦为正.

十一.三角函数的周期性

周期性

①一股地，对于函数/（x）,如果存在一个非零常数兀使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+r）

=f（x）,那么函数/（x）就叫做周期函数，非零常数r叫做这个函数的周期.

②对于一个周期函数/（X）,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做了（X）

的最小正周期.

③函数y=/sin（3x+（p）,xWR及函数y=4cos（3x+（p）；xWR（其中4、3、（p为常数，且4W0,（D>0）

的周期T=22L.

3

【解题方法点拨】

1.一点提醒

求函数y=/sin（cox+（p）的单调区间时，应注意3的符号，只有当3>0时，才能把a）x+<p看作一个整体，代

入丁二蜘t的相应单调区间求解，否则将出现错误.

2.两类点

y=sin.r,xG[O,2n],y=cosx,x€[0,2可的五点是：零点和极值点（最值点）.

3.求周期的三种方法

①利用周期函数的定义./（x+T）=/（x）

②利用公式：y=As\n（o）x+（p）和y=/cos（o）x+（p）的最小正周期为,y=tan（o）x+（p）的最小正周

期为

|3|

③利用图象.图象重复的》的长度.

十二.诱导公式

【概达】

三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对

于我们解题大有裨益.

【公式】

①正弦函数：表达式为卜=$m丫；

有sin(H+X)=sin(-x)=-sinx；sin(u-x)=sinx,sin(汇+c)=sin(------x)=cosx

22

②余弦函数：表达式为卜=8汝；

兀

有ccs(n+x)=cos(n-x)=-COST,COS("X)=COSX,COS(------x)=sinx

2

③正切函数：表达式为丁=42旧；

tan(-x)--tanr»tanx)=cotx,tan(n+x)=tanx

2

④余切函数：表达式为^=8支；

兀

cot(-x)=-cotx,cot(------x)=taiu,cot(n+x)=coU.

2

【应用】

1、公式：

公式一：sin(a+2内i)=sina,cos(a+2kir)=cos_a,其中依Z.

公式二：sin(ir+a)=-sina,cos(n+a)=~cos_a>tan(ir+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sinfl>cos(-a)=cos_g.

公式囚：sin(TT-a)=sina,cos(IT-a)=-cos_a.

公式五：sin=cosa>cos=sina.

公式六：sin=cos_g>cos=-sing

2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限.

3、在求值与化简时，常用方法有：

(1)弦切互化法：主要利用公式匕皿=巨巴化成正、余弦.

cosa

(2)和积转换法:利用(sin6±cos0)2=1±2sin8cos8的关系进行变形、转化.

(3)巧用“1”的变换:1=sin20+cos20=cos20(l+tan20)=tan45°=….

4、注意：

（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负f脱

周f化锐.特别注意函数名称和符号的确定.

（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

（3）注意求值与化简后的结果•般要尽可能有理化、整式化.

十三.运用诱导公式化简求值

利用诱导公式化简求值的思路

1.“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.

2.“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于

180°的角的三角函数化为0°到180。的三角函数.

3.“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0。到90°的角的三角函数.

4.“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.

十四.正弦函数的图象

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

图象

中二二卜产:in

-11m

定义域RRkEZ

值域[-1，1][-1，1]R

单调性递增区间：递增区间：递增区间：

/2兀…兀、/,兀，兀、

(2kn----,2E+---)(2ATT-n,2Zm)(Air----,lai+---)

2222

(Jt€Z)；

(依Z)：(jt6Z)

递减区间：

递减区间：

(2kn,2kn+n)

(2kn+—,2ATT+^2L)

22(kWZ)

(左€Z)

最值=2ku+—(2)时，加。x=2kn(依Z)时，ymax=1;无最值

x2

=1;x=2Ani+n(kEZ)时，

x=2kit--(kEZ)时，ymtn~-1

2

1

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对称性对称中心：（内r,0）（ZrGZ）对称中心：（内什三，0）对称中心：（业0）（JtGZ）

22

,兀

对称轴：,kWZ

2（依Z）无对称轴

对称轴：x=kn,kwZ

周期2TT2nTT

十五.正弦函数的单调性

三角函数的单调性的规律方法

1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.

2.求形如y=/sin（郎+Q）或y=/cos（5+夕）（其中，o>>0）的单调区间时，要视"他叶口”为一个整体,

通过解不等式求解.但如果3V0,那么一定先借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.

十六.正弦函数的奇偶性和对称性

【正弦函数的对称性】

正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（・x）=・sinx.另

外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x=E+匹，kWz.

2

十七.余弦函数的图象

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

图象i

ltn

牛r\工?」-

-)X

定义域RRkez

值域[-1,1][7,1]R

单调性递增区间：递增区间：递增区间

[2kn-Ti,2An](kWZ)

(ZrGZ)；(AeZ)；

递减区间：递减区间：

[2E,2E+ir]

(kez)(任Z)

==

最值x=2内r+(k£Z)时，ymax=1;x2krc(k€Z)时，ymax1：无最值

x=2kn-(kWZ)时，x=2kn+it(kEZ)时，

ymin—1ymin=1

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对称性对称中心：(内T,0)(%WZ)对称中心：awz)对称中心：(AWZ)

对称轴：x=E+,k6Z对称轴：x=kn,kwZ无对称轴

周期2ir2TtTT

十八.余弦函数的单调性

三角函数的单调性的规律方法

1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.

2.求形如y=4sin(w+8)或y=4cos(5+夕)(其中，3>0)的单调区间时，要视"&r+夕”为一个整体,

通过解不等式求解.但如果3<0,那么一定先借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.

十九.正切函数的图象

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

图象i

ltn

牛r…\?-

%-

定义域RRkez

值域[7,1][7,1]R

单调性递增区间：递增区间：递增区间：

[2kn-—,2^r+—](^eZ)；[2kn-Ti,2An](kWZ)

22

(KZ)；

递减区间：

递减区间：

,2kn+^-\

22[2E,2E+ir]

(M)

(依Z)

==

最值x=2kn+(k€Z)时，ymax=1;x2krc(k€Z)时，ymax1：无最值

x=2kn-(kWZ)时，x=2kn+it(kEZ)时，

ymin—1ymin=1

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对称性对称中心：（内T,0）（%WZ）对称中心：（Kr+三，0）对称中心：（"-,0）（AGZ）

22

对称轴：x=kn+—,kwz

2（Q）无对称轴

对称轴：x=kn,kEZ

周期2TT2nTT

二十.正切函数的单调性和周期性

三角函数的单调性的规律方法

1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.

2.求形如y=4sin（cox+（p）或y=4cos（<ox+（p）（其中，CD>0）的单调区间时，要视“cox+tp”为一个整体,

通过解不等式求解.但如果3V0,那么一定先借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.

【正切函数的周期性】

正切函数），=1@旧的最小正周期为IT,即tan（Kr+x）=tanx.

二十一.正切函数的奇偶性与对称性

三角函数的奇偶性、周期性和对称性

1.判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶

性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解.

2.求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函

数的图象.

二十二.函数y=Asin（a）x+<p）的图象变换

函数产sinx的图象变换得到y=4sin（小。（J>0,a）>0）的图象的步骤

法一法二

画出V=sinx的图彖画出v=sinx的图象|

向右（*X>）或L/如,*,Y,,..

向行（XI）世移"I个小位横小标变对除来的1倍

步

骤

得到y=sin（jr+<0的图软|2I得到、=sinw.r的图象

横不标变为|原来的［倍3>0）或

一*1个的位

步向〃（中<o>平移

既

R｝到v=sin（5+4）的图象3依/到.v=$in（3r+<）的图象

双啜林变为归来的A倍■纵坐标变为原来的八倍

得到丫=Asin（3工+号）的图彖4一”到、=A*in(3Ky)的图象

两种变换的差异

先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是依|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移

的量是JA1（3>0）个单位.原因是相位变换和周期变换都是针对X而言的.

3

【解题方法点拨】

1.一个技巧

列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为工，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标.

4

2.两个区别

（1）振幅/与函数y=<sin（口什。+人的最大值，最小值的区别：最大值”=力+6,最小值〃?=-4+〃，

故人口

2

（2）由歹=sinx变换到y=4sin（皿+夕）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由夕=5山工的图

象变换到y=4sin（3+勿）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是⑷

个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是-L立1（3>0）个单位.原因在于相位变换

3

和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于3r加减多少值.

3.三点提醒

（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；

（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；

（3）由y=/sin3V的图象得到y=4sin（otr+3）的图象时，需平移的单位数应为-L$-L而不是⑷.

二十三.由y=Asin（<ox+（p）的部分图象确定其解析式

根据图象确定解析式的方法：

在由图象求三角函数解析式时，若最大值为加，最小值为w，则4=正坦，上=史理，3由周期r确定，即

22

由2±=7求出，夕由特殊点确定.

3

二十四.三角函数的最值

【三角函数的最值】

三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单

调性和它们的图象.在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元.化简的原则通常是尽量的把复合三角

函数化为只含有一个三角函数的一元函数.

二十五.同角三角函数间的基本关系

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：si/ti+cos?a=1.

(2)商数关系：sin(=1=tana.

cosa

2.诱导公式

公式一：sin(m2E)=sina,cos(行2hr)=cos_a，其中

公式二：sin(n+a)=-sin.g,cos(n+a)=-cosa，tan(n+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sincos(-a)=cos_a

公式四：sin(n-a)=sina,cos(n-a)=-cosa.

兀_J£

公式五：sin(-a)=cosa>cos(--a)=sina.

~2

公式六：sin(-y-t-a)=cosa,cos(-=-sing

2

3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C<aP)：cos(a-p)=;

(2)C<a+p)：cos(a+p)=cosacasB-s山as加B;

(3)S<a+p>：sin(a+p)=sinacosB+cosaB：

(4)S(a.p)：sin(a-p)=s加acosB-ccsas加B：

(5)r<a+p>：tan(a+B)=tan-+ta叫

1-tanJtanp

TC“E(Z_tanCI-tanP

\oz/(a-p)•tern\Ctp/——・

1+tanCItanp

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)Slatsin2a=2sin俄osq；

(2)C2a：cos2o=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1・Zsi—a；

(3)72a：tan2a=2tan^_.

1-tana

【解题方法点拨】

诱导公式记忆口诀：

对于角“毕士优'(2WZ)的三角函数记忆I1诀"奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当

2

后为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当上为偶数时，函数名不变”.“符号看象限”是指“在。的三角函

数值前面加上当。为锐角时，原函数值的符号”.

二十六.两角和与差的三角函数

(1)C<a.p)：cos(a-P)=cosacosB+sinasinB;

(2)C<a+p)：cos(a+P)=cosacosB-sinasinB；

(3)S<a+B>：sin(a+0)=sinacosB+cosasinB:

(4)S{aP)：sin(a-p)=sinacosB-ccsasinB；

（5）r（a+|5）：tan（a+P）=tanCI誉吸

1-tan。tanp

tan（a-p）=tanCI-tanP

（6）T（a-P）：

1+tanO.tanp

二十七.二倍角的三角函数

【二倍角的三角函数】

二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即a=0的一种特例，其公式为：sin2a=2sina・

cosa；其可拓展为l+sin2a=(sina+cosa)2.

二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即a=B的一种特例，其公式为：cos2a=cos2a

-sin2ot=2cos2a-1=1-2sin2a.

二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即a=B的一种特例，其公式为：tan2a=

2tan?.对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可.

1-tan2Q

二十人.半角的三角函数

【半角的三角函数】

半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系(正余弦的半角关系其实就是二倍角关

.aaaa

asii1.

sirrz-*cos-z-.ns1n

系）,其公式为：①tan—=--------—/=smQ.②tan£=

2a1+cos。—

C0STcos~2°。行

,2a

__________/_1-8SQ

.aa-"Sina,

sinr^-,cos-^-

二十九.三角函数的恒等变换及化简求值

【概述】

三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三

角函数，主要的方法就是运用它们的周期性.

【公式】

①正弦函数有y=sin(2内r+x)=sinx,sin(汇+t)=sinx)=cosx

22

②余弦函数有y=cos(2KT+X)=COSX,COS(2--X)=sinx

2

③正切函数自y=tan(而+x)=tanx,tanx)=cotx,

④余切函数有y=cotx)=tanx,cot(An+x)=cotx.

三十.三角函数中的恒等变换应用

I.同角三角函数的基本关系

(I)平方关系：sin2a+cos2a=I.

(2)商数关系：囱皿-=tana.

cosa

2.诱导公式

公式一：sin(a+2kn)=sina,cos(a+2hr)=cosa,tan(a+2依)=tana,其中k6Z.

公式二：sin(ir+a)=-sina,cos(n+a)="cosa»tan(n+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa»tan(-a)=-tana.

公式四：sin(n-a)=sina,cos(IT-a)--cosa,tan(n-a)=-tana.

兀/兀、./兀、

公式五：sin(----a)=cosa,cos(----a)=sina,tan(----a)=cota.

222

兀,71、

公式六：sin(—+a)=cosa»cos="sing,tan(—+a)=-cota.

222

3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(I)C(a.|3)：cos(a-P)=cosacosp+sinasinp；

(2)C<a+p):cos(a+p)=cosacosp-sinasinp；

(3)S<a+B>：sin(a+p)=sinacosp+cosasinp；

(4)S(a-p)：sin(a-p)=sinacosp-ccsasinp；

(5)T<a+p)：tan(aip)=tana+tanB

1-tanO.tanP

(6)r-p)：tan(a-p)=tana-tanB

(a1+tanO.tanB

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

（1）$2a：sin2a=2sinacosa；

（2）Cia：cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；

（3）72a：tan2a=2tan（1—.

1-tan?a

三十一.三角函数应用

1.三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用：3）在航海中的应用；4）在

物理学中的应用.

2.解三角函数应用题的一般步骤：

（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；

（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；

（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；

（4）作出结论.

【解题方法点拨】

1、方法与技巧：

（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决.

（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题FI中的术语和有关名词.

（3）要能根据题意，画出符合题意的图形.

（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理.

2^注意：

（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量.

（2）解决应用问题要注重检验.

（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围.

三十二.解三角形

1.已知两角和一边（如4、B、C）,由Z+8+C=TT求C,由正弦定理求a、b.

2.已知两边和夹角（如八b.c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用

A+B+C=it,求另一角.

3.已知两边和其中一边的对角（如&/）,应用正弦定理求庆由4+RH?=n求再由正弦定理或余

弦定理求c边，要注意解可能有多种情况.

4.己知三边a、b、c,应用余弦定理求力、B,再由4+8+C=ir,求角C.

5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角

（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东XX度，北偏西XX度，囱偏东XX度，南偏西XX度.

6.俯角和仰角的概念：

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.如图中。£＞、

0E是视线，是仰角，是俯角.

7.关于三角形面积问题

（九、hb、he分别表示。、b、c上的高）;

(^)SAABC=—<7^sinC=--Z>csiiL4=—<zcsin5：

222

@S^BC=2R2s\nAsinBsinC.CR为外接圆半径)

4R

@S^BC=VS(s-a)(s-b)(s-c)，(s=£(a+b+c));

⑥&/8C=Ls，(r为△NBC内切圆的半径)

在解-:角形时，常用定理及公式如下表:

名称公式变形

内角和定理/+8+C=ir为旦=三-±2A+2B=2n-2C

2222

222

余弦定理a2=b2+c1-2bccosA/b+c-a

2bc

b2=a1+c1-2accosB22,2

cos"a+Xc-b

c1=a1+b2-2abcosC2ac

2,22

cosC=aX+b-c

2ab

正弦定理/=b=c=2Ra=2Rs,\nA,6=2&sin8,c=2&sinC

sinAsinBsinC

sia4=-^-,sinB=-^-,sinC=-^-

R为△48C的外接圆半径2R2R2R

射影定理acosB+hcosA=c

acosC+ccosA=b

bcosC+ccosB=a

①&==羡九2S

面积公式s\nA=—A—

be

=工力sinC=工csinB=-^csinJsinB=

222

2SA

③s-

ac

2SA

(4)5=Vs(s-a)(s-b)(s~c)»(5=-isinC=——

Aab

(a+b+c))；

⑤