数学教材梳理二倍角的三角函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱丁巧解牛知识·巧学1。二倍角公式在两角和三角公式中,令α=β就可以得到下面的结论:sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos2α—sin2α,tan2α=，由于sin2α+cos2α=1，所以公式cos2α=cos2α-sin2α还可以变形为cos2α=2cos2α—1,cos2α=1-2sin2α.上面的几个等式称为倍角公式.倍角公式是和角公式的特例.记忆要诀在两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式的推导的基础上进行记忆.深化升华倍角公式的推导，是化一般为特殊的化归思想的具体运用。对于倍角公式应注意以下几点：(1)在二倍角的正、余弦公式中，角α的取值范围可以是全体实数，在二倍角的正切公式中，α≠+,α≠kπ+(k∈Z）.特别地，当α=+kπ(k∈Z）时，显然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的,这时求tan2α的值,可用诱导公式进行，即tan2（+kπ）=tan（π+2kπ)=tanπ=0。公式中的角可以是具体的数，也可以是字母和代数式。(2）二倍角只是一个相对的概念,如：是的倍角，α±β是的倍角，在公式中角α可以是数、字母或代数式，是一个不可分割的整体.在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例sin=2sincos，cos=cos2-sin2=2cos2—1=1—2sin2；sin3α·cos3α=(2sin3αcos3α)=sin6α；cos22α—sin22α=cos4α；sincos=sin3α；tan3x=；=tan70°等。应熟悉倍角公式的结构特点，加强训练.（3)二倍角公式的几种变形形式：(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos2α；1-cos2α=2sin2α；cos2α=；sin2α=.其中升幂换半角公式是1+cosα=2cos2，1—cosα=2sin2,利用该公式能消去常数项,便于提取公因式化简三角函数式；降幂换倍角公式是cos2α=，sin2α=，利用该公式能使之降次,便于合并同类项化简三角函数式。深化升华由二倍角公式及同角三角函数的基本关系式，可得sin2α=、cos2α=，利用这两个公式我们可以用单角的正切表示二倍角的三角函数.2.二倍角公式的应用利用倍角公式可以求值、证明三角恒等式和化简三角函数式。在运用公式时，要注意审查公式成立的条件，要做到三会：会正用;会逆用；会变形应用.公式的正用是常见的,但逆用和变形使用往往容易被忽视，而公式的逆用和变形使用更能开拓思路.只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才真正掌握了公式的应用。学法一得运用二倍角公式的先决条件是认识它的本质，要善于避开表面的东西，正确捕捉公式的原形，更好地运用公式.典题·热题知识点1二倍角公式例1已知sinα=,α∈(，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值.思路分析：本题是倍角公式、同角三角函数基本关系的应用及已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法。思路一:可根据已知条件求出cosα，再利用倍角公式求出sin2α,cos2α，进而利用同角三角函数基本关系求出tan2α。此外，也可以求出tanα的值利用倍角公式求tan2α。思路二：也可以只求出sin2α，cos2α，tan2α中的一个,其余的利用同角三角函数基本关系求解。解:方法一∵sinα=,α∈（,π），∴cosα=-=-.∴sin2α=2sinαcosα=-，cos2α=1-2sin2α=，tan2α=-.方法二∵sinα=,∴cos2α=1—2sin2α=。又∵α∈(，π），∴2α∈(π，2π).∴sin2α=-=—，tan2α=-。方法归纳在三角部分经常用到“凑公式”的方法解题，但要注意已知条件和所求式子中角之间的关系.当已知一个三角函数值而求其他的三角函数值时，一定要注意角的范围，若角的范围没给,这就需要分类讨论。例2求证：=.思路分析：可将等式进行等价变形，再利用倍角公式进行证明。证明:原式等价于=tan2θ，左边==tan2θ=右边。方法归纳在三角恒等式的证明中，如果原等式不易证明时，可将等式进行适当的等价变形，转化为较易证明的等式.例3若＜x＜2π,化简。思路分析：本题的关键是将根号下的式子化为完全平方式以便于去掉根号。根据本题的式子特点，可重复利用二倍角余弦公式的变形.解：由于＜x＜2π，则＜＜π。所以原式=。方法归纳解答这类题，在实施脱根号的过程中要注意对符号的选取.深化升华对于三角函数式的化简，要明确化简的目标和标准。化简的最后结果，三角函数的个数应最少，次数应尽可能地低，能化为常数的一定要化为常数，能不用分式就尽可能地不用分式。例4求sin6°cos24°sin78°cos48°的值。思路分析：将78°的正弦值化为12°的余弦值，重复利用二倍角公式化简求值。解：由于sin78°=cos12°，所以原式=sin6°cos12°cos24°cos48°==·=·=·=.方法归纳形如cosαcos2αcos4α…cos2n-1α(n∈N且n＞1)或能够化为cosαcos2αcos4α…cos2n—1α(n∈N且n＞1)的三角函数式，由于它们的角是2倍关系，可将分子、分母同乘以最小角的正弦,运用二倍角公式进行化简。例5求(tan10°—）sin40°的值.思路分析：利用切割化弦，再逆用差角公式和倍角公式.解法一:（tan10°—)sin40°=()sin40°==-1。解法二：(tan10°—)sin40°=（tan10°-tan60°)sin40°=()sin40°=·sin40°==—1.方法归纳(1)根据本题的特点，采用切割化弦是解答本题的关键一步，它为逆用差角公式和倍角公式铺平了道路。（2)在三角函数式的化简或求值的过程中,还要注意利用和、差的三角函数公式，它可将三角函数式化为一个角的三角函数式，为化简或求值提供方便。例6已知tanα=，tanβ=,α、β均为锐角，求α+2β的值。思路分析:根据已知条件选择正切函数,先求出α+2β的正切值,再根据题设条件求出α+2β的范围，并使正切函数在此范围内只有一个值，然后即可求α+2β的值.解:∵tanα=，tanβ=，α、β均为锐角,∴0＜α，β＜.∴0＜α+2β＜.又∵tan2β==，∴tan（α+2β）===1.∴α+2β=.方法归纳在给值求角时，一般是选择一个适当的三角函数，根据题设确定角的范围，利用三角函数的值求出角的大小,其中确定角的范围是一个关键，一定要使角在此范围内和三角函数值是一一对应的.此外也可根据角的范围来选择三角函数的名称。问题·探究交流讨论探究问题是否存在三个内角都适合方程cos2x+2sinxsin2x=2cosx的三角形？探究过程：师：这是一个探索性问题，解决这类题时可先假设结论存在，然后再利用所学知识进行推理，探求结论.如果能求出，则结论存在，否则不存在.对于这个问题考查的知识是什么?学生甲:由于所给的等式中既有单角又有倍角，则用到了二倍角公式。处理这个问题可先从已知条件cos2x+2sinxsin2x=2cosx入手，将二倍角的正弦展开建立关于x的三角方程，再结合三角形三个内角和是π这一性质即可。师：处理这个问题的具体操作步骤是怎样的？学生乙:我知道,显然方程可化为cos2x+4sin2xcosx=2cosx,即cos2x（2cosx-1)=0,解得cos2x=0或cosx=.但接下来怎样求x的值我还不清楚。学生丙：可以三角形这一前提条件，在这一前提下可得x的取值只能是，,。而在这些值中只有++=π，所以存在三个内角都适合cos2x+2sinxsin2x=2cosx的三角形，它是一个正三角形。探究结论:存在，它是一个正三角形。思维陷阱探究问题在处理问题“已知cos（x+)=,≤x＜，求cos（2x+）的值”时，一个同学给出了下面的解题过程:因为cos(x+)=，所以cos（2x+)=2cos2(2x+）—1=2×—1=—。上述解法是否正确？探究过程:二倍角只是一个相对的概念，在公式中角α可以是数、字母或代数式，是一个不可分割的整体。在上面的解题过程中以为2x是x的二倍，则2x+也是x+的两倍了，说明片面地理解了二倍角的概念。而事实上x+的二倍应是2x+。探究结论:上面的解法不正确,正确的