数学教案：空间中的平行关系平行直线

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o（\s\up7（），\s\do5(整体设计))教学分析教材类比初中平面几何知识得到基本性质4。直接给出了定理并加以证明．值得注意的是教学的重点是基本性质4和定理的应用,即平行直线的判定．三维目标1．掌握基本性质4和等角定理，提高类比和抽象思维能力．2．掌握空间四边形的概念，培养学生空间想象能力．重点难点教学重点:基本性质4和等角定理．教学难点：证明等角定理．课时安排1课时eq\o（\s\up7(）,\s\do5(教学过程))导入新课设计1.前面我们学习了平面的基本性质-—三个公理及其推论，讨论了公理及其推论的作用，并且对性质公理及其推论的简单应用进行了研究—-共面问题的证明、点共线问题的证明、线共点问题的证明,通过具体问题与平面几何知识对照、类比，揭示了三类问题的证明思路、方法与步骤，这些内容是立体几何的基础，我们大家应予以足够的重视．从这节课开始，我们来研究平行直线（板书课题）．设计2.平行与垂直是空间点、直线、平面的位置关系中最重要的情况，在现实生活中，平行与垂直的情形也时常见到，教师点出课题．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究））eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出问题)）eq\a\vs4\al(1回顾平行线的定义和有关定理。，2在平面内,平行于同一条直线的两条直线平行，那么在空间中呢？)(3)在平面内，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(如下图，AO∥A′O′，BO∥B′O′，∠AOB和∠A′O′B′相等，或∠AOB和∠A′O′B′互补．)在空间中呢?(4）阅读教材，给出空间四边形的概念．讨论结果：（1）在初中几何中，我们把在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，还学过平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．（2)基本性质4平行于同一条直线的两条直线互相平行．即,如果直线a∥b,c∥b，那么a∥c（下图)．上述基本性质通常又叫做空间平行线的传递性．（3）定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同，那么这两个角相等．已知如下图所示，∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′,AC∥A′C′,且射线AB与A′B′同向，射线AC与A′C′同向．求证：∠BAC＝∠B′A′C′。证明：对于∠BAC和∠B′A′C′在同一平面内的情形，用初中所学的知识容易证明．下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在∠BAC的两边和∠B′A′C′的两边上截取线段AD，AE和A′D′，A′E′，使AD＝A′D′,AE＝A′E′.因为ADA′D′，所以AA′D′D是平行四边形．可得AA′DD′.同理可得AA′EE′.于是DD′EE′.因此DD′E′E是平行四边形．可得DE＝D′E′.于是△ADE≌△A′D′E′。因此∠BAC＝∠B′A′C′。(4）如下图（1)所示，顺次连结不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点;所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．例如，下图(2)中的四边形可以表示为空间四边形ABCD，线段AC,BD是它的对角线．图（1)图(2)eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（应用示例）)思路1例1已知：如下图，空间四边形ABCD中，E,F，G,H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：在△ABD中，因为E，H分别是AB,AD的中点，所以EH∥BD,EH＝eq\f（1，2）BD。同理，FG∥BD,且FG＝eq\f(1，2)BD.所以EH∥FG，EH＝FG。所以四边形EFGH是平行四边形．点评:证明平行四边形常用方法:对边平行且相等；对边分别平行；对角线相交且平分．要注意：对边相等的四边形不一定是平行四边形．变式训练空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC＝BD.求证:四边形EFGH是菱形．证明：连结EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD,且EH＝eq\f(1,2)BD.同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG＝eq\f(1,2)BD,EF＝eq\f（1，2)AC。所以EH∥FG，且EH＝FG.所以四边形EFGH为平行四边形．因为AC＝BD，所以EF＝EH.所以四边形EFGH为菱形．思路2例2在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点．求证:EB1∥DF,ED∥B1F。证明：如下图,设G是DD1的中点，分别连结EG，GC1。∵EGA1D1，B1C1A1D1，∴EGB1C1.∴四边形EB1C1G是平行四边形．∴EB1GC1.同理，可证DFGC1。∴EB1DF。∴四边形EB1FD是平行四边形．∴ED∥B1F。变式训练正方体AC1中，E、F分别在棱AA1和CC1上,且AE＝C1F。求证：四边形EBFD1是平行四边形．证明:如下图所示,在直线BB1上取一点G,使B1G＝AE，连结A1G,FG,∵B1G＝AE,∴A1E＝BG。又∵A1E∥BG，∴四边形A1EBG是平行四边形．∴EBA1G。同理，四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1GD1F。∴EBD1F.(公理4)∴四边形EBFD1是平行四边形．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能训练)）1．如下图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG，CD）＝eq\f（2,3).求证：四边形EFGH是梯形．分析：要证明四边形EFGH有一组对边平行且不相等,先要考虑哪一组对边有平行的可能,由于E、H分别是AB、AD的中点，F、G实质上分别是CB、CD的三等分点，连结BD，问题就变得明了了．证明：连结BD，∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH是△ABD的中位线．∴EH∥BD,EH＝eq\f（1，2)BD。又在△CBD中，eq\f（CF，CB）＝eq\f（CG,CD)＝eq\f(2，3）,∴FG∥BD，FG＝eq\f(2,3)BD.根据公理4，EH∥FG.又FG>EH，∴四边形EFGH是梯形．2．如下图，P是△ABC所在平面外一点,点D、E分别是△PAB和△PBC的重心．求证:DE∥AC，DE＝eq\f（1，3）AC.分析：由点D、E分别是△PAB、△PBC的重心，想到连结PD、PE，并延长与AB和BC分别相交，从而构造三角形，充分利用重心的性质及三角形中位线定理．证明：连结PD、PE并延长分别交AB、BC于点M、N，∵点D、E分别是△PAB、△PBC的重心，∴M、N分别是AB、BC的中点．连结MN，则MN∥AC，且MN＝eq\f(1,2）AC。①在△PMN中，∵eq\f（PD，PM)＝eq\f(PE,PN)＝eq\f(2，3），∴DE∥MN，且DE＝eq\f(2,3)MN。②由①②根据公理4，得DE∥AC，且DE＝eq\f（2，3)MN＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2）AC＝eq\f（1,3)AC。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(拓展提升）)已知空间四边形ABCD，P、Q、R、S分别是线段AB、BC、CD、DA上的点，试找到P、Q、R、S的合适位置和四边形ABCD所具备的条件，使得四边形PQRS恰好为一个菱形，并证明你的结论．解:取P、Q、R、S分别为线段AB、BC、CD、DA的中点，且使四边形ABCD满足AC＝BD，可得四边形PQRS为菱形．证明如下，如下图所示．∵P、Q为AB、BC的中点,∴PQeq\f(1,2）AC，同理RSeq\f（1,2）AC∴四边形PQRS是平行四边形，又PSeq\f（1，2）BD，RQeq\f（1,2)BD，AC＝BD，∴PS＝PQ，∴四边形PQRS是菱形．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\