2024-2025学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.21.2.1命题与量词学案新人教B版必修第一册

PAGE1.2常用逻辑用语1.2.1学习任务核心素养1．理解命题的含义，并会推断其真假.2．理解全称量词与全称量词命题的定义；理解存在量词与存在量词命题的定义．3．能精确地运用全称量词和存在量词符号(即“∀，∃”)来表述相关的数学内容．(重点)4．会推断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会推断它们的真假．(重点、难点)1．通过对命题、全称量词、存在量词的理解，培育数学抽象的素养．2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算实力.德国闻名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题“随意取一奇数，可以把它写成三个质数之和，比如77,77＝53＋17＋7”，同年欧拉首先确定了哥德巴赫猜想的正确，并且认为每一个偶数都是两个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是还须要证明．这也就是当今人们称之为哥德巴赫猜想，并誉为数学皇冠上的明珠.200多年来我国闻名数学家陈景润才证明白“1＋2”即：凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一个质数，从陈景润的“1＋2”到“1＋1”在我们的日常生活中，我们经常遇到这样的命题：(1)对随意实数x，都有x2≥0；(2)存在有理数x，使x2－2＝0.问题上述命题中有哪些关键的量词？学问点一命题的概念1．下列语句是命题的有________．(填序号)①eq\f(π,3)是有理数；②3x2≤5；③梯形是不是平面图形呢？④一个数的算术平方根确定是负数．①④[①“eq\f(π,3)是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．②因为无法推断“3x2≤5”③“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．④“一个数的算术平方根确定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．]2.下列命题中，真命题是__________，假命题是________．(填序号)(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x＝4时，2x＋1＜0；(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(4)一个正整数不是素数就是合数；(5)若x∈N，则x2＋4x＋7＞0.(1)(3)(5)(2)(4)[(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题，x＝4不满意2x＋1＜0.(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(4)是假命题，由于整数1既不是素数，也不是合数．(5)是真命题，因为当x∈N时，x2＋4x＋7＞0恒成立，所以该语句是命题，且是真命题．]学问点二全称量词和存在量词全称量词存在量词量词随意、全部、每一个存在、有、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题称为全称量词命题含有存在量词的命题称为存在量词命题命题形式“对集合M中全部元素x，r(x)”，可用符号简记为“∀x∈M，r(x)”“存在集合M中的元素x，s(x)”，可用符号简记为“∃x∈M，s(x)”“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．[提示]是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”3.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)全称量词命题是陈述某集合中全部元素都具有某种性质的命题． ()(2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题． ()(3)全称量词命题确定含有全称量词． ()[答案](1)√(2)√(3)×[提示]有些命题虽然没有写出全称量词，但其意义具备“随意性”，这类命题也是全称量词命题，如“正数大于0”，即“全部正数都大于04.下列命题中，全称量词命题的个数为()①平行四边形的对角线相互平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0B．1C．2D．3C[①②是全称量词命题，③是存在量词命题．]类型1命题与真假命题的推断【例1】推断下列语句是不是命题？若是，推断其真假，并说明理由．(1)奇数的平方仍是奇数；(2)两条对角线相互垂直的四边形是菱形；(3)5x＞4x；(4)将来是多么美妙啊！(5)你是高二的学生吗？(6)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数．[解](1)是命题，而且是真命题．(2)是命题，而且是假命题．对角线相互垂直平分的四边形才是菱形．如图，四边形ABCD中，只满意AC⊥BD，明显不是菱形．(3)不是命题．因为x是未知数，不能推断不等式的真假．(4)是感叹句，不涉及真假，不是命题．(5)是疑问句，不涉及真假，不是命题．(6)是命题，而且是假命题．如x＝eq\r(2)，y＝－eq\r(2)，x＋y＝0是有理数，而x，y都是无理数．怎样推断一个语句是不是命题？怎样推断一个命题的真假？[提示](1)推断一个语句是不是命题，关键看这个语句是否具备命题的两个特征：一是陈述句，二是能推断真假．(2)在说明一个命题为真命题时，应进行严格的推理证明；而要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．eq\o([跟进训练])1．下列语句是不是命题？若是，推断其真假，并说明理由．(1)一个数不是合数就是质数．(2)x≥16.(3)一个实数不是正数就是负数．(4)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根．(5)空集是任何非空集合的真子集．[解](1)是假命题．例如：1既不是质数也不是合数．(2)不是命题．因为没有给定变量x的值，无法确定其真假．(3)是假命题．因为0既不是正数也不是负数．(4)是真命题．代入验证即可．(5)是真命题．由空集的定义和性质不难得出．类型2全称量词命题与存在量词命题全称量词命题与存在量词命题的识别【例2】推断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的速度方向不定；(3)对随意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin∠A＝cos∠B．[解](1)可以改写为“全部的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．(3)含有全称量词“随意”，故是全称量词命题．全称量词命题与存在量词命题的真假的推断【例3】推断下列命题的真假．(1)全部的素数都是奇数；(2)随意矩形的对角线相等；(3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.[解](1)2是素数，但2不是奇数．所以全称量词命题“全部的素数都是奇数”是假命题．(2)真命题．(3)由于随意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”全称量词命题和存在量词命题真假的推断(1)要推断一个全称量词命题为真，必需对于给定集合的每一个元素x，都有命题r(x)成立；但要推断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x0，使命题r(x0)不成马上可．(2)要推断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x0，使命题s(x0)成马上可；要推断一个存在量词命题为假，须要说明集合中每一个x，都使s(x)不成立．eq\o([跟进训练])2．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并推断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x∈R，使eq\f(1,x－1)＝0.[解](1)是全称量词命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使eq\f(1,x－1)＝0成立，所以该命题是假命题．类型3依据含量词命题的真假求参数取值范围【例4】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；(2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．[解](1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，又B≠∅，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.即m的取值范围是{m|2≤m≤3}．(2)q为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤5或2m－1≥－2，,m≥2.))解得2≤m≤4.即m的取值范围是{m|2≤m≤4}．求解含有量词的命题中参数范围的策略对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值)．eq\o([跟进训练])3．已知命题p：∀x∈R，函数y＝ax2＋2x＋3的图像总在x轴上方是真命题，求实数a的取值范围．[解]命题p为真命题，①当a＝0时，一次函数y＝2x＋3的图像总在x轴上方，明显不能恒成立；②当a≠0时，由二次函数y＝ax2＋2x＋3的图像总在x轴上方，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝22－4×a×3＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,a＞\f(1,3)，))∴a＞eq\f(1,3).综上，a的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞\f(1,3)))))..1．下列语句不是命题的有()①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<7.A．0个B．1个C．2个D．3个B[①③是可以推断真假的陈述句，是命题；②不能推断真假，不是命题．故选B．]2．下列命题是存在量词命题的是()A．对顶角相等B．正方形都是四边形C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于1D[选项D中含有存在量词“存在”，所以依据存在量词命题的定义知选D．]3．(多选题)下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是()A．至少有一个x∈Z，使得x2＜3成立B．对随意a，b∈R，都有a2＋b2≥2(a＋b－1)C．平行四边形的对角线相互平分D．菱形的两条对角线长度相等BC[选项A：因为02＜3,0∈Z，所以至少有一个x∈Z，使得x2＜3成立，是真命题，但不是全部的x∈Z，都有x2＜3成立，不是全称量词命题；选项B：∵a2＋b2－2(a＋b－1)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，∴本命题是真命题，又因为a，b∈R都使命题成立，故本命题符合题意；选项C：是真命题，是全称量词命题；选项D：并不是全部的菱形对角线长度都相等，故本命题是假命题．故选BC．]4．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若x，y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________．①③[①是真命题；②平行四边形不是梯形，假命题；③是真命题．]5．已知命题p：“∃x∈R，关于x的一元二次方程x2－2eq\r(3)x＋m＝0有实数根”是真命题，则实数m的取值范围是________．(－∞，3][因为关于x的一元二次方程x2－2eq\r(3)x＋m＝0有实数根，所以Δ＝(－2eq\r(3))2－4m≥0，解得m≤3，所以实数m的取值范围是(－∞，3]．]回顾本节学问，自我完成以下问题：1．如何推断全称量词命题与存在量词命题？[提示