第一章空间向量与立体几何夯实基础-01空间向量的线性运算（原卷版）

第一章空间向量与立体几何01空间向量的线性运算问题导学：平面向量的基本概念、基本运算有哪些？空间向量的基本概念？线性运算是什么？空间向量的共线定理、共面定理如何理解？知识构建知识点一空间向量的概念1.定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量2．长度或模：．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用表示；②字母表示法：用字母，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4.几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量的向量叫做零向量，记为0单位向量向量称为单位向量相反向量与向量a而方向的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线或，那么这些向量叫做向量或向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向且相等的向量称为相等向量知识点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法减法数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点三共线向量空间两个向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使2．直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a的非零向量称为直线l的方向向量．知识点四共面向量1．共面向量：如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做．2．向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使拓展：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．三、类型归纳类型一、空间向量的基本概念类型二、空间向量的加减数乘运算类型三：空间向量线性运算综合问题类型四、空间共面向量定理四、类型剖析题型一空间向量概念【例1】下列关于空间向量的说法中正确的是（

）A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量满足，则D．相等向量其方向必相同【跟踪训练1】下列说法正确的是（

）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量D．不相等的两个空间向量的模可能相等题型二、空间向量的加减数乘运算【例2】（2024·山东滨州·高二统考期末）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（

）

A． B． C． D．【跟踪训练21】.（2023秋·北京大兴·高二统考期末）空间向量（

）A． B． C． D．【跟踪训练22】.（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）在长方体中，等于（

）A． B． C． D．【跟踪训练23】.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，N为CD中点，如图所示，则（）A． B．C． D．【跟踪训练24】.在三棱锥中，为的中点，则（

）A． B．C． D．【跟踪训练25】.已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（

）A． B．C． D．【跟踪训练26】.（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（

）A． B．C． D．题型三：空间向量线性运算综合问题【例3】.已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

(1)；(2)；(3).【跟踪训练3】如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式：(1)； (2)； (3)； (4).题型四、空间共面向量定理【例4】如图1.19，已知平行四边形，过平面外一点，作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使．求证：，，，四点共面．【跟踪训练4】.五、素养提升：1．（2024·辽宁鞍山·高二鞍山一中校联考期末）在四面体中，是棱的中点，且，则的值为__________.2.已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为.3．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（

）A．1 B． C． D．六、随堂检测：1．下列关于空间向量的说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．若，则，的长度相等而方向相同或相反C．若向量，满足，则D．相等向量其方向必相同2．在正方体中，与向量相反的向量是（

）A． B． C． D．3．在空间四边形中，（

）A． B． C． D．4．如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（

）A． B． C． D．5．如图，在斜棱柱中，与的交点为点M，，，，则（

）A． B．C． D．6．如图，平行六面体中，分别为的中点.若，则（

）A． B．C． D．二、多选题7．如图所示，在正方体