数学教材习题点拨：二项式定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨1．探究：你能仿照上述过程,自己推导出（a＋b）3，（a＋b)4的展开式吗?解：(a＋b)3的展开式略，只推导(a＋b)4的展开式．由于(a＋b)4＝（a＋b)（a＋b)（a＋b)（a＋b），右式展开的每一项是从每个括号里任取一个字母的乘积，因此(a＋b）4展开后各项都是4次式,分别为a4,a3b，a2b2，ab3，b4.从组合的观点来看，组成（a＋b）4的展开式中的每一项，都需要分两个步骤完成，即第一步取b,第二步取a。a4项：从四个因式中都不取b，而全部取a,共有个a4，所以（a＋b）4的展开式的第1项为；a3b项:从四个因式中取出一个因式中的b，再从其余三个因式中全部取a，共有个a3b,所以（a＋b）4的展开式的第2项为；a2b2项:从四个因式中取出两个因式中的b，再从其余两个因式中全部取a,共有个a2b2，所以(a＋b)4的展开式的第3项为；ab3项:从四个因式中取出三个因式中的b,再从其余一个因式中取a，共有个ab3，所以(a＋b）4的展开式的第4项为；b4项：从四个因式中全部取b，而不取a，共有个b4,所以(a＋b)4的展开式的第5项为。因此，。2．？你能用组合意义解释一下这个“组合等式”吗?解：展开式左边是n个(1＋x）相乘,按照取x的个数，可以将乘积中的项分为n＋1类：第1类，n个(1＋x)都取1，即取0个x,共有种取法；第2类，n个(1＋x)中,1个取eq\a\vs4\al(）x，其余取1，共有种取法；第3类,n个（1＋x）中，2个取x，其余取1，共有种取法;……一般地，第k类，n个(1＋x）中,k个取xeq\a\vs4\al()，其余(n－k)个取1，共有种取法；……第n类，n个（1＋x)中全部取x，共有种取法．练习11．解：p7＋7p6q＋21p5q2＋35p4q3＋35p3q4＋21p2q5＋7pq6＋q7.点拨：利用二项式定理直接展开．2．解：T3＝（2a）4·(3b）2＝2160a4b2。点拨:利用二项展开式的通项公式求解．3．解：Tk＋1＝。点拨：利用二项展开式的通项公式求解．4．D点拨:。练习21．（1)n为偶数时，最大值是;当n为奇数时，最大值是与（2)1024(3）点拨：(2）。2．证明：∵，＝，＝＝＝2n，∴.3．解：11121133114641151010511615201561172135352171182856705628811936841261268436911104512021025621012045101点拨：从上行到下行按规律：除端点的1外，每个数都是肩上的两个数之和．习题1.3A组1．解:(1)；（2）.点拨:根据二项式定理直接展开．2．解:(1）（a＋）9＝a9＋9a8＋36a7＋84a6b＋126a5b＋126a4b＋84a3b2＋36a3b2＋9ab2＋b3；(2）.点拨:利用二项展开式的通项公式展开．3．解：（1)2＋20x＋10x2；(2)192x＋432x－1.点拨：利用二项展开式的通项公式展开．4．解：(1）前4项分别是1,－30x,420x2，－3640x3；(2）T8＝－2099520a9b14；(3)T7＝924;(4）展开式的中间两项分别为T8,T9，其中T8＝,T9＝。点拨:利用二项式定理求展开式中的特定项．5．解：(1)令的项是第6项，它的系数是;（2）常数项是第6项，T6＝.6．证明：（1)Tk＋1＝。由2n－2k＝0，得k＝n，即的展开式中常数项是Tn＋1＝(－1)n＝（－1)n＝（－1)n＝(－1)n＝(－2)n。(2）(1＋x）2n的展开式共有2n＋1项，所以中间一项是Tn＋1＝（2x）n。点拨:(1）求常数项就是令通项中的x指数等于0；(2）求中间项要先看总的项数是多少,然后确定是求第几项．7．解:r01234567Cr7172135352171点拨:按列表描点的思路，图象是8个点．有对称性．8．解：展开式的第4项与第8项的二项式系数分别是与,由＝，得3＝n－7,即n＝10，所以这两个二项式系数分别是与,即120。点拨：根据二项式系数及组合数的性质求出n的值，进而解决问题．B组1．解:(1)∵（n＋1)n－1＝＋…＋＝＋…＋n2＋n2＝n2(nn－2＋＋＋…＋），∴（n＋1）n－1能被n2整除．(2)9910－1＝（100－1）10－1＝10010－·1009＋·1008＋…＋·1002－·100＋1－1＝10010－·1009＋·1008＋…＋·1002－10×100＝1000(1017－·1015＋·1013＋…＋·10－1）．∴9910－1能被1000整除．点拨：要想整除需要找