2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）第三章 因式分解（压轴题专练）（解析版）

第三章因式分解（压轴题专练）一、选择题1．（2022·江苏·七年级假期作业）在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（）A．45 B．63 C．54 D．不确定【答案】B【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案．【详解】解：根据题意得：x（x+3）+x（x+4）+…+x（x+n）＝x（9x+m），∴x（x+3+x+4+…+x+n）＝x（9x+m），∴x[（n﹣3+1）x+]＝x（9x+m），∴n﹣2＝9，m＝，∴n＝11，m＝63．故选：B．2．（2019下·浙江绍兴·七年级统考期末）已知，，，则代数式的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】通过已知条件可求得a-b,b-c,a-c的值，将代数式适当变形，将a-b,b-c,a-c的值代入即可求解.【详解】∵，，，∴，，，∴故选D.3．（2018上·山东·八年级校考期末）已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入求值即可．【详解】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2＝3．故选D．4．（2021下·湖南株洲·七年级统考期中）已知满足，则的值为（

）A．1 B．－5 C．－6 D．－7【答案】A【分析】三个式子相加，化成完全平方式，得出的值，代入计算即可．【详解】解：∵，∴（a2+2b）+（b2-2c）+（c2-6a）=7+（-1）+（-17），∴a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11∴（a2-6a+9）+（b2+2b+1）+（c2-2c+1）=0，∴（a-3）2+（b+1）2+（c-1）2=0∴a-3=0，b+1=0，c-1=0，∴a+b-c=3-1-1=1．故选：A．5．（2021上·重庆万州·八年级统考期末）已知满足，，则的值为（

）A．4 B．1 C．0 D．-8【答案】C【分析】根据题目条件可用x来表示z，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得，再根据平方数的非负性可分别求出x，z的值，最后运算即可．【详解】解：，，又，，，，，，，代入得，=0．故选：C．二、填空题6．（2024上·四川内江·八年级校考期中）设为正整数，且，则等于．【答案】【分析】将，转化为关于同一底数幂的形式，再代入中试解即可．【详解】解：因为，所以只能是，只能是．（为整数）同理，（为整数）．由，得，，故，，所以，．因此，，．，．故答案为：．7．（2023上·重庆·九年级重庆南开中学校考期中）如果一个各数位上的数字均不为0的四位自然数，满足，则称这个四位数为“倍差等和数”．例如：四位数，，，是“倍差等和数”；又如：四位数，，不是“倍差等和数”．最大的“倍差等和数”为，将“倍差等和数”的个位数字去掉后得到一个三位数，该三位数和的个位数字之差能整除，令，若为整数，则满足条件的数的最小值为．【答案】【分析】本题考查因式分解的应用，整式的乘法运算，根据题意找出数量关系，当“倍差等和数”为最大时，最高数位只能为，分析讨论即可的结论；若为整数，根据已知条件分析讨论即可．【详解】解：当“倍差等和数”为最大时，则最高位上，设则，，舍去，此时设．则，则，时最大，此时四位数为；∵为整数，或或或或或，，，为奇数，是偶数，排除、两种可能，①当时，，，，，，不合题意舍去，②当时，若，，则，，（不合题意舍去），③时，若，，则，，：，，不合题意舍去，若，．则，，，不合题意舍去，④当时，若，，则，，，，若，则，，（不合题意舍去），综上所述、只有一种可能即，，此时，设，此时，不能被整除舍去，设，此时不能被整除舍去，设，，此时，，能被整除，的最小值为：，故答案为：，．8．（2021·浙江·九年级自主招生）已知，则．【答案】【分析】根据，代值求解即可得到答案．【详解】解：，，故答案为：．9．（2019下·河北唐山·七年级统考期末）计算：.【答案】【分析】原式利用平方差公式分解，约分即可得到结果．【详解】解：原式==，故答案为10．（2023下·浙江宁波·七年级宁波市海曙外国语学校校考期中）已知，为自然数，且，若，则，．【答案】82【分析】化简原式可得：，设，则，再根据可求，．【详解】，，，．设，则，，为自然数，，，，或，，不合题意，舍去或，，．故答案为：，．11．（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）已知，且互不相等，则．【答案】【分析】通过已知条件，找到的关系：，，，即可获得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，，∵，∴，∴，∴，∴故答案为：．12．（2014·七年级课时练习）如果为完全平方数，则正整数n为．【答案】2或14或11【分析】分情况讨论，分别设为首项的平方，末项的平方，中间项，则可得出n的值即可．【详解】设为首项的平方，则末项为，中间项为乘积两倍为=2×，∴首项为2，首项平方为，∴n=2；设为末项的平方，则首项为，乘积两倍为=2××，∴末项为，末项平方为，∴n=14；设为中间项，则=2××=，∴n=11，综上所述，正整数n的值为2或14或11，故答案为：2或14或11．13．（2018上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）已知，则．【答案】0【分析】利用完全平方式的特点把原条件变形为，再利用几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0的结论可得答案．【详解】解：因为：所以所以所以，解得所以故答案为0．14．（2018上·上海杨浦·七年级校考期末）若a,b,c满足，则【答案】【分析】关键整式的乘法法则运算，并整体代入变形即可.【详解】因为所以，即因为所以因为所以因为所以即因为即故答案为：15．（2015·福建泉州·统考一模）已知：，且则．【答案】14【详解】试题分析：因为，所以，所以，所以a-b=0，a-c=0，b-c=0，所以a=b=c，又，所以6a=12，所以a=2，所以b=c=2，所以2+4+8=14．三、解答题16．（2024上·广东汕头·八年级统考期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式；解法二：原式．【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解；（3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值．【答案】（1）；（2）；（3），【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由，，整体代入得出答案即可．此题主要考查了分组分解法，提取公因式法，公式法分解因式，以及整体代入法求代数式的值，正确分组再运用提公因式法或公式法分解因式，是解决问题的关键．【详解】（1）；（2）；（3）．当，时，原式．17．（2020上·福建泉州·八年级统考期中）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：___________；(2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值；(3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．【答案】(1)(2)5(3)时，最大值为16．【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可；（2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值；（3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；【详解】（1）解：原式=；故答案为：（2），，，解得：，、、是的三边长，，又是整数，；边长的最小值是5；（3），，；，当时,即时，取得最大值为16．18．（2018上·湖南长沙·七年级统考阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：例：分解因式：解：如图1，其中，，而所以而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式例：分解因式解：如图3，其中，，而，，所以请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①．②．（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．【答案】（1）；；（2）61或-82．【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论；（2）用十字相乘法把能分解的几种情况全部列出求出m的值即可．【详解】解：（1）①如下图，其中，所以，；②如下图，其中，而，所以，；（2）如下图，其中，而或，∴若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，的值为61或-82．19．（2019下·浙江宁波·七年级统考期中）【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式进行因式分解呢？我们已经知道，a1xc1a2xc2a1a2x2a1c2xa2c1xc1c2a1ax2a1c2a2c1xc1c2．反过来，就得到：．我们发现，二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把a1，a2，c1，c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么就可以分解为a1xc1a2xc2，其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2=－1，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为(x2)(x3)．请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：=．【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：（1）=；（2）=．【探究与拓展】对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=mxpyjnxqyk，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：（1）分解因式=；（2）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求m的值；（3）已知x，y为整数，且满足，请写出一组符合题意的x，y的值．【答案】阅读与思考：图见解析，x-3x2；理解与应用：（1）x12x7；（2）2xy3x2y；探究与拓展：（1）x2y13xy4；（2）43或-78；（3）x=－1，y=0．【分析】【阅读与思考】利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；【理解与应用】（1）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；（2）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；【探究与拓展】（1）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可得到答案；（2）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可求解；（3）根据二元二次多项式的十字相乘法，对方程进行分解因式，化为二元一次方程，进而即可求解．【阅读与思考】画十字交叉图：∴=x-3x2．故答案是：x-3x2；【理解与应用】（1）画十字交叉图：∴2x25x7=x12x7，故答案是：x12x7；（2）画十字交叉图：∴6x27xy2y2=2xy3x2y，故答案是：2xy3x2y；【探究与拓展】（1）画十字交叉图：∴3x25xy2y2x9y4x2y13xy4，故答案是：x2y13xy4；（2）如图，∵关于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成两个一次因式的积，∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3=－24，7=1×(－2)+1×9，－5=1×(－8)+1×3，∴m=9×3+(－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3=－78．∴m的值为：43或－78；（3）∵，∴，画十字交叉图：∴，∴或，∵x，y为整数，∴x=－1，y=0是一组符合题意的值．20．（2022下·浙江杭州·七年级校考期中）配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等，请用配方法解决以下问题．(1)试说明：、取任何实数时，多项式的值总为正数；(2)分解因式：；(3)已知实数，满足，求的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答；（2）先利用配方法再利用平方差公式进行因式分解即可；（3）先表示出，再表示出，再利用配方法求解即可．【详解】（1）解：==，∵，，∴x，y取任何实数时，多项式的值总为正数；（2）解：===；（3）解：∵，∴，∴，∴当a=2时，a+b有最小值为1，∴a+b的最小值为1．21．（2022下·山东济南·八年级统考期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例1用配方法因式分解：a2＋6a＋8．原式＝a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，∴当a＝b＝1时，M有最小值1．请根据上述自主学习材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．(3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________；(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；【答案】(1)25；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可；（2）原式常数项35分为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；（3）配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；（4）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出，，的值，代入原式计算即可．【详解】（1）解：；故答案为：25；（2）解：；（3）解：，当，即时，取最小值，最小值为；故答案为：；（4）解：，，即，，，，，，，解得：，，则．故答案为：．22．（2022上·湖南长沙·八年级统考期末）方法探究：已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．问题解决：(1)对于二次多项式，我们把x＝代入该式，会发现成立；(2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值；(3)对于多项式，用“试根法”分解因式．【答案】(1)±2(2)a=0，b=-3；(3)【分析】（1）将x=±2代入即可；（2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可；（3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可．【详解】（1）解：当x=±2时，x2-4=0，故答案为：±2；（2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b），∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，∴1-a=1，b=-3，∴a=0，b=-3；（3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0，∴多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b），∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，∴a-2=4，2b=18，∴a=6，b=9，∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2．23．（2023下·浙江·七年级专题练习）材料一：一个正整数x能写成（a，b均为正整数，且），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时．例如：，24为“雪松数”，7和5为24的一个平方差分解，，，因为，所以9和7为32的最佳平方差分解，；材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．根据材料回答：(1)请直接写出两个“雪松数”，并分别写出它们的一对平方差分解；(2)试证明10不是：“雪松数”；(3)若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中的最大值．【答案】(1)(2)见解析(3)的最大值为14824013【分析】本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．（1）根据“雪松数”的特征即可得到结论；（2）根据题意即可得到结论；（3）设（a，b均为正整数，且），另一个“南麓数”为（m，n均为正整数，且），根据“南麓数”的特征即可得到结论．【详解】（1）解：；（2）解：若10是“雪松数”，则可设（a，b均为正整数，且），则，又∵，∵a，b均为正整数，∴，∴，或，解得：或，与a，b均为正整数矛盾，故10不是“雪松数”；（3）解：设（a，b均为正整数，且），另一个“南麓数”为（m，n均为正整数，且），则，∴，整理得，∵a，b，m，n均为正整数，∴，经探究，，符合题意，∴t的值分别为：2772，5445，设，当时，，则，当时，，则，∴的最大值为14824013．24．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．[解决问题](1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______；(2)若可配方成（m、n为常数），则______；[探究问题](3)已知，则______；(4)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．[拓展结论](5)已知实数x、y满足，求的最值．【答案】(1)；(2)(3)(4)(5)最大值为：；【分析】（1）根据“完美数”可得答案；（2）利用完全平方公式可得，从而可得答案；（3）利用完全平方公式把左边分组分解因式，再利用非负数的性质可得答案；（4）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案；（5）由条件可得，代入计算可得：，再结合非负数的性质可得最大值．【详解】（1）解：；（2）；∴，，∴；（3）∵，∴∴，∴，，解得：，，∴；（4），当为完美数时，∴，解得：．（5）∵，∴，∴，∵，∴；∴的最大值为：．25．（2019上·河南南阳·八年级统考期中）（1）填空：____________；（2）阅读，并解决问题：分解因式解：设，则原式这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：①②【答案】（1）9，3；（2）①，②【分析】（1）根据完全平方公式可得到结论；（2）①根据换元法设，根据完全平方公式可得结论；②先将原式x2－4x看作整体，根据换元法设x2－4x=a，化简，再根据完全平方公式可得结论．【详解】解：（1）a2+6a+9=(a+3)2，故答案为9，3；（2）①，设，则原式；②，设，.26．（2019上·山东威海·八年级统考期中）【阅读材料】因式分解：．解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，原式．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.【问题解