新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)专题01集合必刷100题(原卷版+解析)

专题01集合必刷100题任务一:善良模式(基础)1-50题一、单选题1．（2021·江苏省泰兴中学高三期中）设全集，集合，，则为（）A． B．或C．或 D．2．（2021·山东烟台·高三期中）设集合，，则（）A． B． C． D．3．（2021·全国·高三期中）已知集合，，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．（2021·山东德州·高三期中）已知全集，若集合，集合，则（）A． B．C． D．或5．（2021·山西怀仁·高三期中（文））已知集合，，则（）A． B． C． D．R6．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知：全集，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是（）A． B．C． D．7．（2021·全国·高三月考）已知集合，则（）A． B． C． D．8．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））如图所示的韦恩图中，已知A，B是非空集合，定义表示阴影部分的集合.若，，则（）A． B． C． D．9．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知、，若，则的值为（）A． B．0 C． D．或10．（2021·浙江金华·高三月考）已知集合，，则（）A． B． C． D．11．（2021·河北石家庄·高三月考）已知集合，集合，则集合的真子集的个数为（）A． B． C． D．12．（2021·重庆市涪陵实验中学校高三期中）已知集合，，且、都是全集的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）A． B．或C． D．13．（2021·辽宁·沈阳市翔宇中学高三月考）已知集合，，则=（）A． B． C． D．14．（2021·湖北·高三期中）设集合，，则（）A． B．C． D．15．（2021·江苏如皋·高三月考）已知集合，，则（）A． B． C．M D．N16．（2021·四川成都·高三月考（理））已知集合，，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．17．（2021·河南·高三月考（文））已知集合，，则（）A． B． C． D．18．（2021·江苏高邮·高三月考）已知，且的定义域为，，值域为，，设函数的定义域为､值域为，则（）A． B．， C．， D．，19．（2022·全国·高三专题练习）已知全集，，，则（）A． B．C． D．20．（2021·河北省唐县第一中学高三月考）下列集合中表示同一集合的是（）A．， B．，C．， D．，21．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（文））下列各式中，与表示同一集合的是（）A． B．C． D．22．（2021·江苏省阜宁中学高三月考）设全集为，非空真子集，，满足：，，则（）A． B．C． D．23．（2021·广东·深圳市第七高级中学高三月考）设集合，，则韦恩图中阴影部分表示的集合是（）A． B． C． D．24．（2022·全国·高三专题练习）已知集合M={1，2，(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i}，N={-1，3}，且M∩N={3}，则实数m的值为（）A．4 B．-1C．-1或4 D．-1或625．（2021·河南·高三月考（文））已知集合，，则()A． B． C． D．26．（2021·全国·高三月考（理））已知集合，，则（）A． B． C． D．27．（2021·全国·模拟预测（理））设集合，，则（）A． B．C． D．28．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））设是非空集合，定义：且且.已知，则（）A． B． C． D．29．（2021·全国·高三月考）已知集合，，，则（）A． B．C． D．30．（2021·陕西·西安中学高三期中）设集合，，且，则取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题31．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知集合，集合，集合，则（）A． B．C． D．32．（2020·全国·高三专题练习）给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（）A．集合为闭集合B．正整数集是闭集合C．集合为闭集合D．若集合为闭集合，则为闭集合33．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，，，则下列选项中，满足的实数的取值范围可以是（）A． B．或 C． D．34．（2021·河北·藁城新冀明中学高三期末）已知集合，，若，则可以等于（）A．1 B．2 C． D．335．（2021·山东潍坊·高三期末）设全集为，如图所示的阴影部分用集合可表示为（）A． B． C． D．36．（2022·全国·高三专题练习）设不大于的最大整数为，如．已知集合，，则（）A． B．C． D．37．（2021·山东·高三专题练习）已知集合，集合，则（）A． B． C． D．38．（2021·湖南·长沙一中高三月考）已知集合，，则（）A． B．C． D．39．（2020·全国·高三专题练习）已知集合，，且，则实数m的值可以为（）A．1 B．-1 C．2 D．0 E.-240．（2020·江苏·东海县石榴高级中学高三月考）设集合，，若实数，则的值可以是A．1 B． C．0.5 D．1.5第II卷（非选择题）三、填空题41．（2022·上海·高三专题练习）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________42．（2020·上海市嘉定区第二中学高三期中）若集合，则________.43．（2021·上海市敬业中学高三月考）已知全集，集合，则_________.44．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，若，则的取值范围是________.45．（2022·全国·高三专题练习）集合满足，则集合的个数有________个.46．（2020·上海崇明·高三月考）对于集合、，定义运算且，若，，则__________.47．（2020·上海市行知中学高三开学考试）若，，且，则实数的取值范围是_________.48．（2020·上海·模拟预测）已知集合，，则______．49．（2021·江苏·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是______．50．（2021·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则_________（用区间表达）．任务二:中立模式(中档)1-30题一、单选题1．（2021·全国·高三专题练习（理））设集合A＝，集合B＝.则AB＝（）A． B．C． D．R2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，若且集合中恰有2个元素，则满足条件的集合的个数为（）．A．1 B．3 C．6 D．103．（2022·全国·高三专题练习）设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①，②若，则且，那么称F是U的一个环，下列说法错误的是（）A．若，则是U的一个环B．若，则存在U的一个环F，F含有8个元素C．若，则存在U的一个环F，F含有4个元素且D．若，则存在U的一个环F，F含有7个元素且4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.若，则实数（）A．-3 B． C． D．35．（2021·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为（）A． B． C． D．6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.若，则实数（）A．3 B． C．3或 D．或17．（2020·天津·南开中学模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（）A．没有最大元素，有一个最小元素B．没有最大元素，也没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素D．有一个最大元素，没有最小元素8．（2021·全国·高三专题练习）已知，，若，则a的取值范围是（）.A． B．或C．或 D．以上答案都不对9．（2021·山西长治·高三月考（理））集合，集合，则（）A． B． C． D．10．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三月考（理））设是全集，若，则下列关系式一定正确的是（）A． B．C． D．11．（2021·全国·高三专题练习）已知集合若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．12．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，，，则（）A． B． C． D．13．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若集合，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．14．（2021·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（）A． B．C．或 D．15．（2020·上海市松江二中高三月考）函数，则集合元素的个数有（）A．个 B．个 C．个 D．个16．（2021·全国·模拟预测）已知集合}，则集合中元素的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．917．（2021·江苏·模拟预测）已知集合，集合，则（）A． B． C． D．18．（2021·全国·高三专题练习），则的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题19．（2021·广东·普宁市普师高级中学高三月考）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则的取值有（）A． B． C．0 D．120．（2021·全国·高三专题练习）定义，且，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是（）A． B．C． D．21．（2021·全国·高三专题练习）设全集为，下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则或C．若，则 D．若，则22．（2020·全国·高三专题练习）若集合，，则正确的结论有（）A． B．C． D．23．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．24．（2020·上海市大同中学高三月考）（多选）集合，，下列说法正确的是（）A．对任意，是的子集 B．对任意，不是的子集C．存在，使得不是的子集 D．存在，使得是的子集第II卷（非选择题）三、填空题25．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知关于的不等式的解集为，则当，且时，实数的取值范围是___________.26．（2021·福建省厦门第二中学高三月考）若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.27．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，A＝{x|t≤x≤t+1}，B＝{x||f(x)|≥1}，若集合A∩B只含有一个元素，则实数t的取值范围是____．28．（2021·上海·上外浦东附中高三月考）设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则_______．29．（2021·上海市七宝中学高三月考）函数，记集合，集．若，且A、B都不是空集，则的取值范围是________．30．（2020·上海·南汇县泥城中学高三月考）已知集合，，若，则___________；任务三:邪恶模式(困难)1-20题一、单选题1．（2021·上海杨浦·高三期中）非空集合，且满足如下性质：性质一：若，，则；性质二：若，则.则称集合为一个“群”以下叙述正确的个数为（）①若为一个“群”，则必为无限集；②若为一个“群”，且，，则；③若，都是“群”，则必定是“群”；④若，都是“群”，且，，则必定不是“群”；A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件：①，，有②如，，，有；③在中有一个元素，对，都有，称为的单位元；④，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元．此时称（，*）为一个群．例如实数集和实数集上的加法运算“”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（）A．，则为一个群B．，则为一个群C．，则为一个群D．{平面向量}，则为一个群3．（2022·上海·高三专题练习）设集合，，，，其中，下列说法正确的是（）A．对任意，是的子集，对任意的，不是的子集B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集C．存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集4．（2022·浙江·高三专题练习）设，其中，，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（）A． B． C． D．5．（2021·福建·福州四中高三月考）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（）A．0 B．1 C．2 D．36．（2020·陕西·长安一中高三月考（文））在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2021·全国·高三专题练习（理））在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，2，3，4，5给出以下五个结论：①；②；③“整数、属于同一“类””的充要条件是“”；④“整数、满足，”的充要条件是“”，则上述结论中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2021·浙江·路桥中学模拟预测）设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则，②对任意，若，则，下列说法正确的是（）A．若有2个元素，则有3个元素B．若有2个元素，则有4个元素C．存在3个元素的集合，满足有5个元素D．存在3个元素的集合，满足有4个元素9．（2021·广东番禺中学高一期中）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”．规定与是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（）A．4 B．6 C．8 D．910．（2020·上海奉贤·高一期中）对于区间内任意两个正整数，，定义某种运算“*”如下：当，都是正偶数时，；当，都为正奇数时，，则在此定义下，集合中元素个数是（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个11．（2021·全国·高三专题练习）设是直角坐标平面上的任意点集，定义，，．若，则称点集“关于运算对称”．给定点集，，，其中“关于运算*对称”的点集个数为（）A． B． C． D．12．（2021·黑龙江·哈师大附中高一月考）设集合X是实数集R的子集，如果点R满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合X的聚点．则在下列集合中，以0为聚点的集合是（）A． B．C． D．整数集Z二、多选题13．（2020·广东广雅中学高三月考）设整数，集合.令集合，且三条件恰有一个成立，若和都在中，则下列选项不正确的是（）A．， B．，C．， D．，14．（2021·河北·石家庄二中高三月考）若集合具有以下性质：（1），；（2）若、，则，且时，.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（）A．集合是“完美集”B．有理数集是“完美集”C．设集合是“完美集”，、，则D．设集合是“完美集”，若、且，则15．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若非空数集满足任意，都有，，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（）A．是优集 B．是优集C．若是优集，则或 D．若是优集，则是优集16．（2020·山东·高三专题练习）已知集合,若对于,,使得成立,则称集合M是“互垂点集”.给出下列四个集合:;;;.其中是“互垂点集”集合的为()A． B． C． D．第II卷（非选择题）三、填空题17．（2021·上海市进才中学高三期中）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合，设，，若方程至少有六组不同的解，则实数k的所有可能取值是_________.18．（2021·北京·高三开学考试）记正方体的八个顶点组成的集合为.若集合，满足，，，使得直线，则称是的“保垂直”子集.给出下列三个结论：①集合是的“保垂直”子集；②集合的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集；③若是的“保垂直”子集，且中含有5个元素，则中一定有4个点共面.其中所有正确结论的序号是______.19．（2021·江苏扬州·模拟预测）对于有限数列，定义集合，，其中且，若，则的所有元素之和为___________.20．（2021·北京东城·一模）设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题：①若A具有性质P，则A可以是有限集；②若具有性质P，且，则具有性质P；③若具有性质P，则具有性质P；④若A具有性质P，且，则不具有性质P.其中所有真命题的序号是___________.专题01集合必刷100题任务一:善良模式(基础)1-50题一、单选题1．（2021·江苏省泰兴中学高三期中）设全集，集合，，则为（）A． B．或C．或 D．【答案】D【分析】解不等式求出集合，，再求与的并集，然后计算补集即可求解.【详解】因为，，所以，所以，故选：D．2．（2021·山东烟台·高三期中）设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，求出集合，再由交集与补集的定义求解即可.【详解】由题意，或，则，故.故选：A.3．（2021·全国·高三期中）已知集合，，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合，再由集合的运算结果列不等式即可求解.【详解】由题意得，，因为，所以，所以，故选：B.4．（2021·山东德州·高三期中）已知全集，若集合，集合，则（）A． B．C． D．或【答案】B【分析】将集合结合一元二次不等式，对数不等式化简，再由集合的交并补概念求解.【详解】由，由，故，，则.故选：B5．（2021·山西怀仁·高三期中（文））已知集合，，则（）A． B． C． D．R【答案】A【分析】先解一元二次不等式得集合A，解分式不等式得集合B，再根据交集定义得结果.【详解】，或，所以故选：A.6．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知：全集，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】解出集合中对应的不等式，然后可得答案.【详解】因为，所以图中阴影部分表示的集合是故选：A7．（2021·全国·高三月考）已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求解两个集合，再求集合的交集.【详解】由得所以集合．由，得，解得，所以集合，所以.故选：B．8．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））如图所示的韦恩图中，已知A，B是非空集合，定义表示阴影部分的集合.若，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据韦恩图分析出表示的含义，再根据集合间的运算关系求出答案即可【详解】由韦恩图可得，因为，，所以，所以=故选：D9．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知、，若，则的值为（）A． B．0 C． D．或【答案】C【分析】根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解.【详解】由且，则，∴，于是，解得或,根据集合中元素的互异性可知应舍去，因此，,故．故选：C.10．（2021·浙江金华·高三月考）已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合交集和补集运算直接求解即可.【详解】由可得或，则.故选：C11．（2021·河北石家庄·高三月考）已知集合，集合，则集合的真子集的个数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用数形结合法得到圆与直线的交点个数，得到集合的元素个数求解.【详解】如图所示：，集合有3个元素，所以集合的真子集的个数为7，故选：C12．（2021·重庆市涪陵实验中学校高三期中）已知集合，，且、都是全集的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）A． B．或C． D．【答案】C【分析】解不等式求出集合，再计算即可求解.【详解】，或，由图知阴影部分所表示的集合为，故选：C.13．（2021·辽宁·沈阳市翔宇中学高三月考）已知集合，，则=（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求解集合A中函数的定义域，可得，利用交集的定义即得解【详解】由题意，集合，由交集的定义故选：C14．（2021·湖北·高三期中）设集合，，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】解对数不等式得集合A，解分式不等式得集合B，再根据交集的定义即可计算作答.【详解】由得，即，由得，解得，即，于是得.故选：D15．（2021·江苏如皋·高三月考）已知集合，，则（）A． B． C．M D．N【答案】C【分析】先求得集合，结合集合并集的概念及运算，即可求解.【详解】由不等式，可得，即集合，又由，所以.故选：C.16．（2021·四川成都·高三月考（理））已知集合，，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别求得集合，然后根据集合之间的关系判断即可.【详解】由题可知：，所以可知是的真子集，可知，A,B,C均错，D正确.故选：D17．（2021·河南·高三月考（文））已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数在上的值域得集合A，再按交集运算求解即得.【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，于是得在上的值域是，则，而，所以.故选：A18．（2021·江苏高邮·高三月考）已知，且的定义域为，，值域为，，设函数的定义域为､值域为，则（）A． B．， C．， D．，【答案】C【分析】根据复合抽象函数定义域，值域的求法求出函数的定义域和值域，再根据交集的运算解出．【详解】因为，且的定义域为，，值域为，，则的定义域为，，值域为，，由得，所以的定义域为，，值域为，，则，，，，所以.故选：C.19．（2022·全国·高三专题练习）已知全集，，，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式求出集合，，再进行交并补运算即可求解.【详解】因为，所以或，因为，所以或，所以，，所以，故选：C.20．（2021·河北省唐县第一中学高三月考）下列集合中表示同一集合的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得.【详解】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误；对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误；对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误；对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确.故选：D.21．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（文））下列各式中，与表示同一集合的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用集合相等的定义判断.【详解】A.表示点的集合，表示点的集合，故错误；B.的元素是1,2，的元素是1,2，故正确；C.的元素是0，没有元素，故错误；D.因为，，故错误；故选：B22．（2021·江苏省阜宁中学高三月考）设全集为，非空真子集，，满足：，，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，可知和，结合Venn图一一判断即可.【详解】由，可知，又因，得.对于选项AB，由题意可知，集合，都是集合的子集，但是它们两个的关系无法确定，因此AB都错；对于选项C，由，可知，故C错误；对于选项D，由和，知，又因集合是全集的非空真子集，故，所以D正确.故选：D.23．（2021·广东·深圳市第七高级中学高三月考）设集合，，则韦恩图中阴影部分表示的集合是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据韦恩图中阴影部分，应用集合运算法则计算．【详解】阴影部分为．故选：C．24．（2022·全国·高三专题练习）已知集合M={1，2，(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i}，N={-1，3}，且M∩N={3}，则实数m的值为（）A．4 B．-1C．-1或4 D．-1或6【答案】B【分析】根据已知得，从而有，再利用复数相等可得方程组，即可得到答案；【详解】由于,故,必有,所以即得.故选：B25．（2021·河南·高三月考（文））已知集合，，则()A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用一元二次不等式和求解集合，然后利用函数定义域求解集合，然后通过集合间的并运算即可求解.【详解】由，得，又因为，故，由的定义域知，，即，故，所以.故选:A.26．（2021·全国·高三月考（理））已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合交集运算，即可求解.【详解】解:，.故选：B27．（2021·全国·模拟预测（理））设集合，，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式得集合M，求函数定义域得集合N，然后求M与N的交集即可.【详解】依题意，解不等式得：，则，由知：，解得，则，于是得，所以.故选：C28．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））设是非空集合，定义：且且.已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出集合A，B，C，再根据集合的新定义运算即可得出答案.【详解】解：或，，，所以.故选：A.29．（2021·全国·高三月考）已知集合，，，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函数定义域得集合A，求出函数在上的值域得集合B，再按给定运算计算即得.【详解】依题意，集合，又函数在上单调递减，当时，，当时，，于是得集合，则，所以.故选：A30．（2021·陕西·西安中学高三期中）设集合，，且，则取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由和题干信息可判断，分和求解.【详解】因为，，且，所以，当时，；当时，，综上所述，.故选：D二、多选题31．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知集合，集合，集合，则（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先求出集A，B，D，再逐个分析判断即可【详解】由，得，所以，由，得且，得或，所以或，由，得，所以，对于A，，所以A错误，对于B，，所以B正确，对于C，因为或，所以，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，因为或，所以，所以D正确，故选：BCD32．（2020·全国·高三专题练习）给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（）A．集合为闭集合B．正整数集是闭集合C．集合为闭集合D．若集合为闭集合，则为闭集合【答案】ABD【分析】根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．【详解】选项A：当集合时，，而，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设是任意的两个正整数，则，当时，是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；选项C：当时，设，则，所以集合M是闭集合，C选项正确；选项D：设，由C可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，D选项错误．故选：ABD．33．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，，，则下列选项中，满足的实数的取值范围可以是（）A． B．或 C． D．【答案】CD【分析】根据可得或，解不等式可以得到实数的取值范围，然后结合选项即可得出结果.【详解】集合，，，，满足，或，解得或，实数的取值范围可以是或，结合选项可得CD符合.故选：CD.34．（2021·河北·藁城新冀明中学高三期末）已知集合，，若，则可以等于（）A．1 B．2 C． D．3【答案】AB【分析】先化简集合Q，再根据求解.【详解】因为，且，所以m=1或2，故选：AB35．（2021·山东潍坊·高三期末）设全集为，如图所示的阴影部分用集合可表示为（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据集合与运算，依次讨论各选项即可得答案.【详解】如图，可以将图中的位置分成四个区域，分别标记为四个区域对于A选项，显然表示区域3，故不正确；对于B选项，表示区域1和4与4的公共部分，故满足条件；对于C选项，表示区域1,2,4与区域4的公共部分，故满足；对于D选项，表示区域1和4与区域4的并集，故不正确；故选：BC36．（2022·全国·高三专题练习）设不大于的最大整数为，如．已知集合，，则（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用的性质化简集合，再利用集合交集与并集的定义求解即可.【详解】，因为，所以，，，∵，∴，故选：AD.【点睛】遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.37．（2021·山东·高三专题练习）已知集合，集合，则（）A． B． C． D．【答案】BD【分析】对两个集合中的元素所具有的性质分别化简，使其都是含有相同的分母表达式，再比较分子可得答案.【详解】由题意可知：，集合，代表所有的偶数，代表所有的整数，所以，即．故选：BD．【点睛】本题考查两个集合之间的基本关系，要求对集合中的元素所具有的性质能进行化简.38．（2021·湖南·长沙一中高三月考）已知集合，，则（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】先化简集合，再结合集合关系包含与集合运算法则知识对各选项逐一分析即可.【详解】因为，解不等式得，又因为.对于A，由题意得，故A错误；对于B，由上已证可知B正确；对于C，，故C正确；对于D，因为，所以，故D错误；故选:BC39．（2020·全国·高三专题练习）已知集合，，且，则实数m的值可以为（）A．1 B．-1 C．2 D．0 E.-2【答案】ABD【分析】由，得，按，分类讨论，求得m的值即可.【详解】因为，所以，.当时，，符合题意；当时，，所以或，解得或．所以m的值为1或-1或0．故选ABD．【点睛】本题考查的是集合的包含关系判断以及应用问题，集合元素的特性、分类讨论以及问题转化的思想，属于基础题.40．（2020·江苏·东海县石榴高级中学高三月考）设集合，，若实数，则的值可以是A．1 B． C．0.5 D．1.5【答案】AC【分析】首先求出集合、，再根据交集的定义求出，从而判断可得；【详解】解：因为，所以，所以所以，故选：AC【点睛】本题考查一元二次不等式、对数不等式的解法，交集的运算，以及元素与集合的关系，属于基础题.第II卷（非选择题）三、填空题41．（2022·上海·高三专题练习）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________【答案】【分析】把不等式转化为，转化为，结合二次函数与一次函数的图象，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，不等式且，即，令，所以，所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，而一次函数，图象是过一定点的动直线，作出函数和的图象，如图所示，其中，又因为，结合图象，要使得集合中有且只有一个元素，可得，即，解得.即正实数的取值范围是.故答案为：.42．（2020·上海市嘉定区第二中学高三期中）若集合，则________.【答案】【分析】分别求出集合再求交集即可.【详解】∵，，∴,故答案为：.43．（2021·上海市敬业中学高三月考）已知全集，集合，则_________.【答案】【分析】先求得集合，再根据集合补集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，根据集合的补集的概念及运算，可得.故答案为：.44．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，若，则的取值范围是________.【答案】．【分析】先化简确定集合A，再根据分和两种情况进行讨论，最后解不等式确定m的取值范围．【详解】解：因为，所以，因为，所以是的子集，当时，则，解得，符合题意；当时，则，解得，符合题意；综上所述，m的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数范围，还考查分类讨论思想的应用，是基础题．45．（2022·全国·高三专题练习）集合满足，则集合的个数有________个.【答案】3【分析】根据题意先求出所有的集合，再确定个数即可.【详解】解：因为，所以，所以，，，所以集合的个数有3个.故答案为：3【点睛】本题考查含有特定元素的子集个数，是基础题.46．（2020·上海崇明·高三月考）对于集合、，定义运算且，若，，则__________.【答案】【分析】利用新定义和交集的定义可求出集合.【详解】，，则，根据题中定义可得.故答案为.【点睛】本题考查集合运算，同时也考查了集合中的新定义，考查计算能力，属于基础题.47．（2020·上海市行知中学高三开学考试）若，，且，则实数的取值范围是_________.【答案】【分析】先求出集合中不等式的解集，再由列不等式组求解即可.【详解】解：由已知，，当时，，解得当时，，解得，综合得.故答案为：【点睛】本题考查集合的包含关系，考查分类讨论的思想，是基础题.48．（2020·上海·模拟预测）已知集合，，则______．【答案】【分析】先解对数不等式和分式不等式求得集合A、B，再根据交集定义求得结果.【详解】因为，，所以，故答案为：.【点睛】本题考查对数不等式和分式不等式的解法以及交集定义，属于基础题.49．（2021·江苏·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】先求出集合A，在根据包含关系列出不等式即可求出.【详解】可得，，，解得.故答案为：.50．（2021·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则_________（用区间表达）．【答案】【分析】利用对数函数的性质和指数函数的性质解出集合和，然后根据集合性质求解即可求解【详解】，故符合，得，得到；；故答案为：任务二:中立模式(中档)1-30题一、单选题1．（2021·全国·高三专题练习（理））设集合A＝，集合B＝.则AB＝（）A． B．C． D．R【答案】D【分析】求定义域确定集合，根据函数的单调性得集合，再由集合的运算计算．【详解】由得，所以，，时，，，，由勾形函数知在上递减，在上递增，时，，时，，时，，所以，所以，即，，所以．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题考查集合的综合运算，解题关键是确定集合的元素，解题时需要根据集合中代表元的属性进行求解．集合是求函数的定义域，集合求函数的值域，函数式化简后由单调性确定值域．2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，若且集合中恰有2个元素，则满足条件的集合的个数为（）．A．1 B．3 C．6 D．10【答案】B【分析】将方程平方整理得，再根据判别式得，故，再依次检验得，最后根据集合关系即可得答案.【详解】解:根据题意将两边平方得，继续平方整理得：，故该方程有解.所以，即，解得，因为，故，当时，易得方程无解，当时，，有解，满足条件；当时，，方程有解，满足条件；当时，，方程有解，满足条件；故，因为且集合中恰有2个元素，所以集合可以是，，.故选：B.【点睛】本题考查集合的元素，集合关系，解题的关键在于将方程平方转化为，再结合判别式得，进而求出集合.考查运算求解能力，化归转化能力，是中档题.3．（2022·全国·高三专题练习）设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①，②若，则且，那么称F是U的一个环，下列说法错误的是（）A．若，则是U的一个环B．若，则存在U的一个环F，F含有8个元素C．若，则存在U的一个环F，F含有4个元素且D．若，则存在U的一个环F，F含有7个元素且【答案】D【分析】对A，根据环的定义可判断；对B，根据子集个数可判断；对C，存在满足；对D，根据环的定义可得出中至少8个元素.【详解】对A，由题意可得满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确，不符合题意；对B，若，则U的子集有8个，则U的所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素，故B正确，不符合题意；对C，如满足环的要求，且含有4个元素，，故C正确，不符合题意.对D，，，，，，，再加上，中至少8个元素，故D错误，符合题意.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是正确理解环的定义.4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.若，则实数（）A．-3 B． C． D．3【答案】B【分析】由题得直线与直线平行，解方程即得解.【详解】因为，所以直线与直线平行，所以所以.经检验，当时，两直线平行.故选：B.5．（2021·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合A，由得到，再分类讨论a的值即可.【详解】，因为，所以，当时，集合，满足；当时，集合，由，得或，解得或，综上，实数的取值集合为.故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中易忽略时，集合满足，而错解.6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.若，则实数（）A．3 B． C．3或 D．或1【答案】A【分析】将问题转化为“直线与直线互相平行”，由此求解出的取值.【详解】因为，所以直线与直线没有交点，所以直线与直线互相平行，所以，解得或，当时，两直线为：，，此时两直线重合，不满足，当时，两直线为：，，此时两直线平行，满足，所以的值为，故选：A.7．（2020·天津·南开中学模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（）A．没有最大元素，有一个最小元素B．没有最大元素，也没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素D．有一个最大元素，没有最小元素【答案】C【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法则说明C选项错误【详解】若，；则没有最大元素，有一个最小元素；故A正确；若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故B正确；若，；有一个最大元素，没有最小元素，故D正确；有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故C不正确.故选：C8．（2021·全国·高三专题练习）已知，，若，则a的取值范围是（）.A． B．或C．或 D．以上答案都不对【答案】D【分析】法1.可以代特殊值，对答案进行排除；法2.画出图形，进而使得双曲线与圆没有公共点即可，然后根据图形的位置关系解得答案.【详解】法1.当时，总可找到一个适当的a值，使；又当时，也有.于是a的取值范围有三个不同的区间，对照选择，排除A、B、C.故选：D.法2.由已知，集合P表示双曲线上的点构成的集合；集合Q表示圆上的点构成的集合，则问题双曲线C1与圆C2没有公共点.如图1所示：圆C2位于双曲线C1外，此时，.如图2所示：圆C2位于双曲线C1内（仅画了圆在右侧），先考虑两者相切时，联立，，由图形可知，若圆C2位于双曲线C1内，则或.综上：或或.故选：D.9．（2021·山西长治·高三月考（理））集合，集合，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据函数定义域的求法求出函数的定义域，进而求出集合M，然后再根据指数不等式的解法求出的解，进而求出集合N，最后根据交集的求法确定的结果即可.【详解】要使函数有意义，须满足，即，所以集合，不等式的解为，所以集合，所以.故选：C.10．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三月考（理））设是全集，若，则下列关系式一定正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用Venn图，通过举例说明A，B，D错误，从而选C.【详解】如图，，此时∅，A错，B，B错，，D错，

故选：C11．（2021·全国·高三专题练习）已知集合若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用集合的包含关系即求.【详解】由题意，，∵集合，①；②m时，成立；③综上所述，故选：B.12．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】对于集合，令和，即得解.【详解】，，，，对于集合，当时，，；当时，，．，故选：B．13．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若集合，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由集合分别求出的范围，由得范围相同，可知交是否是空集取决于的范围，然后分情况讨论即可求解【详解】因为，所以得到；得到；因为所以，，所以交是否是空集取决于的范围，因为，所以，当时，；当时，所以当集合时，实数的取值范围是：故选：A．14．（2021·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（）A． B．C．或 D．【答案】D【分析】由绝对值的几何意义化简集合，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案．【详解】解：，，，故A不正确；，故B不正确；或，或或，故C不正确；或，故D正确．正确的是D．故选：D．15．（2020·上海市松江二中高三月考）函数，则集合元素的个数有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】根据分段函数解析式，结合集合元素要满足的性质，通过分类讨论求所有满足条件的的值，进而确定集合中元素的个数．【详解】当时，，解得，

当时，若，解得，

当时，若，解得，当时，若，则，解得或.又∵

∴或

∴或或或或.∴集合元素的个数有5个.

故选：D．16．（2021·全国·模拟预测）已知集合}，则集合中元素的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】先由N中的不等式求得x,y的取值范围，再列举出其中的整点，然后检验是否满足M中的不等式，即得到交集中的元素个数.【详解】由可得,，即,N中的满足的整点有：，共9个点，其中只有(1,1)这一个点不满足，故中的元素个数为8个，故选：C.【点睛】本题考查集合的交集，关键是寻找M中同时符合N中的条件的元素.17．（2021·江苏·模拟预测）已知集合，集合，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简集合A，B，根据交集运算求解即可.【详解】由可得，解得，所以，当时，又，所以，故选：D18．（2021·全国·高三专题练习），则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】集合表示圆心为原点，半径为1的圆，集合表示四条直线围成的正方形，根据圆在正方形内求出的范围即可．【详解】集合为圆内部或圆周上的点集，为直线，，，围成的正方形，画出图象，如图所示，当直线与圆相切时，设切点为，连接，为等腰直角三角形，，，，为斜边上的中线，，即，，此时，因为圆在正方形内，所以，故答案为：【点睛】转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题子集问题转化为圆在正方形内问题是解题的关键.二、多选题19．（2021·广东·普宁市普师高级中学高三月考）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则的取值有（）A． B． C．0 D．1【答案】BCD【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，当时，，所以，所以，满足要求；当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，故选：BCD.【点睛】本题考查根据集合中元素个数求解参数值，其中涉及到根据集合的子集个数确定集合中元素个数，难度一般.集合中元素个数与集合的子集个数的关系：集合中有个元素，则集合有个子集.20．（2021·全国·高三专题练习）定义，且，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据反比例函数的性质可判断是否正确；然后先分别计算，，判断B选项是否正确，然后计算与，判断D选项是否成立.【详解】∵，，故A正确；∵定义且，∴，，故B正确；，故C错误；，所以，故D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查集合间的基本运算，属于基础题．解答时，根据题意化简集合，然后结合新定义计算法则计算即可得出答案．21．（2021·全国·高三专题练习）设全集为，下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则或C．若，则 D．若，则【答案】ACD【分析】根据集合的交并补运算法则可得ACD正确，举出反例可得B错误.【详解】对于A选项，，，即，所以该选项正确；对于B选项，考虑，则该选项不正确；对于C选项，，，即，所以该选项正确；对于D选项，根据集合关系，则显然正确.故选：ACD【点睛】此题考查集合运算相关概念的辨析，关键在于熟练掌握集合的运算规则.22．（2020·全国·高三专题练习）若集合，，则正确的结论有（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根据正弦函数可得集合，由集合间的关系和运算，对选项进行逐一判断.【详解】由，又，显然集合所以，则成立，所以选项A正确.成立，所以选项B正确，选项D不正确.，所以选项C不正确.故选：AB【点睛】本题考查解三角方程，集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.23．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】求出集合和，即可【详解】，所以，，或，所以，，故选：AB【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算，涉及求函数值域和对数复合型函数的定义域，属于中档题.24．（2020·上海市大同中学高三月考）（多选）集合，，下列说法正确的是（）A．对任意，是的子集 B．对任意，不是的子集C．存在，使得不是的子集 D．存在，使得是的子集【答案】AD【分析】讨论、均为非空或空集，研究集合、之间的包含关系.【详解】当、均不为空集时，，，此时，是的子集；当、均为空集时，，与互为子集，故选：AD.第II卷（非选择题）三、填空题25．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知关于的不等式的解集为，则当，且时，实数的取值范围是___________.【答案】【分析】根据题意，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，不等式的解集为，若，且，则有，解可得或，即的取值范围为；故答案为：．26．（2021·福建省厦门第二中学高三月考）若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.【答案】【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有，，“和”，“和”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.【详解】因为，；，；，；，；这样所求集合即由，，“和”，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为，故答案为：.27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，A＝{x|t≤x≤t+1}，B＝{x||f(x)|≥1}，若集合A∩B只含有一个元素，则实数t的取值范围是____．【答案】0＜t＜1【分析】首先整理集合B，分两种情况来写出不等式，把含有绝对值的不等式等价变形，得到一元二次不等式，求出不等式的解集，进一步求出集合B的范围，根据两个集合只有一个公共元素，得到t的值．【详解】要解|f(x)|≥1，需要分类来看，当x≥0时，|2x2﹣4x+1|≥1∴2x2﹣4x+1≥1或2x2﹣4x+1≤-1∴x≥2或x≤0或x＝1，又x≥0∴x≥2或x＝1或x＝0．当x＜0时，|﹣2x2﹣4x+1|≥1∴﹣2x2﹣4x+1≥1或﹣2x2﹣4x+1≤﹣1∴﹣2≤x≤0或或，又x＜0∴﹣2≤x＜0或综上可知B＝{x|-2≤x≤0或或x≥2或x＝1}∵集合A∩B只含有一个元素，∴t＞0且t+1＜2∴0＜t＜1故答案为：0＜t＜128．（2021·上海·上外浦东附中高三月考）设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则_______．【答案】/【分析】先求解两个集合，由交集的定义即得解【详解】由不等式，即函数的定义域：故答案为：29．（2021·上海市七宝中学高三月考）函数，记集合，集．若，且A、B都不是空集，则的取值范围是________．【答案】/【分析】由可得，从而求得；从而化简，从而分和讨论求得答案.【详解】解：设，，，即，故；故，当时，成立；当时，的解为或，又，则或，由，则应无解，故，解得：；综上所述，.故答案为：.30．（2020·上海·南汇县泥城中学高三月考）已知集合，，若，则___________；【答案】2【分析】结合已知条件，分别讨论和时，集合和集合是否满足即可求解.【详解】由，结合已知条件由下列两种情况：①若，则，此时，，满足；②若，则，(i)当时，，，不满足；(ii)当时，，，不满足，综上所述，.故答案为：2.任务三:邪恶模式(困难)1-20题一、单选题1．（2021·上海杨浦·高三期中）非空集合，且满足如下性质：性质一：若，，则；性质二：若，则.则称集合为一个“群”以下叙述正确的个数为（）①若为一个“群”，则必为无限集；②若为一个“群”，且，，则；③若，都是“群”，则必定是“群”；④若，都是“群”，且，，则必定不是“群”；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可.【详解】①：设集合，显然，符合性质一，同时也符合性质二，因此集合是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确；②：根据群的性质，由可得：，因此可得，故本叙述是正确；③：设，若，一定有，因为，都是“群”，所以，因此，若，所以，，故本叙述正确；④：因为，，一定存在且，且，因此且，所以，因此本叙述正确，故选：C【点睛】关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键.2．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件：①，，有②如，，，有；③在中有一个元素，对，都有，称为的单位元；④，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元．此时称（，*）为一个群．例如实数集和实数集上的加法运算“”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（）A．，则为一个群B．，则为一个群C．，则为一个群D．{平面向量}，则为一个群【答案】B【分析】对于选项A,C,D分别说明它们满足群的定义，对于选项B,不满足④，则不为一个群，所以该选项错误.【详解】A.，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，为的单位元，逆元为它的相反数，满足群的定义，则为一个群，所以该选项正确；B.，为的单位元，但是，当时，不存在唯一确定的，所以不满足④，则不为一个群，所以该选项错误；C.，满足①②，为的单位元满足③，是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则为一个群，所以该选项正确；D.{平面向量}，满足①②，为的单位元，逆元为其相反向量，则为一个群，所以该选项正确.故选：B3．（2022·上海·高三专题练习）设集合，，，，其中，下列说法正确的是（）A．对任意，是的子集，对任意的，不是的子集B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集C．存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集【答案】B【分析】运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断B正确，A，C，D错误．【详解】解：对于集合，，可得当，即，可得，即有，可得对任意，是的子集；故C、D错误当时，，，可得是的子集；当时，，且，可得不是的子集，故A错误．综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集．故选：B.4．（2022·浙江·高三专题练习）设，其中，，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】因为只有一个错误，故分类讨论，若①错，有两种情况，若②错则互相矛盾，若③错，有三种情况，若④错，有一种情况，分别求解即可得结果．【详解】若①错，则，，，有两种情况：，，，，或，，，，；若②错，则，，互相矛盾，故②对；若③错，则，，，有三种情况：，，，，；，，，，；，，，，；若④错，则，，，只有一种情况：，，，，所以故选：C5．（2021·福建·福州四中高三月考）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据条件可得集合要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.【详解】由，可得因为等价于或，且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．综上所求或，即，故，故选：D．【点睛】关键点睛：本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程与方程的实根的个数情况，属于中档题.6．（2020·陕西·长安一中高三月考（文））在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为，故，故①错误，而，故，故②正确.若整数，属于同一“类”，设此类为，则，故即，若，故为4的倍数，故除以4的余数相同，故，属于同一“类”，故整数，属于同一“类”的充要条件为，故④正确.由“类”的定义可得，任意，设除以4的余数为，则，故，所以，故，故③正确.故选：C.【点睛】方法点睛：对于集合中的新定义问题，注意根据理解定义并根据定义进行相关的计算，判断两个集合相等，可以通过它们彼此包含来证明.7．（2021·全国·高三专题练习（理））在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，2，3，4，5给出以下五个结论：①；②；③“整数、属于同一“类””的充要条件是“”；④“整数、满足，”的充要条件是“”，则上述结论中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据“类”的定义逐一进行判断可得答案.【详解】①因为，令，得，所以，①不正确；②，故②正确；③若整数、属于同一“类”，则整数被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为，即；若，则被6除所得余数为，则整数被6除所得余数相同，故“整数、属于同一“类””的充要条件是“”，所以③正确；④若整数、满足，，则，，，，所以，，所以；若，则可能有，所以“整数、满足，”的必要不充分条件是“”，所以④不正确.故选：B【点睛】关键点点睛：对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键.8．（2021·浙江·路桥中学模拟预测）设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则，②对任意，若，则，下列说法正确的是（）A．若有2个元素，则有3个元素B．若有2个元素，则有4个元素C．存在3个元素的集合，满足有5个元素D．存在3个元素的集合，满足有4个元素【答案】A【分析】不妨设，由②知集合中的两个元素必为相反数，设，由①得，由于集合中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素，分集合有个元素和多于个元素分类讨论，即可求解.【详解】若有2个元素，不妨设，以为中至少有两个元素，不妨设，由②知，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设，由①得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素，当集合有个元素时，由②得：，则或.当集合有多于个元素时，不妨设，其中，由于，所以，若，则，但此时，即集合中至少有这三个元素，若，则集合中至少有这三个元素，这都与集合中只有2个运算矛盾，综上，，故A正确；当集合有个元素，不妨设，其中，则，所以，集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少个元素，与矛盾，排除C，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.9．（2021·广东番禺中学高一期中）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”．规定与是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】对子集分，，，四种情况讨论，列出所有符合题意的集合即可求解.【详解】，与是的子集，，对子集分情况讨论：当时，，，，，有种情况；当时，，，有种情况；当时，，，有种情况；当时，，有种情况；所以共有种，故选：D.10．（2020·上海奉贤·高一期中）对于区间内任意两个正整数，，定义某种运算“*”如下：当，都是正偶数时，；当，都为正奇数时，，则在此定义下，集合中元素个数是（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【分析】分别讨论，都是正偶数时，，，都是正奇数时，，所以，再由即可求出集合，进而可得集合中的元素的个数.【详解】因为当，都是正偶数时，；当，都为正奇数时，，所以当，都是正偶数时，，可得；当，都是正奇数时，，所以，因为，所以，；，；，；，；所以，所以集合中的元素有个，故选：C.11．（2021·全国·高三专题练习）设是直角坐标平面上的任意点集，定义，，．若，则称点集“关于运算对称”．给定点集，，，其中“关于运算*对称”的点集个数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，，则，，从而由，，分别求出，，，再根据点集“关于运算对称”的定义依次分析判断即可得出答案．【详解】解：令，，则，，，，，故；，，即，故；，，即，故；所以“关于运算*对称”的点集个数为1个.故选：B.12．（2021·黑龙江·哈师大附中高一月考）设集合X是实数集R的子集，如果点R满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合X的聚点．则在下列集合中，以0为聚点的集合是（）A． B．C． D．整数集Z【答案】B【分析】根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案．【详解】A中，集合中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大，所以在的时候，不存在满足的x，不是集合的聚点；故A不正确；B中，集合，对任意的a，都存在实际上任意比a小的数都可以，使得，所以是集合的聚点；故B正确；C中，因为，所以当时，不存在满足的x，不是集合的聚点，故C不正确；D，对于某个，比如，此时对任意的，都有或者，也就是说不可能满足，从而0不是整数集Z的聚点．故D不正确.综上得以0为聚点的集合是选项B中的集合.故选：B．二、多选题13．（2020·广东广雅中学高三月考）设整数，集合.令集合，且三条件恰有一个成立，若和都在中，则下列选项不正确的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】ACD【分析】根据集合的定义可以得到和的大小关系都有3种情况，然后交叉结合，利用不等式的传递性和无矛盾性原则得到正确的选项.【详解】因为，则的大小关系有3种情况，同理，，则的大小关系有3种情况，由图可知，的大小关系有4种可能，均符合，，所以ACD错，故选:ACD.【点睛】本题考查新定义型集合，涉及不等式的基本性质，首先要理解集合中元素的性质，利用列举画图，根据无矛盾性原则和不等式的传递性分析是关键.14．（2021·河北·石家庄二中高三月考）若集合具有以下性质：（1），；（2）若、，则，且时，