2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第08讲：拓展一：分离变量法解决导数问题(学生版+解析)

第08讲：拓展一：分离变量法解决导数问题目录TOC\o"1-2"\h\u类型一：恒成立（存在问题）求解参数范围 1角度1：完全分离参数法 1角度2：部分分离参数法 3类型二：已知零点个数求解参数范围 4角度1：完全分离参数法 4角度2：部分分离参数法 5高频考点类型一：恒成立（存在问题）求解参数范围角度1：完全分离参数法典型例题例题1．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）已知函数，其中，若不等式恒成立，则实数的取值范围为.例题2．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数．(1)求函数的极值；(2)若恒成立，求实数的取值范围．例题3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数．(1)若，求在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数b的取值范围．练透核心考点1．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）若不等式恒成立，则a的取值范围是.2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当且时，不等式在上恒成立，求的最大值.（2024高三·全国·专题练习）已知函数，在上恒成立，求整数k的最大值.类型二：已知零点个数求解参数范围角度1：完全分离参数法典型例题例题1．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知函数.(1)求函数在点处的切线方程；(2)若，证明：当时，；(3)若在有两个零点，求a的取值范围.例题3．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若有两个不等的实根，求实数的取值范围.练透核心考点1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.2．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数在处的切线方程为.(1)求的解析式；(2)若方程（m为常数）有两个根，求实数m的范围.3．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知函数(1)求函数的单调区间；(2)若方程有两个实数解，求实数的取值范围.角度2：部分分离参数法典型例题例题1．（2024高三上·河南·专题练习）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若函数有且只有一个零点，求的值.练透核心考点1．（23-24高三上·北京·开学考试）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若在上单调递增，求实数的取值范围；(3)当时，判断在零点的个数，并说明理由．第08讲：拓展一：分离变量法解决导数问题目录TOC\o"1-2"\h\u类型一：恒成立（存在问题）求解参数范围 1角度1：完全分离参数法 1角度2：部分分离参数法 7类型二：已知零点个数求解参数范围 11角度1：完全分离参数法 11角度2：部分分离参数法 16高频考点类型一：恒成立（存在问题）求解参数范围角度1：完全分离参数法典型例题例题1．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）已知函数，其中，若不等式恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】恒成立求参数的取值范围，分离参数转化为求函数的最值问题求解即可.【详解】函数，因为在恒成立，所以，在恒成立，在恒成立，令，所以，，得，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.所以，所以，所以实数的取值范围为.故答案为：例题2．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数．(1)求函数的极值；(2)若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)函数的极小值为，无极大值；(2)【分析】（1）利用导数，先判断函数的单调区间，再求函数的极值；（2）首先不等式化简为恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可求解.【详解】（1），令，得，，和的关系，如下表所示，0单调递减极小值单调递增所以函数的极小值为，无极大值；（2）不等式恒成立，即恒成立，即，，恒成立，所以，，设，，，其中，设，，所以在单调递增，因为，，所以存在，使，即，即，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，由，可得，所以，所以.例题3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数．(1)若，求在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数b的取值范围．【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）先求出函数的导函数，进而得出，；再根据点斜式方程即可求解.（2）先求出函数的导函数；再分和两种情况，在每一种情况中借助导数即可解答.（3）先根据函数在处取得极值得出；再将问题“对，恒成立”转化为“对，恒成立”；最后构造函数，并利用导数求出即可解答.【详解】（1）当时，，，则，.所以在处的切线方程为，即.（2）由可得：函数定义域为，.当时，，此时函数在定义域上单调递减；当时，令，解得；令，解得，此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.（3）因为函数在处取得极值，所以，即，解得.此时，令，解得；令，解得，所以函数在处取得极值，故.所以.因为对，恒成立，所以对，恒成立.令，则.令，解得；令，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.则，解得：.所以实数b的取值范围为练透核心考点1．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）若不等式恒成立，则a的取值范围是.【答案】【分析】分类讨论去解析式中的绝对值，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最大值，从而即可得解.【详解】若不等式恒成立，也就是恒成立，函数，定义域为，当时，，，在为减函数，此时；当时，，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时，综上可知，则a的取值范围是.故答案为：.2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当且时，不等式在上恒成立，求的最大值.【答案】3【分析】依题意参变分离可得在上恒成立，则，令，，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出参数的取值范围，即可得解．【详解】当时，，又不等式在上恒成立，则在上恒成立，所以，令，，则，令，，则，在上单调递增，，存在唯一，使，所以，当时即，当时即，所以在上单调递减，在上单调递增，又，即，所以，所以，又，．3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，在上恒成立，求整数k的最大值.【答案】3【分析】分离参数，问题转化为()．设()，利用导数求出的最小值，得解.【详解】由题意，在上恒成立，即()．设()，则，令()，则，所以，在上为增函数．因为，，，所以在上有唯一实数根，使得.当时，，即；当时，，即.即在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，且，所以.由，得整数k的最大值为3.角度2：部分分离参数法典型例题例题1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知关于的不等式解集中恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得的解集中恰有3个不同的正整数解，设，，作出两函数的图象，结合图象分，分别求解即可.【详解】因为，所以.设，，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；又因为是过点的直线，如图所示：

由此可得当时，的解集中有若干个不同的正整数解，不满足题意；当时，要使不等式的解集中恰有3个不同的正整数解，

当过点时，取最小值，因为，此时，当过点时，取最大值，因为，此时，所以的取值范围为.故选：D.例题2．（22-23高二下·浙江杭州·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将不等式转化为，构建，利用导数判断其单调性和最值，根据题意利用数形结合，列式求解即可.【详解】因为，且，可得，构建，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得，且，由题意可得，解得，所以的取值范围是.故选：C.

练透核心考点1．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则的取值范围是【答案】【分析】将不等式等价变形，构造函数，借助导数探讨函数性质，作出函数图象，结合已知列出不等式组，求解即得.【详解】当时，由，得，设，，求导得，由，得，当时，，为减函数，当上，，为增函数，的图象恒过点，在同一坐标系中作出函数，的图象，显然，即，由于有且只有两个整数，使得，则这两个整数要么是2，3，不是1，要么是1，2，不能是3，当时，即，解得，此时，，显然至少有3个整数使得对应的函数值大于0，不符合题意，因此这两个整数是1，2，不能是3，于是，解得，所以的取值范围是．故答案为：2．（22-23高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知不等式的解集中有且只有个整数,则实数的取值范围是.【答案】【分析】因为,设,,本题转化为函数在直线上方的范围中有且只有个整数.先利用导数确定函数的图像,再与直线的图像结合列出不等式组求解即可.【详解】,设,则,当,即当时,函数为增函数;当,即当时,函数为减函数;当时,;当时,,则满足题意的函数的图像与直线图像如图:,

所以,即,解得.故答案为:.类型二：已知零点个数求解参数范围角度1：完全分离参数法典型例题例题1．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，得到，令，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而得出函数值的变化，即可求出结果.【详解】令，得到，令，则，由得到，由，得到，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，又，当时，，当时，，且时，，所以，当函数恰有2个零点时，，故选：A.例题2．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知函数.(1)求函数在点处的切线方程；(2)若，证明：当时，；(3)若在有两个零点，求a的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；（2）利用导数与函数的单调性间的关系，求出在区间的单调性，再求出的最小值，即可证明结果；（3）通过分离常量，得到，构造函数，通过求导得到的单调性，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以，所以，又，所以函数在点处的切线方程为，即.（2）当时，，则，令，则，由，得到，当时，，当，，所以，即恒成立，所以在区间上单调递增，故，命题得证.（3）因为，令，得到，又，所以，令，则，当时，，当时，，所以，又当时，，时，，又在有两个零点，所以.例题3．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若有两个不等的实根，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，得到进而求出切线方程；（2），故只需当时，有且仅有一个实根，参变分离，转化为两函数只有1个交点，求导，得到的单调性，画出其图象，数形结合得到参数的取值范围.【详解】（1）当时，，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）显然，要使方程有两个不等的实根，只需当时，有且仅有一个实根，当时，由方程，得.令，则直线与的图象有且仅有一个交点..又当时，单调递减，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，取得极小值，又当时，，所以，即，当时，，即，所以作出的大致图象如图所示.

由图象，知要使直线与的图象有且仅有一个交点，只需或.综上，若有两个不等的实根，则的取值范围为.练透核心考点1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.【答案】【详解】(解法1)因为f′(x)＝aex－1.①当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在R上单调递减，不可能有两个零点，舍去；②当a＞0时，令f′(x)＝0⇒x＝－lna.且当x∈(－∞，－lna)时，f′(x)＜0，此时，函数f(x)单调递减；当x∈(－lna，＋∞)时，f′(x)＞0，此时，函数f(x)单调递增.因为f(x)有两个不同的零点，所以f(x)min＝f(－lna)＝1＋lna＜0，解得0＜a＜.综上所述，实数a的取值范围是(0，).(解法2)由f(x)＝aex－x＝0，则a＝.令g(x)＝，g′(x)＝，所以g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝.当x→－∞时，g(x)＜0；当x→＋∞时，g(x)＞0，根据函数的图象，若方程a＝有两个不同的解，则a∈(0，).2．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数在处的切线方程为.(1)求的解析式；(2)若方程（m为常数）有两个根，求实数m的范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求得函数的导数，根据切线方程为，得到切点坐标，列出方程组，求得的值，即可求得函数的解析式；（2）根据题意转化为与图象有两个交点问题，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】（1）因为，所以，又因为已知函数在处的切线为，即切点为，所以，解之得，，所以函数的解析式为.（2）因为，所以，令，解得，当，，在为增函数，且时，，时，，当，，在为减函数，且时，，当时，，若方程（m为常数）有两个根，则.故实数m的范围为..3．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知函数(1)求函数的单调区间；(2)若方程有两个实数解，求实数的取值范围.【答案】(1)减区间是，增区间是(2)【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；（2）由（1）得出的极值及变化趋势，利用的图象与直线有两个交点可得参数范围．【详解】（1）由已知，时，，时，，所以的减区间是，增区间是；（2）由（1）知时，取得极小值也是最小值，即，令，，则.由，得，由，得，由，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，取得最大值.又函数，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故