人教版2024-2025学年八年级数学专题14.3乘法公式及其应用(重点题专项讲练)专题特训(学生版+解析)

专题14.3乘法公式及其应用【典例1】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．利用图2正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，请画出图形．（2）已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；（3）已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值；（4）已知（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，求（a﹣2021）2的值．【思路点拨】（1）结合算式拼图即可；（2）由（a+b）2＝a2+2ab+b2可推导出ab=(a+b（3）由ab=(a+b（4）设a﹣2020＝x，a﹣2022＝y，则x﹣y＝2，由（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，可推得xy=(【解题过程】解：（1）如图，可以验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2），∴ab=(a+b又∵a+b＝5，a2+b2＝13，∴ab=5（3）设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，则x+y＝1，∵（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，∴x2+y2＝4043，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴xy=(x+y即（2021﹣a）（a﹣2020）＝xy＝﹣2021；（4）设a﹣2020＝x，a﹣2022＝y，则x﹣y＝2，∵（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，∴x2+y2＝64，∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，∴xy=∵x﹣y＝2，∴（a﹣2021）2＝（a﹣2021）（a﹣2021）＝（x﹣1）（y+1）＝xy+x﹣y﹣1＝30+2﹣1＝31．1．（2021春•莱山区期末）如果用平方差公式计算（x﹣y+5）（x+y+5），则可将原式变形为（）A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y] C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]2．（真题•安居区期末）若x2+2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m的值等于（）A．2 B．3 C．2或﹣2 D．﹣1或33．（真题•南安市期中）设a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝10532﹣7472，则数a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．（2021春•常德期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab5．（2021春•镇江期中）小妍将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小磊将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（）A．4041 B．2021 C．2020 D．16．（2021•宝安区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．20237．（真题•凤山县期末）已知x2﹣3x+1＝0，则x2+x﹣2+3值为（）A．10 B．9 C．12 D．38．（真题•高青县期中）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（）A．16cm2 B．15cm2 C．312cm2 D．6349．（2021春•芝罘区期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是．10．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）•…•（232+1）+1的结果的个位数字为．11．（真题•莱州市期中）用简便方法进行计算：（1）20212﹣4040×2021+20202．（2）20002﹣19992+19982﹣19972+…+22﹣12．12．（真题•玉州区期中）已知x+1x=136且0＜x13．（真题•仁寿县期末）阅读下列文字，寻找规律，解答下列各小题．已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5（1）观察上式计算：（1﹣x）（1+x+x2+…+xm）＝．（2）计算：①（1﹣2）（1+2+22+23+…+22022）；②2+22+23+24+…+2m．14．（真题•长春期末）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为x，宽为y（x＞y）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（x﹣y）2、（x+y）2、xy三者之间的等量关系式：；【知识迁移】如图2所示的大正方体是由若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式：；【成果运用】利用上面所得的结论解答：（1）已知x＞y，x+y＝3，xy=54，求x﹣（2）已知|a+b﹣4|+（ab﹣2）2＝0，则a3+b3＝．15．（真题•花都区期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．方法1：；方法2：；请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：．（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．16．（2021春•电白区月考）问题再现：初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．（1）例如：利用图①的几何意义推证，将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，这个大正方形的面积可以用两种形式表示，分别用代数式表示为或，这就验证了乘法公式（用式子表达）；（2）问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：13+23＝32？如图②，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B，C，D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A，B，C，D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形，由此可得：13+23＝（1+2）2＝32＝9．尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证，然后求值：13+23+33＝．（要求自己构造图形并写出推证过程）．（3）问题拓广：（要求直接求出具体数值，不必有构造图形、推证过程）请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+103＝．17．（真题•东城区校级期中）老师在黑板上写出了一道思考题：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．（1）爱思考的小明同学想到了一种方法：先用b表示a，a＝2﹣b；再把a＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝+b2；再进行配方得到：a2+b2＝2（b﹣）2+；根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是．（2）请你根据小明的方法，当x+y＝10时，求x2+y2的最小值．18．（真题•十堰期末）阅读、理解、应用．例：计算：20163﹣2015×2016×2017．解：设2016＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1）•x•（x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2016．请你利用上述方法解答下列问题：（1）计算：1232﹣124×122；（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；（3）计算：(119．（真题•西山区校级期中）问题情境：阅读：若x满足（8﹣x）（x﹣6）＝3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．解：设（8﹣x）＝a，（x﹣6）＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝3，a+b＝（8﹣x）+（x﹣6）＝2，所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×3＝﹣2．请仿照上例解决下面的问题：问题发现（1）若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值．类比探究（2）若x满足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝2019，求（2021﹣x）（2020﹣x）的值．拓展延伸（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求四边形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．20．（2021•沙坪坝区校级开学）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊗（c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2）⊗（3，4）＝1²+4²﹣2×3＝11．（1）若（2x，kx）⊗（﹣2y，y）是一个完全平方式，求常数k的值；（2）若2x+y＝18，且（3x+y，2x2+3y2）⊗（3，x﹣3y）＝204，求xy的值；（3）在（2）问的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF，EG．若AB＝2x，BC＝2nx，CE＝y，CG＝ny，图中阴影部分的面积为168，求n的值．专题14.3乘法公式及其应用【典例1】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．利用图2正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，请画出图形．（2）已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；（3）已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值；（4）已知（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，求（a﹣2021）2的值．【思路点拨】（1）结合算式拼图即可；（2）由（a+b）2＝a2+2ab+b2可推导出ab=(a+b（3）由ab=(a+b（4）设a﹣2020＝x，a﹣2022＝y，则x﹣y＝2，由（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，可推得xy=(【解题过程】解：（1）如图，可以验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2），∴ab=(a+b又∵a+b＝5，a2+b2＝13，∴ab=5（3）设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，则x+y＝1，∵（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，∴x2+y2＝4043，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴xy=(x+y即（2021﹣a）（a﹣2020）＝xy＝﹣2021；（4）设a﹣2020＝x，a﹣2022＝y，则x﹣y＝2，∵（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，∴x2+y2＝64，∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，∴xy=∵x﹣y＝2，∴（a﹣2021）2＝（a﹣2021）（a﹣2021）＝（x﹣1）（y+1）＝xy+x﹣y﹣1＝30+2﹣1＝31．1．（2021春•莱山区期末）如果用平方差公式计算（x﹣y+5）（x+y+5），则可将原式变形为（）A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y] C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]【思路点拨】能用平方差公式计算式子的特点是：（1）两个二项式相乘，（2）有一项相同，另一项互为相反数．把x+5看作公式中的a，y看作公式中的b，应用公式求解即可．【解题过程】解：（x﹣y+5）（x+y+5）＝[（x+5）﹣y][（x+5）+y]．故选：B．2．（真题•安居区期末）若x2+2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m的值等于（）A．2 B．3 C．2或﹣2 D．﹣1或3【思路点拨】根据完全平方公式的特征即可得到m的值．【解题过程】解：∵x2+2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，∴2（m﹣1）＝±2×2，m﹣1＝±2，解得m＝﹣1或3．故选：D．3．（真题•南安市期中）设a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝10532﹣7472，则数a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【思路点拨】逆用平方差公式，进行变形即可得出答案．【解题过程】解：∵a＝361×918，b＝（888﹣30）×（888+30）＝858×918，c＝（1053+747）×（1053﹣747）＝1800×306＝600×918，∴a＜c＜b，故选：B．4．（2021春•常德期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab【思路点拨】由面积的和差关系可求解即可．【解题过程】解：根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：C．5．（2021春•镇江期中）小妍将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小磊将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（）A．4041 B．2021 C．2020 D．1【思路点拨】依据完全平方公式求出c1和c2，即可得到c1﹣c2＝20212﹣20202，进而得出结论．【解题过程】解：∵（2020x+2021）2＝20202x2+2×2020×2021x+20212＝a1x2+b1x+c1，∴c1＝20212，∵（2021x﹣2020）2＝20212x2﹣2×2021×2020x+20202＝a2x2+b2x+c2，∴c2＝20202，∴c1﹣c2＝20212﹣20202＝（2021+2020）（2021﹣2020）＝4041，故选：C．6．（2021•宝安区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【思路点拨】除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数．【解题过程】解：设k是正整数，∵（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，B，D选项都是智慧数，不符合题意；∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以A选项是智慧数，不符合题意，C选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．故选：C．7．（真题•凤山县期末）已知x2﹣3x+1＝0，则x2+x﹣2+3值为（）A．10 B．9 C．12 D．3【思路点拨】根据负整数指数幂和完全平方公式对原式进行变形，然后利用等式的性质求得x+1【解题过程】解：原式＝x2+1＝（x+1x）＝（x+1x）∵x2﹣3x+1＝0，∴x﹣3+1∴x+1∴原式＝32+1＝9+1＝10，故选：C．8．（真题•高青县期中）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（）A．16cm2 B．15cm2 C．312cm2 D．634【思路点拨】由题意可求得x2+2xy+y2＝64和x2﹣2xy+y2＝1，则可求得xy的值，此题得以求解．【解题过程】解：由题意得，2（x+y）＝16，∴（x+y）＝8，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝82＝64，∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝（x﹣y﹣1）2＝0，∴x﹣y＝1，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1，∴（x2+2xy+y2）﹣（x2﹣2xy+y2）＝4xy＝64﹣1＝63，∴xy=63∴该长方形的面积为634故选：D．9．（2021春•芝罘区期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是．【思路点拨】直接逆用平方差公式得出即可．【解题过程】解：∵x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝39，∴x﹣2y＝3．故答案为：3．10．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）•…•（232+1）+1的结果的个位数字为．【思路点拨】先将原式进行计算得到264，再判断264的个位数字即可．【解题过程】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）•…•（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）•…•（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）•…•（232+1）+1＝264﹣1+1＝264，而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，……又因为64÷4＝16，所以264的个位数字是6，故答案为：6．11．（真题•莱州市期中）用简便方法进行计算：（1）20212﹣4040×2021+20202．（2）20002﹣19992+19982﹣19972+…+22﹣12．【思路点拨】根据完全平方公式和平方差公式解答即可．【解题过程】解：（1）原式＝20212﹣2×2020×2021+20202＝（2021﹣2020）2＝1；（2）20002﹣19992+19982﹣19972+…+22﹣12＝（2000+1999）（2000﹣1999）+（1998+1997）（1998﹣1997）+…+（2+1）（2﹣1）＝2000+1999+1998+1997+…+2+1＝（2000+1）+（1999+2）+（1998+3）+…（1001+1000）＝2001×1000＝2001000．12．（真题•玉州区期中）已知x+1x=136且0＜x【思路点拨】根据完全平方公式进行变形求解．【解题过程】解：原式＝（x+1x）（x∵x+1∴（x+1x）2∴x2+1x2∴（x−1x）2＝x2﹣2+1又∵0＜x＜1，∴x−1∴x−1∴原式=1313．（真题•仁寿县期末）阅读下列文字，寻找规律，解答下列各小题．已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5（1）观察上式计算：（1﹣x）（1+x+x2+…+xm）＝．（2）计算：①（1﹣2）（1+2+22+23+…+22022）；②2+22+23+24+…+2m．【思路点拨】（1）观察上面的式子得出规律，即可得出答案；（2）①当x＝2时即可得出答案；②当x＝2时，（1﹣2）（1+2+22+23+…+2m）＝1﹣2m+1，等式两边都除以﹣1，再减去1即可得出答案．【解题过程】解：（1）观察上面的式子得到原式＝1﹣xm+1，故答案为：1﹣xm+1；（2）①当x＝2时，原式＝1﹣22023；②当x＝2时，（1﹣2）（1+2+22+23+…+2m）＝1﹣2m+1，∴1+2+22+23+…+2m＝2m+1﹣1，∴原式＝2m+1﹣2．14．（真题•长春期末）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为x，宽为y（x＞y）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（x﹣y）2、（x+y）2、xy三者之间的等量关系式：；【知识迁移】如图2所示的大正方体是由若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式：；【成果运用】利用上面所得的结论解答：（1）已知x＞y，x+y＝3，xy=54，求x﹣（2）已知|a+b﹣4|+（ab﹣2）2＝0，则a3+b3＝．【思路点拨】知识生成：用两种方法表示同一个图形面积即可．知识迁移：用两种方法表示同一个几何体体积即可．成果应用：利用前面得到的关系变形计算．【解题过程】解：知识生成：图1中阴影部分面积可以表示为：（a﹣b）2，还可以表示为：（a+b）2﹣4ab．∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．知识迁移：图2中几何体的体积为：（a+b）3，还可以表示为：a3+3a2b+3ab2+b3．（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．成果应用：（1）∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝9﹣5＝4．∴x﹣y＝±2．∵x＞y，∴x﹣y＝2．（2）∵|a+b﹣4|+（ab﹣2）2＝0，∴a+b﹣4＝0，ab﹣2＝0．∴a+b＝4，ab＝2．∴a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b）＝64﹣3×2×4＝40．故答案为：40．15．（真题•花都区期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．方法1：；方法2：；请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：．（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．【思路点拨】（1）由观察图2可得两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，关于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由题意得，a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25，两个等式作差可求得此题结果；（3）由题意得b22+a【解题过程】解：（1）用两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，关于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由题意得，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25，∴ab=(a+b（3）由题意得图3中阴影部分的面积为：b22+a∴当a+b＝8，ab＝15时，图3中阴影部分的面积为：8216．（2021春•电白区月考）问题再现：初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．（1）例如：利用图①的几何意义推证，将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，这个大正方形的面积可以用两种形式表示，分别用代数式表示为或，这就验证了乘法公式（用式子表达）；（2）问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：13+23＝32？如图②，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B，C，D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A，B，C，D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形，由此可得：13+23＝（1+2）2＝32＝9．尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证，然后求值：13+23+33＝．（要求自己构造图形并写出推证过程）．（3）问题拓广：（要求直接求出具体数值，不必有构造图形、推证过程）请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+103＝．【思路点拨】（1）用两种方法分别表示大正方形的面积，根据面积相等得出乘法公式；（2）可以利用相同的方法进行探究推证，构成大正方形有9个基本图形（3个正方形6个长方形）组成，如图所示可以推证；（3）根据（2）推导过程，得出规律，根据规律计算即可．【解题过程】解：（1）大正方形的边长为（a+b），所以面积可以表示为：（a+b）2，也可以用两个矩形和两个正方形的面积的和来表示，即a2+2ab+b2，根据面积相等得到乘法公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2；a2+2ab+b2；（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13；B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此B、C、D就可以拼成2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23；G与H、E与F和I可以拼成3个3×3的正方形，即：3×3×3＝33；而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，因此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62＝36．故答案为：36．（3）根据规律可得：13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2．依据规律得：13+23+33+...+103＝（1+2+3+...+10）2＝552＝3025．故答案为：3025．17．（真题•东城区校级期中）老师在黑板上写出了一道思考题：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．（1）爱思考的小明同学想到了一种方法：先用b表示a，a＝2﹣b；再把a＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝+b2；再进行配方得到：a2+b2＝2（b﹣）2+；根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是．（2）请你根据小明的方法，当x+y＝10时，求x2+y2的最小值．【思路点拨】（1）根据小明的思路得到关于b的代数式，根据平方的非负性即可求得最小值；（2）根据小明的思路得到关于x的代数式，根据平方的非负性即可求得最小值．【解题过程】解：（1）∵a+b＝2，∴a＝2﹣b；代入a2+b2得到：a2+b2＝（2﹣b）2+b2＝4﹣4b+b2+b2＝2b2﹣4b+4＝2（b﹣1）2+2；根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是2；故答案为：2﹣b，1，2，2；（2）∵x+y＝10，∴y＝10﹣x；∴x2+y2＝x2+（10﹣x）2＝2x2﹣20x+100＝2（x﹣5）2+50；根据完全平方式的非负性，就得到了x2+y2的最小值是50．根据小明的方法，当x+y＝10时，x2+y2的最小值是50．18．（真题•十堰期末）阅读、理解、应用．例：计算：20163﹣2015×2016×2017．解：设2016＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1）•x•（x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2016．请你利用上述方法解答下列问题：（1）计算：1232﹣124×122；（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；（3）计算：(1【思路点拨】（1）仿照例题的思路，设123＝x，则124＝x+1，122＝x﹣1，然后进行计算即可；（2）仿照例题的思路分别计算出M，N的值，然后进行比较即可；（3）仿照例题的思路，设12+13【解题过程】解：（1）设123＝x，∴1232﹣124×122＝x2﹣（x+1）（x﹣1）＝x2﹣x2+1＝1；（2）设123456786＝x，∴M＝123456789×123456786＝（x+3）•x＝x2+3x，N＝123456788×123456787＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，∴M＜N；（3）设12+13∴(＝（x+12021）（1+x）﹣（1+x+＝x+x2+12021+12021x﹣x=119．（真题•西山区校级期中）问题情境：阅读：若x满足（8﹣x）（x﹣6）＝3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．解：设（8﹣x）＝a，（x﹣6）＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝3，a+b＝（8﹣x）+（x﹣6）＝2，所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×3＝﹣2．请仿照上例解决下面的问题：问题发现（1）若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值．类比探究（2）若x满足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝2019，求（2021﹣x