2025届山东省青岛实验高中高二上数学期末经典试题含解析

2025届山东省青岛实验高中高二上数学期末经典试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆与椭圆，则下列结论正确的是（）A.长轴长相等 B.短轴长相等C.焦距相等 D.离心率相等2．已知关于的不等式的解集是，则的值是（）A B.5C. D.73．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（）A. B.C. D.4．“”是“方程是圆的方程”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．某商场为了解销售活动中某商品销售量与活动时间之间的关系，随机统计了某次销售活动中的商品销售量与活动时间，并制作了下表：活动时间销售量由表中数据可知，销售量与活动时间之间具有线性相关关系，算得线性回归方程为，据此模型预测当时，的值为（）A B.C. D.6．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于则这个直角三角形周长的最大值为（）A. B.C. D.7．已知函数，当时，函数在，上均为增函数，则的取值范围是A. B.C. D.8．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：排队人数01234概率0.10.16030.30.10.04则至少有两人排队的概率为（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.749．命题：，否定是（）A.， B.，C.， D.，10．已知抛物线：，焦点为，若过的直线交抛物线于、两点，、到抛物线准线的距离分别为3、7，则长为A.3 B.4C.7 D.1011．已知向量，，则（）A. B.C. D.12．过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（）A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．写出一个同时满足下列条件①②③的圆C的标准方程：__________①圆C的圆心在第一象限；②圆C与x轴相切；③圆C与圆外切14．若＝，则x的值为_______15．已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则周长的最小值是__________.16．曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求在区间上的最值.18．（12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，椭圆上的动点到焦点的最大距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过作一条不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，弦的中垂线交轴于，当变化时，是否为定值?若是，定值为多少?19．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，.（1）证明：平面平面PAC；（2）求平面PCD与平面PAB夹角的余弦值.20．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中.问题：等差数列的公差为，满足，________?（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和得到最小值时的值.21．（12分）2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分，某校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其一分一分钟跳绳个数成绩(分)1617181920频率（1）若每分钟跳绳成绩不足18分，则认为该学生跳绳成绩不及格，求在进行测试的100名学生中跳绳成绩不及格的人数为多少？（2）该学校决定由这次跳绳测试一分钟跳绳个数在205以上(包括205)的学生组成“小小教练员"团队，小明和小华是该团队的成员，现学校要从该团队中选派2名同学参加某跳绳比赛，求小明和小华至少有一人被选派的概率22．（10分）茶树根据其茶叶产量可分为优质茶树和非优质茶树，某茶叶种植研究小组选取了甲，乙两块试验田来检验某种茶树在不同的环境条件下的生长情况．研究人员将100株该种茶树幼苗在甲，乙两块试验田中进行种植，成熟后统计每株茶树的茶叶产量，将所得数据整理如下表所示：优质茶树非优质茶树甲试验田a25乙试验田10b已知甲试验田优质茶树的比例为50%（1）求表中a，b的值；（2）根据表中数据判断，是否有99%的把握认为甲，乙两块试验田的环境差异对茶树的生长有影响？附：，其中．0.100.050.01k2.7063.8416.635

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用，可得且，即可得出结论【详解】∵，且，椭圆与椭圆的关系是有相等的焦距故选：C2、D【解析】由题意可得的根为，然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果【详解】因为关于的不等式的解集是，所以方程的根为，所以，得，所以，故选：D3、C【解析】当平面时，三棱锥体积最大，根据棱长与球半径关系即可求出球半径，从而求出表面积.【详解】当平面时，三棱锥体积最大.又，则三棱锥体积，解得；故表面积.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥与球的组合体的综合问题，本题的关键是判断当平面时，三棱锥体积最大.4、A【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】若方程表示圆，则，即，解得或，故“”是“方程是圆的方程”的充分不必要条件，故选：A5、C【解析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程，求出的值，再将代入回归方程即可得解.【详解】由表格中的数据可得，，将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得，所以，回归直线方程为，故当时，.故选：C.6、C【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为，则，根据基本不等式求出的最大值后，可得三角形周长的最大值.【详解】设直角三角形的两条直角边边长分别为，则.因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故这个直角三角形周长的最大值为故选：C7、A【解析】由，函数在上均为增函数，恒成立，,设，则，又设，则满足线性约束条件，画出可行域如图所示，由图象可知在点取最大值为，在点取最小值.则的取值范围是，故答案选A考点：利用导数研究函数的性质，简单的线性规划8、D【解析】利用互斥事件概率计算公式直接求解【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：至少有两人排队的概率为：故选：D【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题9、D【解析】根据给定条件利用全称量词命题的否定是存在量词命题直接写出作答.【详解】命题：，是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题：，的否定是：，.故选：D10、D【解析】利用抛物线的定义，把的长转化为点到准线的距离的和得解【详解】解：抛物线：，焦点为，过的直线交抛物线于、两点，、到抛物线准线的距离分别为3、7，则故选D【点睛】本题考查抛物线定义的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.11、D【解析】按空间向量的坐标运算法则运算即可.【详解】.故选：D.12、C【解析】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点的坐标，求出的值，即可的解.【详解】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点，得，解得，所以所求双曲线方程为，即故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、(答案不唯一，但圆心坐标需满足，)【解析】首先设圆的圆心和半径，根据条件得到关于的方程组，即可求解.【详解】设圆心坐标为，由①可知，半径为，由②③可知，整理可得，当时，，，所以其中一个同时满足条件①②③的圆的标准方程是.故答案为：(答案不唯一，但圆心坐标需满足，)14、4或9.【解析】分析：先根据组合数性质得，解方程得结果详解：因为＝，所以因此点睛：组合数性质：15、##【解析】利用抛物线的定义结合图形即得.【详解】抛物线的焦点为，准线的方程为，过点作，垂足为，则，所以的周长为，当且仅当三点共线时等号成立.故答案为：.16、【解析】先求导数，得出切线斜率，写出切线方程，然后可求三角形的面积.【详解】，当时，，所以切线方程为，即；令可得，令可得；所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）最小值为0，最大值为4【解析】（1）利用导数求得切线方程.（2）结合导数求得在区间上的最值.【小问1详解】，所以曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】，所以在区间递增；在区间递减，，所以在区间上的最小值为，最大值为.18、（1）（2）是，【解析】(1)由抛物线方程求出其焦点坐标，结合椭圆的几何性质列出，的方程，解方程求，由此可得椭圆方程，(2)联立直线椭圆椭圆方程，求出弦的长和其中垂线方程，再计算，由此完成证明.【小问1详解】抛物线的交点坐标为（1，0），，又，又，∴，椭圆的标准方程为.【小问2详解】设直线的斜率为，则直线的方程为，联立消元得到，显然，，∴，又的中点坐标为，直线的中垂线的斜率为∴直线的中垂线方程为，令，，（常数）.【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）过点C作于点H，由平面几何知识证明，然后由线面垂直的性质得线线垂直，从而得线面垂直，然后可得面面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角【小问1详解】在梯形ABCD中，过点C作于点H.由，，，，可知，，，.所以，即，①因为平面ABCD，平面ABCD，所以，②由①②及，平面PAC，得平面PAC.又由平面PCD，所以平面平面PAC.【小问2详解】因为AB，AD，AP两两垂直，所以以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，3），，.设平面PCD的法向量为，则，取，则，，则.平面PAB的一个法向量为，所以，所以平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值为.20、（1）选择条件见解析，（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得到，选①，联立求解；选②，联立求解；选③，联立求解；（2）由（1）知，令求解.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，得，选①，得，故，∴.选②，得，得，故，∴.选③，，得，故，∴；【小问2详解】由（1）知，，，∴数列是递增等差数列.由，得，∴时，，时，，∴时，得到最小值.21、（1）14人；（2）.【解析】（1）根据频率直方表区间成绩及其对应的频率，即可求每分钟跳绳成绩不足18分的人数.（2）由表格数据求出一分钟跳绳个数在205以上(包括205)的学生共6人，列举出六人中选两人参加比赛的所有情况、小明和小华至少有一个被选派的情况，由古典概型的概率求法即可得小明和小华至少有一人被选派的概率.【详解】（1）由表可知，每分钟跳绳成绩不足18分，即为成绩是16分或17分，在进行测试的100名学生中跳绳成绩不及格人数为：人)（2）一分钟跳绳个数在205以上(包括205)的学生频率为，其人数