数学教材梳理：二项式定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、二项式定理1.公式（a+b）n=（n∈N*)。对二项式公式，令a=1,b=x，则得一个比较常用的公式：(1+x）n=1++…+xn.（1）（a+b）n的二项展开式共有ｎ＋1项，其中各项的系数（ｋ∈{0，1，2,…，ｎ｝）叫做二项式系数；(2）各项的次数都等于二项式的幂指数ｎ。方法归纳（1）字母ａ的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由ｎ逐次减1直到零,字母ｂ的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到ｎ；（2)由于二项式定理表示的是一个恒等式，在二项展开式中,有关系数的或组合数中一些和的问题，可对照二项展开式，对ａ、ｂ赋以特殊值，是解决这类问题的基本方法;（3）有关三项展开问题,可将三项中某两项看做一项，然后利用二项式定理处理。(4）二项式系数只与第n项有关，与a，b的大小无关。2.通项公式二项展开式中第ｋ＋1项叫做二项展开式的通项，即Tk+1=an—kbk.（1）通项公式表示的是二项展开式中的任意一项,只要ｎ与ｒ确定，该项也随之确定；对于一个具体的二项式,它的二项展开式中的项依赖于ｒ；（2)通项公式表示的是第ｋ＋1项,而非第ｋ项;（3）公式中的第一个量ａ与第二个量ｂ的位置不能颠倒。疑点突破利用通项公式可以解决以下问题：(1)求指定项；（2）求特征项；（3）求指定项、特征项的系数.在应用通项公式时要注意以下几点：（1）要能准确地写出通项,特别注意符号问题；（2）要将通项中的系数和字母分离开来，以便解决有关问题;（3）通项公式中含有a,b，n,k,Tk+1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素，在有关二项式定理的问题中，常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程或方程组,这里必须注意ｎ是正整数，ｒ是非负整数，且ｒ≤ｎ。二、二项式系数及其性质二项展开式中，各项系数(r=0，1，2，…，n)叫做展开式的二项式系数。它们是一组仅与二项式的幂指数ｎ有关的ｎ＋1个组合数，与a,b无关。其性质如下：（1）对称性：在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。事实上，这一性质可以由得到。（2)增减性与最大值：如果二项式的幂指数ｎ是偶数，那么其展开式中间一项，即的二项式系数最大；如果ｎ是奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且最大.（3)各二项式系数的和:=2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即+…=2n—1.方法点拨对形如（ax+b）n，（a2+bx+c）m的式子求其展开式的各项系数之和，只需令ｘ=1即可,对形如（ax+by）n的式子求其展开式各项系数之和,只需令ｘ=ｙ=1即可。辨析比较二项式系数与项的系数是不同的概念。如（a-b)n的二项展开式的通项公式只需把-ｂ看成ｂ代入原来的二项式定理可得:Tr+1=(-1）ran-rbr，则第ｒ＋1项的二项式系数为，而第ｒ＋1项的系数是（-1）r.知识拓展如求（a+bx）n展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A1,A2，…,An+1，设第ｒ＋1项系数最大，应有从而解出ｒ的值即可。问题·探究问题1什么叫做二项式系数？什么叫做二项式项的系数？它们本质相同吗?有什么区别？思路:（a+b)n的二项展开式共有ｎ＋1项，其中各项的系数（k∈｛0，1，2，…，n｝）叫做二项式系数.而二项式项的系数是在二项式系数的前面加相应符号。二者是有区别的，如（a+bx）n的展开式中，第ｒ＋1项的二项式系数为，而第ｒ＋1项的系数为an—rbr探究：在有关二项展开式问题中，要注意二项式系数与总分项的系数的区别和联系，同时注意“取特殊值法”在求系数和中的作用。如在（1+2x）7的展开式中，第四项是T4=·17—3·（2x）3，其二项式系数是,则第4项的系数是·23=280,它们既有区别，又有联系。求二项式系数的和是2n,求二项展开式各项的系数和一般用赋值法解决。问题2在数的整除问题中，我们经常会遇到这样的问题：今天是星期天，220天后是星期几?11827的末位数字是几？34n+2+5m+1思路：对类似的整除问题，可以借助于二项式定理来解决。把一个数的指数幂的底数分解为两个数的和或差，利用二项式定理展开,对展开项的数字特征进行分析。对二项式定理的理解应注意它是一个恒等式,左边是二项式幂的形式。表示简单，右边是二项式的展开式，表示虽然复杂,但很有规律,规律特点为：①它有ｎ＋1项，是和的形式；②各项的次数都等于二项式的幂的次数ｎ；③字母ａ按降幂排列,次数由ｎ减到0，字母ｂ按升幂排列，次数由0增到ｎ。④各项的二项式系数依次为：，利用展开式解决问题时可以根据需要而选择.探究:上题中的“11827的末位数字是几”这一问题，可以利用二项式定理看做（10+1）827,由二项式展开,得容易发现,其个位数字即为1。二项式定理中,ａ、ｂ是任意的,于是我们可以根据需要对其赋值，利用二项式定理来解决一些实际问题.如令ａ=1,ｂ=ｘ,则（1+x）n=1+这也为我们解决问题提供了“取特例”的思想方法。如上式中再令ｘ=—1，或令ａ、ｂ取一些特殊的值还可以得到许多有用的结果。典题·热题例1（2005全国高考)(2x—)9的展开式中，常数项为______________。（用数字作答）.思路分析:二项展开式的通项为Tr+1=（2x)9-r（—)r=(—1）r29—r。令9-r-=0,得ｒ=6.故常数项为T7=(-1）6×23=672。答案：672方法归纳凡涉及到展开式的项及其系数等问题时,常是先写出其通项公式Tr+1=an-rbr,然后再根据题意进行求解，往往是结合方程思想加以解决.拓展延伸（2005山东高考)如果（3x)n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（)A。7B.—7思路分析：分清某一项的系数与它的二项式系数是否相同，常规解法是利用通项公式Tr+1=an—rbr，先确定ｒ，再求其系数.令ｘ=1,即(3-1)n=128,得ｎ=7.由通项公式,得Tr+1=(3x)7-r()r=(-1）r·37-r··，由7-=-3。解得r=6.故的系数是（—1）6·3·=21.答案：C深化升华在求二项式中参数的值及特定项的系数等问题时，通常是利用展开式的通项与题目提供的信息及各量之间的制约关系，巧妙构造方程,利用方程的思想求解.例2（1+2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。思路分析:根据已知条件可求出ｎ，再根据ｎ的奇偶性，确定出二项式系数最大的项。解:T6=（2x)5,T7=（2x)6，依题意有·25=·26，解得n=8。所以（1+2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5=·（2x）4=1120x4。设第ｒ＋1项系数最大，则有。解得5≤r≤6。由于r∈{0，1,2，…,8}，所以ｒ=5或ｒ=6。则系数最大的项为T6=1792x5,T7=1792x6.方法归纳二项式系数最大项的问题，可直接根据二项式系数的性质求解。ｎ为奇数时,中间两项的二项式系数最大；ｎ为偶数时，中间一项的二项式系数最大.误区警示求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，要根据各项系数的正、负变化情况，采用列不等式,解不等式的方法求。例3求（1+2x-3x2）6展开式中含x5的项。思路分析：幂函数6是个不大的数目，显然可以按多项式乘法法则把（1+2x—3x2)6乘开为多项式,再从中取出含x5的项,但是计算量较大.如果把1+2x—3x2中的两项结合起来，则可看成二项式,从而可利用二项式定理,展开后，再把结合为一组的两项展开，就能得到含x5的系数.解：原式=［1+（2x-3x2)]6=1+（2x—3x2）+（2x—3x2)2+（2x—3x2)3+…+（2x—3x2）6。可以看出，继续将右端展开后,在（2x—3x2)3,(x-3x2)4,(2x-3x2）5这三部分的展开式中都含有x5的项，它们分别是：×2×(—3）2x5,×23×(-3)x5，25x5。把这三项合并后,就得到（1+2x-3x2)6展开式中含的项是—168x5.方法归纳用结合的方法，把三项式做为二项式处理，这是一种较为普遍的转化方法.通过转化。可以把较生疏的问题转化为较熟悉的问题,把较困难的问题转化为较容易的问题。例4求0.9986的近似值，使误差小于0.001。思路分析:因为直接对0.9986进行求值难度较大,而0。9986=(1—0。002）6，故可用二项式定理展开计算.解：0.9986=（1-0。002)6=1+6×（—0。002)1+15×（-0。002）2+…+(-0。002）6.因为T3=·（-0。002）2=15×(—0。002)2=0.00006<0.001,且第三项以后的绝对值都小于0。001，所以从第三项起,以后的项可以忽略不计.则0。9986=（1—0.002)6≈1+6×（—0.002）=1-0。012=0。988.深化升华由（1+x）n=1+x+x2+…+xn,当ｘ的绝对值与1相比很小且ｎ很大时，x2，x3，…,xn等项的绝对值都很小,因此在精确度允许的范围内可以忽略不计,因此，可用近似计算公式：(1+x）n≈1+nx。在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍。若精确度要求较高，则可使用较为精确的公式：（1+x）n≈1+nx+x2.例5求证：对任何非负整数ｎ,33n-26n—1可被676整除.思路分析:当ｎ=0或1时，所给式子为具体数,可以验证。当ｎ≥2时,由于注意到676等于262，而33n=27n=（26-1)n.可以用二项式展开,看各项中是否均能含有262。解:当ｎ=0时,原式等于0，可被676整除。当ｎ=1时，原式=0，也可被676整除。