2025届四川省广元市川师大万达中学高二数学第一学期期末考试模拟试题含解析

2025届四川省广元市川师大万达中学高二数学第一学期期末考试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则函数在点处的切线方程为（）A. B.C. D.2．圆心在x轴上且过点的圆与y轴相切，则该圆的方程是（）A. B.C. D.3．如果，，那么直线不经过的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4．设变量，满足约束条件，则的最大值为（）A.1 B.6C.10 D.135．若等比数列满足，，则数列的公比为（）A. B.C. D.6．“”是“直线：与直线：平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．在数列中，，则（）A.2 B.C. D.8．执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（）A. B.C. D.9．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（）A. B.C. D.10．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（）A. B.C. D.11．椭圆离心率是（）A. B.C. D.12．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）A.由，求出，，，…，推断：数列的前项和B.由满足对都成立，推断：为奇函数C.由半径为的圆的面积，推断单位圆的面积D.由，，，…，推断：对一切，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设实数x，y满足，则的最小值为______14．若函数在（0，+∞）内有且只有一个零点,则a的值为_____15．设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.16．与直线和直线的距离相等的直线方程为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设等差数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18．（12分）已知函数.（1）证明：；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.19．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率等于，点，且的面积等于（1）求椭圆的标准方程；（2）已知斜率存在且不为0的直线与椭圆交于A，B两点，当点A关于y轴的对称点在直线PB上时，直线是否过定点?若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由20．（12分）若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线y＝kx＋b为和的“隔离直线”.已知函数，.（1）证明函数在内单调递增；（2）证明和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为－4.21．（12分）小张在2020年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，要求从贷款开始到2030年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢(保留两位小数)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)22．（10分）已知函数，.（1）当时，求函数的极值；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】依据导数几何意义去求函数在点处的切线方程即可解决.【详解】则，又则函数在点处的切线方程为，即故选：C2、A【解析】根据题意设出圆的方程，列式即可求出【详解】依题可设圆的方程为，所以，解得即圆的方程是故选：A3、A【解析】将直线化为，结合已知条件即可判断不经过的象限.【详解】由题设，直线可写成，又，，∴，，故直线过二、三、四象限，不过第一象限.故选：A.4、C【解析】画出约束条件表示的平面区域，将变形为，可得需要截距最小，观察图象，可得过点时截距最小，求出点A坐标，代入目标式即可.【详解】解：画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分：又，即，要取最大值，则在轴上截距要最小，观察图象可得过点时截距最小，由，得，则.故选：C.5、D【解析】设等比数列的公比为，然后由已知条件列方程组求解即可【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，所以，解得，故选：D6、C【解析】根据两直线平行求得的值，由此确定充分、必要条件.【详解】由于，所以，当时，两直线重合，不符合题意，所以.所以“”是“直线：与直线：平行”的充要条件.故选：C7、D【解析】根据递推关系，代入数据，逐步计算，即可得答案.【详解】由题意得，令，可得，令，可得，令，可得，令，可得.故选：D8、B【解析】列举出循环的每一步，利用裂项相消法可求得输出结果.【详解】第一次循环，不成立，，；第二次循环，不成立，，；第三次循环，不成立，，；以此类推，最后一次循环，不成立，，.成立，跳出循环体，输出.故选：B.9、C【解析】作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.【详解】连接与，因为，则为所求，又是正三角形，.故选：C.10、B【解析】利用空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选：B11、C【解析】将方程转化为椭圆的标准方程，求得a，c，再由离心率公式求得答案.【详解】解：由得，所以，则，所以椭圆的离心率，故选：C.12、A【解析】根据归纳推理是由特殊到一般，推导结论可得结果.【详解】对于A，由，求出，，，…，推断：数列的前项和，是由特殊推导出一般性的结论，且，故A正确；B和C属于演绎推理，故不正确；对于D，属于归纳推理，但时，结论不正确，故D不正确.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解析】画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解【详解】画出可行域和目标函数如图所示：根据平移知，当目标函数经过点时，有最小值为5.故答案为：5.14、a＝3【解析】对函数进行求导,分类讨论函数单调性,根据单调性结合已知可以求出a的值.【详解】∵函数在（0，+∞）内有且只有一个零点,∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0,函数f（x）在（0，+∞）上单调递增,f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上没有零点,舍去；②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x，∴f（x）在（0,）上递减,在（,+∞）递增，又f（x）只有一个零点,∴f（）1＝0，解得a＝3故答案为：a＝3【点睛】本题考查了利用导数研究已知函数的零点求参数取值问题,考查了分类讨论和数学运算能力.15、【解析】先把原不等式转化为恒成立，构造函数，利用恒成立，求出的取值范围.【详解】因为对任何，，所以对任何，，所以在上为减函数.，，所以恒成立，即对恒成立，所以，所以.即的取值范围是.故答案为：.【点睛】恒（能）成立问题求参数的取值范围：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.16、【解析】设直线方程为，根据两平行直线之间距离公式即可求解.【详解】设该直线为：，则由两平行直线之间距离公式得：，故该直线为：；故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，由此求得.（2）利用裂项求和法求得.【小问1详解】设等差数列的公差为，则,解得，.∴.【小问2详解】由（1）知.∴.∴.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）令，求导得到函数的增区间为，减区间为，故，得到证明.（2），讨论和两种情况，计算函数的单调区间得到，解得答案.【详解】（1）令，有，令可得，故函数的增区间为，减区间为，，故有.（2）由①当时，，此时函数的减区间为，没有增区间；②当时，令可得，此时函数的增区间为，减区间为.若函数有两个零点，必须且，可得，此时，又由，当时，由(1)有，取时，显然有，当时，故函数有两个零点时，实数的取值范围为.【点睛】本题考查了利用导数证明不等式，根据零点求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.19、（1）（2）【解析】（1）用待定系数法求出椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为,设，用“设而不求法”表示出和.表示出直线PB，把A关于y轴的对称点为带入后整理化简，即可得到，从而可以判断出直线恒过定点.【小问1详解】由题意可得：，解得：，所以椭圆的标准方程为：.【小问2详解】由题意可知,直线的斜率存在且不为0,设直线的方程为,设设点A关于y轴的对称点为.联立方程组，消去y可得：,所以.因为直线PB的方程为,且点D在直线PB上,所以则，所以，则,故，因为k≠0,所以，则直线l的方程为，所以直线恒过定点.20、（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由导数得出在上的单调性；（2）设和之间的隔离直线为y＝kx＋b，由题设条件得出对任意恒成立，再由二次函数的性质求解即可.【小问1详解】，当时，在上单调递增在内单调递增【小问2详解】设和之间的隔离直线为y＝kx＋b则对任意恒成立，即对任意恒成立由对任意恒成立，得当时，则有符合题意；当时，则有对任意恒成立的对称轴为又的对称轴为即故和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为－4.【点睛】关键点睛：在解决问题一时，求了一阶导得不了函数的单调性，再次求导得，进而得出在恒成立，得在上的单调性.21、每年至少要还6.17万元.【解析】根据贷款总额和还款总额相等，50(1＋4%)10=x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x，求解即可.【详解】50万元10年产生本息和与每年还x万元的本息和相等，故有购房款50万元十年的本息和：50(1＋4%)10，每年还x万元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝，从而有50(1＋4%)10＝，解得x≈6.17，即每年至少要还6.17万元.22、（1）函数在