第2讲待定系数法(几何与代数转化)(原卷版+解析)

第2讲待定系数法（几何与代数转化）考情分析待定系数法是圆锥曲线里面一种非常基础但也是非常重要的方法，是我们几何与代数转化的桥梁。要学好圆锥曲线这一部分，掌握并记住基础的结论是学习圆锥曲线第一步，待定系数法就是我们突破圆锥曲线的第二步，几何分析+方程思想离不开待定系数法;设而不求+加韦达定理更是离不开待定系数法。本文以此为出发点，从不同角度分析和处理圆锥曲线。二、经验分享求圆锥曲线方程的策略一般有以下几种：①几何分析法＋方程思想；。几何分析法，利用图形结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图中已知量与未知量之间的关系，列出关于方程中参数的方程，解出参数值即可得到圆锥曲线方程，要求平面几何中相似等数学知识必须十分熟练。②设而不求＋韦达定理；设而不求、韦达定理是解圆锥曲线问题的通性通法，缺点是计算量较大，费时费力，容易出错，通常根据题设条件，设出点的坐标和直线方程，将直线方程代入曲线方程，化为关于的一元二次方程，利用韦达定理用参数表示出来，根据题中条件列出关于参数的方程，通过解方程解出参数值，即可得出圆锥曲线的方程。③第二定义＋数形结合；④参数法＋方程思想。不管是哪种方法，最终都要列出关于圆锥曲线方程中的参数的方程问题，通过解方程解出参数值，即可得到圆锥曲线方程，故将利用平面几何知识和圆锥曲线的定义与性质是将几何问题转化为代数问题，简化解析几何计算的重要途径.不管我们采取何种方法，待定系数法都是我们的几何与代数的桥梁，面对纷繁复杂的数学圆锥曲线大题，唯有静下心来。合理设置参数，选取最适用的方法，代数与几何灵活转化，才是我们攻克圆锥曲线的正确之道三、题型分析(一)用待定系数法求解圆锥曲线方程例1【2014年全国课标Ⅱ，理20】设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.【变式训练1】设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o，．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=，求椭圆C的方程．

(二)利用参数求圆锥曲线方程例2.设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为．（Ⅰ）求的离心率；（Ⅱ）设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵坐标为，求的方程．【变式训练1】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．

(三)利用设而不求与韦达定理求抛物线方程例3．已知抛物线C：的焦点为F，平行于x轴的两条直线，分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；【变式训练1】.已知椭圆：的离心率，若椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一动点和，组成的面积最大为.（1）求椭圆的方程；（2）若存在直线和椭圆相交于不同的两点，，且原点与,连线的斜率之和满足：=2，求直线的斜率的取值范围.

中点弦问题-点差法例4.已知双曲线为该双曲线的右焦点，过的直线交该双曲线于两点，且的中点，则该双曲线的方程为.【变式训练1】.已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（）A. B. C. D.【变式训练1】已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．

四、迁移应用1.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2.已知椭圆的左焦点为，过的直线和椭圆交于两点，和轴交于.若,则椭圆的离心率（）A. B. C. D.3．直线与坐标轴的交点为，以线段为直径的圆经过点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆交于两点，求.

4如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，以为直径作圆，当直线的斜率为时，（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点作的垂线与圆的一个交点为，交抛物线与（点在之间），记的面积为，求的最小值。5.已知椭圆：的离心率，若椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一动点和，组成的面积最大为.（1）求椭圆的方程；（2）若存在直线和椭圆相交于不同的两点，，且原点与,连线的斜率之和满足：=2，求直线的斜率的取值范围.

6.已知椭圆的离心率为，焦距为，与抛物线有公共焦点.（Ⅰ）求椭圆C1与抛物线的方程；（Ⅱ）已知直线是圆的一条切线，与椭圆C1交于两点，若直线斜率存在且不为，在椭圆C1上存在点，使，其中为坐标原点，求实数λ的取值范围．第2讲待定系数法（几何与代数转化）考情分析待定系数法是圆锥曲线里面一种非常基础但也是非常重要的方法，是我们几何与代数转化的桥梁。要学好圆锥曲线这一部分，掌握并记住基础的结论是学习圆锥曲线第一步，待定系数法就是我们突破圆锥曲线的第二步，几何分析+方程思想离不开待定系数法;设而不求+加韦达定理更是离不开待定系数法。本文以此为出发点，从不同角度分析和处理圆锥曲线。二、经验分享求圆锥曲线方程的策略一般有以下几种：①几何分析法＋方程思想；。几何分析法，利用图形结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图中已知量与未知量之间的关系，列出关于方程中参数的方程，解出参数值即可得到圆锥曲线方程，要求平面几何中相似等数学知识必须十分熟练。②设而不求＋韦达定理；设而不求、韦达定理是解圆锥曲线问题的通性通法，缺点是计算量较大，费时费力，容易出错，通常根据题设条件，设出点的坐标和直线方程，将直线方程代入曲线方程，化为关于的一元二次方程，利用韦达定理用参数表示出来，根据题中条件列出关于参数的方程，通过解方程解出参数值，即可得出圆锥曲线的方程。③第二定义＋数形结合；④参数法＋方程思想。不管是哪种方法，最终都要列出关于圆锥曲线方程中的参数的方程问题，通过解方程解出参数值，即可得到圆锥曲线方程，故将利用平面几何知识和圆锥曲线的定义与性质是将几何问题转化为代数问题，简化解析几何计算的重要途径.不管我们采取何种方法，待定系数法都是我们的几何与代数的桥梁，面对纷繁复杂的数学圆锥曲线大题，唯有静下心来。合理设置参数，选取最适用的方法，代数与几何灵活转化，才是我们攻克圆锥曲线的正确之道三、题型分析(一)用待定系数法求解圆锥曲线方程例1【2014年全国课标Ⅱ，理20】设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.【解析】（Ⅰ）根据及题设知将代入，解得（舍去）故C的离心率为．（Ⅱ）由题意，原点为的中点，∥轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即①由得。设，由题意知，则，即代入C的方程，得。②将①及代入②得解得，故.【变式训练1】设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o，．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=，求椭圆C的方程．【解析】设，由题意知＜0，＞0.（Ⅰ）直线l的方程为，其中.联立得解得因为，所以.即得离心率.（Ⅱ）因为，所以.由得.所以，得a=3，.椭圆C的方程为．(二)利用参数求圆锥曲线方程例2.设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为．（Ⅰ）求的离心率；（Ⅱ）设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵坐标为，求的方程．【解析】（1）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得，故．（2）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线的方程为，点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为．又点在直线上，且,从而有，解得，所以，故椭圆的方程为．【变式训练1】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．【解析】（Ⅰ）依题意，解得（负根舍去）抛物线的方程为．（Ⅱ）设点,，，由,即得．∴抛物线在点处的切线的方程为，即．∵，∴．∵点在切线上,∴.①同理，.②综合①、②得，点的坐标都满足方程.∵经过两点的直线是唯一的，∴直线的方程为，即．（Ⅲ）由抛物线的定义可知，所以联立，消去得，当时，取得最小值为．(三)利用设而不求与韦达定理求抛物线方程例3．已知抛物线C：的焦点为F，平行于x轴的两条直线，分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；【解析】由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为.（Ⅰ）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则.所以.（Ⅱ）设与轴的交点为，则.由题设可得，所以（舍去），.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【变式训练1】.已知椭圆：的离心率，若椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一动点和，组成的面积最大为.（1）求椭圆的方程；（2）若存在直线和椭圆相交于不同的两点，，且原点与,连线的斜率之和满足：=2，求直线的斜率的取值范围.【答案】：（1）（2）【解析】：（1）由题可知的面积最大为.椭圆的方程（2）设，将代入得：，由韦达定理得，又由判别式得=1\*GB3①=2\*GB3②联立=1\*GB3①=2\*GB3②有：，解得：中点弦问题-点差法例4.已知双曲线为该双曲线的右焦点，过的直线交该双曲线于两点，且的中点，则该双曲线的方程为.【答案】：.【解析】解法一：中点弦问题一般采用点差法.，设两式作差得即，所以双曲线方程为.解法二：设直线，消去，可得所以，所以双曲线方程为【变式训练1】.已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得：设，都在抛物线上，直线还经过，所以直线方程为【变式训练1】已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．【解析】：设弦两端点分别为，，线段的中点，则①－②得．由题意知，则上式两端同除以，有，将③④代入得．⑤（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为：．⑥将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）（3）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）（4）由①＋②得：，⑦，将③④平方并整理得，⑧，，⑨将⑧⑨代入⑦得：，⑩再将代入⑩式得：，即．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

四、迁移应用1.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】：设双曲线的左、右焦点分别为，，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，联立双曲线，可得，设，，由三角形的面积的等积法可得，化简可得①，由双曲线的定义可得②在三角形中，为直线的倾斜角），由，，可得，可得，③由①②③化简可得，即为，可得，则．故选：．2.已知椭圆的左焦点为，过的直线和椭圆交于两点，和轴交于.若,则椭圆的离心率（）A. B. C. D.【答案】D.【解析】：方法1：根据直线可知，所以，又及，得，代入椭圆方程有，将代入，解得或（舍去），则方法2：如图直线化简为,过做x轴的垂线，垂足为C，所以由题意得,在三角形中易得在中由勾股定理可得易得，所以3．直线与坐标轴的交点为，以线段为直径的圆经过点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆交于两点，求.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）由题：在中，令，得，令，得，不妨设，因为以线段为直径的圆经过点，则，即，解得，故，圆心为，半径，所以圆的标准方程为；（2）由（1）可知，圆为，圆心到直线的距离，由垂径定理，即，解得。4如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，以为直径作圆，当直线的斜率为时，（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点作的垂线与圆的一个交点为，交抛物线与（点在之间），记的面积为，求的最小值。【答案】：（1）（2）【解析】：（1）设，