高考备考数学专题：以函数、不等式与导数相结合的综合问题为解答题

专题三压轴解答题

第五关以函数、不等式与导数相结合的综合问题为解答题

【名师综述】

1.本专题在高考中的地位

导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所

以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出

2.本专题在高考中的命题方向及命题角度

从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往

往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，

求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想

的应用

类型一用导数研究函数的性质

典例1【安徽省滁州市2018届高三上学期期末考试】已知函数/（%）=£—%—lnx.

（1）求函数/（九）的极值；

（2）若X],%是方程◎+/（%）=*—%（。＞0）的两个不同的实数根，求证：

1叫+lnx2+21n。＜0.

【解析】（1）依题意，==（2x+l）（l）

XXX

故当xe（O,l）时，f（x）＜0,当xe（l,+oo）时，/（x）＞0

故当x=l时，函数有极小值/⑴=0,无极大值.

（2）因为七，%是方程◎+/（x）=M—X的两个不同的实数根.

{“引一加X]=0。）两式相减得。（西―々）+ln迨=0,解得。=—工

ax2-lnx2=0^2）x2-x1

即证[in三]=三_2+上,

、%!J玉％项X2

不妨设王<X2，令生■=%〉】.只需证In2%<"2+L

%t

1211(]\

设g(%)=In%-%--F2,「•/(%)=—In%-1H—5——I21n^—t-\—I；

ttt\t)

令丸(。=21皿—t+1，...//(。=？—：!—!=<0,...〃(/)在(1,+8)上单调递

ttt1

减，

/z(r)</z(l)=0,；.g'(/)<0,；.g(。在(l,+oo)为减函数，g(/)<g(l)=0.

即ln2r</-2+1在(1,+co)恒成立，，原不等式成立，即In%]+lux?+21na<0.

【名师指点】利用导数可以研究函数的单调性、函数图像、极值点、最值、零点等性质，

常用的到的方法为：1、利用对于确定函数求单调区间问题，先求定义域，然后解不等式

f(x)>0和定义域求交集得单调递增区间；解不等式f'(x)<0和定义域求交集得单调递

减区间.

2、对于含参数的函数求单调区间问题，转化为判断导函数符号，可结合函数图象判断.

3、求函数的极值，先求f(x)=0的根%,再和函数定义域比较，如果落在定义域外或者落

在定义域端点，此时函数单调，无极值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑为两

侧导数是否异号，从而判断是否有极值.

4、求函数的最值和求极值类似，先求f(x)=0的根％,如果落在定义域外或者落在定义域

端点，此时函数单调，利用单调性求最值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑飞

两侧导数是否异号，从而判断函数大致图象，从而求最值.

【举一反三X天津市部分区2018届高三上学期期末考试】已知函数/(x)=liix+a(l-x),

awR.

(1)讨论了(X)的单调性；

(2)当a=-g时，令g(x)=%2-1一2/(%),其导函数为设玉是函数g(x)

的两个零点，判断七三是否为g'(x)的零点？并说明理由.

【解析】⑴依题意知函数/(尤)的定义域为(0,+8),且r(x)=L—a.

X

①当aWO时，/(%)>0,所以/(%)在(Q+00)上单调递增.

②当a>0时，由/'(九)=0得：%=-,

则当时/'(%)>0；当+时/'(x)<0.

所以/(x)在(02)单调递增,在［L+8］上单调递减.

(2)七强不是导函数g'(x)的零点.

证明如下：由(I)知函数g(x)=A：2-21nx-％.

;西，Z是函数g(x)的两个零点，不妨设

无；-21nxi.玉=0=｛石2_玉=21nxi

两式相减得

2

x2-21nx2_%2=。武―/=21nx2

(%—石+%—1)=2(1叫一1吨)

2(lwa-lnx9)

即：^+%2-1=-^—!----U

一百-x2

2

又g'(%)=2%----1.

x

则g，［―卜石+々__4__14

\2J玉+兄2%+%2

设t-——,<0</</，/.0<，v1,

令9(/)=ln”史力(—if

(p'(t)=-

t+1——Ld+1)2

又0</<1,在(0,1)上是增函数,

则0(。<0(1)=0,即当0</<1时,

从而(imq-lux?)-幺*——<0,

一玉+x2

(1%-1吨)-n口

又0<玉<%=>玉一/<0所以

石一9玉+x2

玉十%2>0,所以生产不是导函数g'(x)的零点.

类型2导数、函数与不等式

典例2已知函数=+at-lnx,aGH.

(1)若函数/(x)在［1,2］上是减函数，求实数a的取值范围；

(2)令g(»=/(%)-炉,是否存在实数a,当尤e(O,e］(e是自然常数)时,函数g(x)

的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；

(3)当xe(0,e］时，证明：e2x2>(x+l)lnx.

【答案】(1)a<—5；(2)存在实数a=e2,使得当xe(0,e］时g(x)有最小值3；(3)详

见解析.

17Y2-I-/7Y—1

【解析】(1)f'(x)=2x+a——=——W0在［1,2］上恒成立，

XX

f/?(l)<0aK-L7

令力(%)=2了+<zx-1,有《/、得<7，得a<——.

［^(2)<02

⑵假设存在实数a,使g(x)=6—lnx(xe(O,e］)有最小值3,g，(x)="—竺匚

X-JC

①当〃<0时，g(x)在(0,e］上单调递减，^(x)min=g(e)=ae-l=3,a=—(舍去)，

②当0<L<e时，g(x)在［()-］上单调递减，在［士/上单调递增

aVaJ\a

g(x)mm=g［L)=l+ln〃=3,〃=e2,满足条件.

③当，“时，g(x)在(0,e］上单调递减，^(x)min=g(e)=ae-l=3,a=—(舍去),

综上，存在实数〃=/,使得当不£(0,同时g(x)有最小值3.

2J

(3)4^F(x)=^x-lnx,由(2)知，F(x)min=3.令(%)

九2x

当OvxKe时，^(%)>0,距0在(°，4上单调递增

(p(x)=(p(e)=—+—<—+—=3

maxe222

2iInx5

cx—Inx>---1—

x2

即e2x2~~x>(尤+l)lnx

【名师指点】证明不等式/(x)2g(x)成立，可以构造函数"(％)=/(%)-g(x),通过证明

函数”(九)的最小值大于等于零即可，可是有时候利用导数求函数”(九)最小值不易，可以

通过特例法，即证明/(X)的最小值大于等于g(x)的最大值即可.

【举一反三】【湖南省郴州市一中2018届高三十二月月考理科】设函数

/(x)=a\wc-\---2犬(〃GR).

(1)当。=3时，求”力的极值；

(2)当0=1时，证明：/(X—1)>三—2x+2.

【解析】

(1)当a=3时，/(x)=31nxH---lx,

2%2—3x+1(2x-l)(x-l)

(x>0),

当时，/'(%)<0,/(%)在［。,£|上单调递减；

当寸，/'(x)>0,/(%)在g,l］上单调递增；

当X£(l,+co)时，,/(%)在(1,+00)上单调递减.

所以，当x=g，/(X)取得极小值d；］=l—31n2；

当x=l时，〃力取得极大值〃1)=—1.

(2)证明：当a=l时，/(x-l)=ln(x-l)+--—2(x—1),x>l,

X-1

所以不等式/(x—1)>三—2x+2可变为ln(x—1)+，>三.

ex1e

要证明上述不等式成立，即证明(x—l)ln(x—l)+l〉上

设g(x)=(九一1)1n(%一1)+1'则g'(x)=1+山(工一1),

令g'(x)=O,得x=l+1,

在上，g'(%)<0,g(x)是减函数；在1l+L+oo]上，g'(x)〉O,g(x)是

增函数.

所以g(x"g[l+)=1一：

令“丸/(、动e=(七x-一l)，则,、e(2-x\

在(1,2)上，"(%)>0,/?(%)是增函数；在(2,+8)上，h\x)<0,人(尤)是减函数，

所以/z(x)〈/z(2)=1<1—』，

所以/z(x)<g(x),即e(:1)<+],BP(x-l)ln(x-l)+l>x，

由此可知/(x—1)>二—2x+2.

类型三、恒成立及求参数范围问题

典例3【安徽省蚌埠市2018届高三上学期第一次教学质量检查】已知函数/(x)=lnx,

g(x)=(a-e)x+2Z?(其中e为自然对数的底数，/(%)).

(1)若函数/(%)的图象与函数g(x)的图象相切于x=:处，求的值；

(2)当2〃=e—a时，若不等式〃x)Wg(x)恒成立，求a的最小值.

【解析】(1)a=2e,/?=-1.(过程略)

(2)☆/z(x)=/(x)—g(x)=lm:+(e-Q)%-(e-Q),则/z'(x)=_+(e_a),

当aKe时，h(x)单调递增,而力⑴二0,

xe(1,+00)时，/z(x)>0不合题意

当时，令=则元=----,

a-e

•••〃(x)为减函数,

••.xe］o,」一］时，〃(x)>0,/z(x)单调递增，

xe1---,+oo］时，〃(x)<0,入⑴单调递减，

二丸max(X)=力=-ln(a-e)-l-(e-a)<0,

即ln(a-e)2(a-e)-l.(△)

但Vx>0,lnx<x—1,等号成立当且仅当且x=l.

故(△)式成立只能a—e=l

即a=e—l.

【名师指点】将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函

数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁

是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则.常用方法有参变分离法和构造函数法.

【举一反三】已知函数/'(x)=gx?+(a-l)lnx,«>1.

⑴求/(幻的单调区间；

⑵若g(x)=(2-a)x-lnx,于(x)>g(x)在区间[e,+8)恒成立,求a的取值范围.

解析：(l)/(x)的定义域为(0,+oo).

.ci—1—CIX+ci-1(x—1)(%+1—4)z.

/(%)=%—[+——=-------------=-——---------,(i)若Q—1=1即〃=2,则

XXX

,(Y-1)2

f(x)=------故/(%)在(0,+8)单调增加.(ii)若〃一1<1,而故则当

'X

XG(6Z-1,1)时，/(X)<0；

当无£(0,〃一1)或(1,+00)时，/(X)>0；故/(X)在(〃一1,1)单调减少，在

(0,a—1),(1,+8)单调增加.(iii)若a—1〉1,即a>2,同理可得/(x)在(1,a—1)单调减

少，在(0,1),(a—1,+8)单调递增.(2)由题意得/(x)—g(x)=gd+ainx—2x20恒成

立.亍殳F(x)=/(x)-g(x)=工％2+ainx-2x,则F'(x)=x+q—222G-2>0，所

12x

以FQ0在区间［e,+8)上是增函数，只需F(e)=g/+a-2eN0即aN26-；/.

【精选名校模拟】

1.【山东省济南市2018届高三上学期期末考试数学】已知函数/(%)=依—lnx(a£R).

(1)求函数/(%)的单调区间；

(2)若函数/(%)有两个零点%,%2，证明----1----->2.

］叫lnx2

【解析】1)/,(x)=a--=^^(x>0)

XX

当aWO时，/'(尤)<0,所以“X)在(0,+8)上单调递减；

当a〉0时，/'(尤)=0,得x=1

Vxe］o，£|都有/'(x)<°，/(x)在'J上单调递减；

Vxe^—,+oo^j/'(x)>0,/(x)在］,+oo］上单调递增.

综上：当aWO时，〃尤)在(0,+oo)上单调递减，无单调递增区间；

当a>0时，“X)在［。,£|单调递减，/(%)在［,+，|上单调递增.

(2)函数/(%)有两个零点分别为七,%2，不妨设％1<冗2则

1叫一ax1=0,lnx2-ax2=0

lnx2_1叫=Q(%2―芯)

要证：工+」-〉2

1叫h\x2

只需证：工+,〉2a只需证：五士三〉a

%x22玉％2

nf、十x,+xlnx-lux,

只需证：-~9->---9------1

2%々X2一玉

只需证：其二E>ln三

2X1X2%

设。⑺=1加一《"；［,则"⑺=^^<0,

即函数。⑺在（1,+00）单调递减

则阿）<41）=0

即得」-+」_〉2

liLXjlnx2

2.【河南省周口市2018届高三上学期期末抽测调研】已知函数

/（x）=x2-8x+Qln%（Q£©

（I）当X=1时，/（%）取得极值，求。的值；

（II）当函数/（九）有两个极值点玉,％&<々），且X户1时，总有生匕〉（/〃—2）

］一再

（4+3%一年）成立，求加的取值范围.

【解析】（I）/（x）=2x-8x+a（x〉o）,/⑴=o,则q=6

X

检验a=6时，/'(x)=^————^(x>0),

所以时，/'（%）>0,〃尤）为增函数;

%«1,3）时，/'（x）＜0,〃尤）为减函数，所以x=l为极大值点

（II）/（力定义域为（0,+8）,有两个极值点和々（石＜/），则t（x）=2%2-8x+a=0

在（0,4。。）上有两个不等正根

A=64-8〃>0

所以｛t(0)=a>0,所以0<a<8

x=2>0

x+x=4

129%2=4—西

｛玉九2=1.所以｛。=2%]%2=2不(4一Jr),所以0<玉<2

C0<x1<x29

0<x1<x2

这样原问题即0＜石＜2且工尸1时，生也＞（加—2）（4+3%一才）成立

1X]

印2%(4—3)1叫

>(m-2)(4-x1)(x1+1)

即2xJ叫〉（加_2）（石+1）

1X]

叫（仙）

即私竺一（相—）（）〉即』-21+*2”I

L2%+10,>0

1%[1X]

0<玉(1时上。

且｛'

1<%<2时上＜0

1-再

m-2^x2-1

设=21nx+(0<x<2)

X

(加一2)%2+2x+(m-2)

〃(x)=(0<x<2)

x2

2

①m=2时，"＞0,

所以从九）在（0,2）上为增函数且〃⑴=0,

所以，1£（1,2）时，/z（x）＞0不合题意舍去.

②相>2时，/z'(x)>0同①舍去

③m<2时

(i)A<0,即时可知”(％)K0,在(0,2)上网力为减函数且力⑴=0,

这样0cx<1时，力(％)>0,1<%<2时力(%)<0,

r(m-2)(x2-1)

这样一匚21n%+-----△----)-〉0成立

1-xx

(ii)A>0,即/<加<2时”(x)分子中的一元二次函数的对称轴x=a^>l开口向下,

且1的函数值为2(刀—1)>0

令a=min{S—,21，则xe(l,a)时，/z'(%)>0,力⑴为增函数，A(l)=0

所以，可力>0故舍去

综上可知：m<l

3.【广西南宁市第二中学2018届高三1月月考(期末)】已知函数/(x)=ln%+@-1,

aeR.

(1)若关于X的不等式1在［1,母)上恒成立，求。的取值范围；

(2)设函数g(x)=〃^,若g(x)在［1］］上存在极值，求a的取值范围，并判断极值

X

的正负.

【解析】(I)由/(九)«；九一1,Wlnx+--l<^x-l.即QK—xlnx+g/在［I,+QO)上

恒成立

设函数冽(%)=一%1"+］%2,X>1.则m'(%)=-bu+x-l.

设〃(%)=-lnx+x-L则〃1犬)二----bl.易知当时，〃'(x)N0.

X

・"(%)在上单调递增，且〃(%"〃(1)=0.即加(%)之初⑴=0对x«L+oo)恒

成立.

加(%)在［1,+8)上单调递增.

二,当x£[1,+8)时，m(x)>m(%)min=机⑴=g

a<—,即a的取值范围是(一oo,工.

2I2」

(II)g(x)=^^+=-Lxe「l,e2］.

XX~XL」

.,/x_1-Inx12a_2x-xlnx-2a

•♦g(x)=----1—T—=------------；------

设/z(x)=2x-xl依一2a,则/z'(x)=2—(l+bix)=l—bix.

由”(九)=0,得％=6.

当lWX<e时，/:'(%)>0：当6<%<02时，/z'(%)<0.

/©)在［1,e)上单调递增,在(e,e2］上单调递减.

且/z(l)=2-2a,h(e)=e—2a,h^e2^=-2a.

显然

结合函数图象可知，若g(x)在［I4?］上存在极值,

Ae)>01>0

则｛J(或｛/2、

/1(1)<0h(e2)<Q

//(e)>0

(i)当｛,即时,

//(!)<02

则必定玉：］,%2使得人(玉)=入(々)=0,且1<%<e<々<e?.

当x变化时，h(x),g\x),g(x)的变化情况如下表:

X(1,石)再%(%,/)

/z(x)-0+0-

g1(x)-0+0-

g(x)极小值/极大值

.,.当l<a<"|时，g(x)在［l,e］上的极值为ga),g(%2)，且ga)<g(X2),

(%)=也+=一1_-xx+a

.g

王

设0(x)=xlm:-x+Q,其中l<x<e.

V^7,(x)=lnx>0,A0(x)在(l,e)上单调递增，^(X)>^(1)=<7-1>0，当且仅当％=1

时取等号.

1<%!<e,・，・g(%)>0.

・,•当1<a<"I■时，g(%)在［1,/］上的极值g(%)>g(%)>0.

“1)20

(ii)当｛/；、，即0<〃01时，

h(e2)<0

则必定土：3£0,/)，使得力(F)二。.

易知g(x)在(1,思)上单调递增，在(0/］上单调递减.

2

此时，g⑴在［11］上的极大值是g(%)，且g(X3)〉g(e2)=，^〉0.

.•.当0<a<l时，g(x)在［11］上的极值为正数.

综上所述：当0<。<：时，g(x)在［142］上存在极值，且极值都为正数.

注：也可由g'(x)=0,^2a=2x-xlnx.令/z(x)=2x-xbu后再研究g(x)在［1,/］上

的极值问题.

4.【衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷】已知函数

/(%)=tz(x-l)2+lnx,aeR.

(1)当〃=2时，求函数y=/(x)在点尸(1,〃功处的切线方程；

(2)当〃二一1时，令函数g(x)=/(x)+lnx-2x+l+/n,若函数g(x)在区间—上

有两个零点，求实数加的取值范围.

【解析】⑴当a=2时，/(x)=2(x-l)2+lnx=2x2-4x+lnx+2.

当元=1时，f(l)=0,所以点尸(1,/(1))为尸(1,0),

又/'(X)=4X—4+L,因此左=/(l)=l.

因此所求切线方程为y—0=1x(%—l)ny=%—1.

(2)当〃二一1时，g(x)=21nx-x2+m,

则7(%)=―2%=」——△——<

xx

因为xe-,e,所以当g'(x)=0时，x=l,

且当一<x<l时，g'(x)>0；当l<x<e时，g'(x)<0；

故g(x)在x=1处取得极大值也即最大值g(l)=m-l.

又=加一2一±,g(^e)-m+2-e2,

g(e)-g[']=m+2—/―m+2+J=4-e2+<0,

则g(e)<g]]，所以g(x)在区间上的最小值为g(e),

故g(x)在区间：,e上有两个零点的条件是

g⑴-m—\>0

g\-\=m-2——j-<0e1

所以实数机的取值范围是2+J.

5.【湖北省武昌2018届元月调研考试数学】已知。的实常数，函数/(九)=产一2—

(1)讨论函数“X)的单调性；

(2)若函数/(龙)有两个不同的零点石,々(为<々)，

(i)求实数a的取值范围；

(ii)证明：%,+x2>2.

%—2

【解析】试题解析：(1)f'(x)=e—ci.

当aWO时，f(x)>0,函数在(—00,转)上单调递增；

当a>0时，由/一。=0,得l=2+lna.

若x>2+lna,则/'(x)>0,函数/(%)在(2+lna,+8)上单调递增；

若x<2+lna,则/'(九)<0,函数/(%)在(-8,2+lna)上单调递减.

(2)(i)由(1)知，当aWO时，/(尤)单调递增，没有两个不同的零点.

当a>0时，“X)在x=2+lna处取得极小值.

由/(2+Ina)=e111"—a(2+Ina)<0,得a〉工.

所以a的取值范围为+8)

(ii)由e*—2一。x=0,得x-2=ln(ax)=lna+lnx,即x-2-lnx=lna.

所以玉—2_1叫=x2-2-lnx2=Ina.

令g(%)=x—2-lnx,则g'(尤)=[——.

当x>l时，g'(x)>0；当0<x<l时，g'(x)<0.

所以g(x)在(0,1)递减，在(1,+8)递增,所以。<再<1<々.

要证石+%2>2，只需证％2>2-%>1.

因为g(x)在(1,+00)递增，所以只需证g(%2)>g(2—%).

因为g(xj=g(%2)，只需证g(%)>g(2—匹)，即证g(石)一g(2—%)〉。.

令/?(%)=g(%)-g(2-x),0Vx<1,则/(x)=gr(x)-gr(2-x)=2-f—+—-—

\x2—x

因为工H---=—r%+-+^—|>2,所以〃(x)WO,即/z(x)在(0,1)上单调

x2-x2Lx2X/

递减.

所以/z(x)>/z(l)=O,即g(%)_g(2_%)>0,

所以石+x2>2成立.

6.【山西省吕梁市2018届高三上学期第一次模拟考试】已知函数/(x)=J-a(x-In%).

(1)当aWO时，试求/(%)的单调区间；

(2)若“力在(0,1)内有极值，试求a的取值范围.

,、e'

【解析】(I)/'(%)=—

当aWO时，对于\/xe(0,+c。)，e云-av>。恒成立，

所以/'(尤)>0=x>l；/'(尤)<0=0<x<10.

所以单调增区间为(L+8)，单调减区间为(0,1).

(II)若“力在(0,1)内有极值，则/'(X)在％w(0,1)内有解.

e-cue

令广(力==0=^>e%—cix=Q=a=—

x

设g(x)=Jxe(o,l),

X

所以g.x)=e(I),当尤«0,l)时，g'(x)<0恒成立,

所以g(x)单调递减.

又因为且编=6,又当X-0时，g(尤)—七»,

即g(x)在上的值域为(e,y),

e-ax

所以当a〉e时，_f(x)==0有解.

设H(x)=e'--依，则H'^=ex-a<0xe(0,l),

所以H(x)在xe(O,l)单调递减.

因为H(0)=l>0,H(l)=e—a<0,

所以=e"-⑪在xe(0,1)有唯一解x0.

所以有：

X(0,%)(知1)

H(x)+0—

/(-<)—0+

f(x)极小值/

所以当a〉e时，/(x)在(0,1)内有极值且唯一.

当aKe时，当xe(O,l)时，/'(力20恒成立，〃尤)单调递增，不成立.

综上，a的取值范围为(e,+8).

7.【四川省2017-2018年度高三“联测促改”活动理科数学试题】已知函数/(%)="+lnx.

(1)求函数y=/'(尤)在XG[1,ZQ)上的最小值；

(2)若对任意xe[l,+co)恒有/(x)>e+m(x-l),求实数m的取值范围.

【解析】

(1)由于丁=丸(力=广(力=/+!，则"(x)=/—4，

XX

则当X£(l,+8)时，eX>仇4<1,

所以"(力>0,即力⑴在(1,+00)上是增函数，

于是y在[1,+00)上的最小值为/z(l)=e+l.

(2)考虑函数g(x)=/(x)-即为g(x)20对任意xe[L+°0)恒成立,

且发现g⑴=0,于是g'(x)=L+e-%,

X

由⑴知：当根Ve+1时，g*(x)>0,

此时g(x)单调增，于是g(x)»g⑴=0,成立；

若m>e+l,贝ij存在fe(l,+oo)使得：

当xe(lj)时g'(x)<0,当xe时g'(x)>0,

此时g,加；g(f)<0,矛盾，综上，m<e+l.

8.【2018广西贺州桂梧高中联考】已知函数=2X)1IU-|X2+4X.

(1)若/(力在(a,a+l)上递增，求a的取值范围；

(2)证明：—4%.

【答案】(1)a=0或a'e(2)详见解析

【解析】试题分析：⑴要使“力在(a,a+1)上递增，只需/'(%)20,且不恒等于0,

所以先求得函数的增区间，(a,a+1)是增区间的子区间。(2)当x〉g时，2—4x<0,

|/'(%)|>2-4x显然成立.当0<x<g时，即证明

|/'(x)|-(2-4x)=(2x-2)(lnx-l)-2+4x>0,令

=(2x-2)(lnr-l)-2+4x(0<x<g),即求g⑴疝/。，由导数可证。

试题解析：(1)

/'(%)=(2x-2)liu+^x2-2%)--3x+4=(2x-2)lnx+2-2x=(2x-2)(liu-l),

X

令/'(%)=。,得芭=1，x2=e,

令/'(力>。,得。<%vl,或e'・•・/(x)在(0,1),(e,+8)上递增,

♦・"(x)在("M+1)上递增,1・〃=。或

(2)证明：当x〉g时，2—4xv0,>2-4x显然成立.

当0<时，g(x)=7(x)]-(2-4x)=(2%一2)(lnx-l)-2+4x,

g[x)=2hw—2+4在上递增，且g[g[=21n；—4+4=—21n2<0,

g'(x)<0,从而g(x)在(0,；上递减，,8⑺皿=g[]=l+ln2〉0，

Ag(x)>0,即|r(x)|>2-4%.

综上，|/f(x)|>2-4x.

9.12018安徽马鞍山联考】已知函数/(%)=丝X-21皿的图象在x=l处的切线过点

(0,2—2〃),々,/?£尺.

Q

⑴若〃+b=],求函数/(%)的极值点；

(2)设司,工2(%1W%2)是函数/(%)的两个极值点，若，<芯<1，证明：

|/(x2)-/(x1)|<l.(提示/«7.40)

【答案】(1)!或2；(2)证明见解析.

2

【解析】试题分析：

由题意结合导函数与原函数切线的关系可得。=6

(1)由题意可得a=Z；=g,利用导函数研究函数的极值可得了(光)的极值点为;或

2.

(2)由导函数的性质可得/(七)是函数〃尤)的极大值，是函数外力的极小

值，据此构造函数h(t}=^--lnt=l----lnt,据此可知

1—+12t+12

，则函数五⑺在上单调递减，据此可得

/(x1)-/(x2)<4A^=-i^<l.

试题解析：

...,(X)=ax-2x+b^_/，⑴=q+万—2,

X

又/⑴=7,曲线y=〃x)在％=1处的切线过点(0,2-2办

a—b—(2—2a).

------------------=a+Z?-2,ci—b.

C1);a+b=—，:.a=b=一,

55

令r(x)=O,得2/—5x+2=0,

解得x=g或2,.•./(x)的极值点为:或2.

（2）是方程r（x）=〃—=0的两个根,

X

"X,=1,4==一=一^,

玉+x2玉+1

・••/（七）是函数“X）的极大值，“尤2）是函数/（尤）的极小值，

二要证|/(尤2)—只需/(%)—/(/)<1,

/、、

f(玉)—f(%)=-------21nxi—cix2-------Zlnx?-2ax1---21nxl

x

、再、X27\\?

=4-IwC1=4

W+1国2+121)

7\

令,=%：,则与</<J,

e

S＜。，函数g）在

^h(t)=--^--—lnt=l——-——Lint,贝！Jhf(t)-

'一+12t+12v7

上单调递减,

2

"⑺<h

er+l，

8

二/（芯）-/（々）＜4/2<1.

e2+l

10.12018安徽马鞍山联考】已知函数〃x）=2（x—1）/.

（1）若函数/（可在区间（a,+8）上单调递增，求/（a）的取值范围；

（2）设函数g（x）=e*-％+0，若存在/e[l,e],使不等式g（%）2/成立，求

实数P的取值范围.

【答案】(1)[―2,+co)；(2)[―e,+co).

【解析】试题分析：

⑴由函数的解析式可得〃尤)在(0,+8)上单调递增，则/(a)的取值范围是

[-2,+8)；

(2)原问题等价于存在九°e[Le],使不等式p»(2x0-3)*成立.构造新函数

/i(x)=(2x-3)e"结合函数网对的性质可得实数p的取值范围为[-e,+8).

试题解析：

(1)由/'(x)=2xe*>0得x>0,

/(x)在(0,+co)上单调递增，a>0,.,./(«)>/(0)=-2,

/(a)的取值范围是[-2,+00).

(2)•.•存在使不等式且(左0)22(而-1)*-二成立,

二存在％e[l,e],使不等式/?>(2%0-3)^成立.

令/z(x)=(2x-3)e*,从而p>h^x^mjn(xe[1,e]),

〃(x)=(2x-l)e*,

1.1x>1,2x-1>1,ex>0,h(x)>0,

人(%)=(2%-1"”在[l,e]上单调递增，

实数p的取值范围为[-e,+8).

11.【山东省泰安市2018届学年高三上学期期末考试】已知函数/(x)=2ahw,

g(x)=/(x)+x-L

X

(1)当a=l时，求函数/(%)的曲线上点(e,/(e))处的切线方程；

(2)当aWl时，求g(x)的单调区间;

(3)若g(x)有两个极值点X1,吃，其中X]e[o,g,求g(xj-g(x2)的最小值一

9

【解析】⑴当a=l时，/(%)=23所以尸(耳=—(]>0),

X

又〃e)=2

过切点(e,/(e))的切线方程为

y=_(尤_0)+2

目n2

即：y=­x

e

(2)由题意得：g(尤)=2alnx+%——,x>0

x

,/>,2a,1x2+2ax+1

(%)=一+1+下=-----2—

XXX

令A=4Q2—4

当一1<〃<1时，g\x)>0,g(x)在(0,8)上单调递增.

②当〃〈一1时，令g'(x)>0,解得：0〈X〈-〃--1或+

令g'(x)<。,解得：-CL-y/a2-1<xv—a+J/一1

综上，当-IV。VI时，g(x)的单调增区间为(0,十动，

当av—1时，单调增区间为伙—J4一]),(—Cl+Ja2—1,+00)

单调减区间为^—(2—J4—d+_])

(3)由(2)知，g(x)=---------，x>0

由题意知，%，/是方程1+2笈+1=0的两根

%•%=1，%+%2=X2=~

2〃=一再----，••g(%)—g(%2)=g(再)—g—，=2Xj-----x1H—IrtV]

石L%Ixij_

令H(x)=2%---^x+—^Inx//'(x)=2(e_])]nx=2(l+x1(l_'^-\nx

当xe〔O,；时，

.-.H(x)在上单调递减，...”(XL="£]=201n「6

即g(%)—g(々)的最小值为2SRT6

12.12018河南漠河三模】已知函数〃x)=e*—依—1(。为常数)，曲线y=/(力在与y

轴的交点A处的切线斜率为-1.

(1)求。的值及函数y=/(x)的单调区间；

(2)若石(In2,x，ln2,且/(%)=/(羽)，试证明：xr+x2<21n2.

【答案】(1)a=2,单调递减区间为(fo』n2),单调递增区间为(ln2,+»).(2)见解析

【解析】试题分析：⑴求出函数的，f,Cx)^ex-a,由曲线y=/(x)在与y轴的焦点

A处的切线斜率为—1,解得a=2.通过/'(%)=靖-2>0,即可求解函数/(%)在区间

(-00,历2)上单调递减，在(物2,+8)上单调递增.

(2)设x>质2,构造函数g(x)=/(x)—/(2历2—左)，分别根据函数的单调性，以及

x1<ln2,x2>ln2,且/'(%)=/(々)即可证明.

试题解析：⑴由/(x)=e'—双—1,nf'(x)=ex-a,

因为曲线丁=/(x)在与y轴的焦点A处的切线斜率为-1,

所以/<0)=1—a=—l,所以a=2,

所以/(x)=e，-2x-10广(力=产-2,

由/〈1)=产一2>0,得x>ln2,

由/，(%)=产一2<0,得x<ln2,

所以函数y="%)的单调递减区间为(-oo,ln2),单调递增区间为(ln2,+oo).

(2)证明：设1>ln2,所以21n2—x<ln2,

f(21n2-x)=e21112r_2(21n2-x)-l=4+2x041n2-1,

4

令g(x)=y=ex——--4x+41n2(x>In2)

所以/(力=/+4"x—420,

当且仅当x=ln2时，等号成立，

所以g(%)=/(%)—/(21n2—x)在(ln2,-H»)上单调递增，

又g(ln2)=0,所以当x>ln2时，g(x)=/(x)-/(21n2-x)>g(ln2)=0,

即/(x)>g(21n2-x),所以/(x2)>g(21n2-x2),

又因为/(玉)=/(%)，所以/(%)>/(21n2—%)，

由于々>ln2,所以21n2-犬2<ln2,

因为Xi<ln2,由⑴知函数y=/(%)在区间(fo,ln2)上单调递增，

所以玉<21n2-x2,即再+/<21n2.

13.【北京市东城二十二中2018届高三上学期期中试卷】已知函数

/(%)=(2Y-4ov)lnx+f(a>0).

(1)当4=1时，求此函数对应的曲线在处的切线方程.

(2)求函数/(%)的单调区间.

(3)对VXE[1,+8),不等式(2x-4a)lnx>-4恒成立，求Q的取值范围.

【解析】(1)当”=1时，/(x)=(2f-4x)lnx+%2(%>0),

/(1)=1,/(%)=(4x-4)lnx+————+2x,

/'(l)=0,...切线方程y=l.

2x2-4axc

(2)/'(%)=(4x-4(2)