2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第07讲利用导数研究双变量问题(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

A． B．C． D．8．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，，函数，若，不等式成立，则实数的取值范围A． B．C． D．二、多选题9．（23-24高三上·河南商丘·阶段练习）已知函数，，则（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．，， D．，，10．（22-23高二下·广东汕头·期中）已知函数，，若，，则的取值可能是（

）A． B． C． D．三、填空题11．（23-24高三上·山东德州·阶段练习）若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是．12．（2023高三·全国·专题练习）已知函数当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围.四、解答题13．（22-23高三上·山东泰安·期末）已知函数，.(1)当时，求函数的曲线上点处的切线方程；(2)当时，求的单调区间；(3)若有两个极值点其中，求的最小值.14．（22-23·陕西·模拟预测）已知，函数.（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直,求的值；（2）设,若对任意的,且,都有，求的取值范围．15．（22-23·辽宁·一模）已知函数（为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围.16．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数．(1)求函数的单调区间；(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．C综合素养1．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）对于函数、、，如果存在实数使得，那么称为、的生成函数.（1）下面给出两组函数，是否分别为、的生成函数？并说明理由；第一组：，，；第二组：，，；（2）设，，取，生成函数图象的最低点坐标为.若对于任意正实数，且，试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由.第07讲利用导数研究双变量问题(分层精练）B能力提升C综合素养（新定义解答题）B能力提升1．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（

）．A．1 B．C． D．【答案】D【分析】令，将都用表示，从而可将构造出关于的函数，再利用导数求出函数的最小值即可.【详解】解：由题意，令，则，，所以，，，令，所以，令，得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，有最小值，即的最小值为.故选：D．2．（22-23高三上·山东烟台·期中）若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】将不等式变式为，设后转化为恒成立，只需求函数的最大值即可.【详解】因为，所以，设，则，，令恒成立，故单调递减，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；.故所以，得到.故选:A.3．（22-23高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，若，则可取（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】探讨函数在上单调性，由已知可得，再构造函数并求出其最小值即可判断作答.【详解】依题意，由得，令，函数在上单调递增，由得，则，由得：，又，于是得，，令，求导得，当时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，当时，，且，，，且，，故即，显然选项A符合要求，选项B，C，D都不符合要求.故选：A4．（22-23高三下·安徽安庆·阶段练习）已知，都是正整数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意得，构造函数求解即可.【详解】因为，所以，令，所以，故在上单调递增，由已知得，故，因为，都是正整数，即.故选：A.5．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若实数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意将原不等式化简为，令，可知原不等式等价于，再令，则原不等式等价于；再利用导数求出函数单调性，进而可得，由此可知只有当时，即时才满足，据此即可求出的值，进而求出结果.【详解】∵∴，即

∴，设，则有，即，∴，令，则，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴，即，要使成立等价于成立，只有当时，即时才满足，∴∴，∴.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对原不等式的变形，将其变形成，再进行换元、构造辅助函数，借助函数的最值和唯一性求解.6．（22-23高三·全国·专题练习）已知函数，若，且，则的最小值为A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意得到，由，得到，所以，构造函数，利用导数求出的最小值即可.【详解】由题可知当时，函数单调递增，，当时，，设，则必有，所以，所以，所以，设，则，则时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，所以的最小值为.故选：C【点睛】本题主要考查利用导数解决双变量问题，将一个变量由另一个变量表示，构造新的函数即可求解，注意变量的范围，考查学生分析转化能力，属于中档题.7．（22-23湖南长沙·二模）已知函数满足对于任意，存在，使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由函数在定义域单调递增，原不等式成立可转化为，通过研究函数的最值建立不等式求解即可得a的取值范围.【详解】由函数在定义域单调递增，对于任意，存在，使得成立，即任意，存在，使得成立，即满足，令，对称轴方程为，在可得令，求导可得，，可得，在，，单调递增，所以在，，即，解得，故选C.【点睛】本题为函数与导数的综合应用题，考查函数的单调性、导数的应用等知识点，解题的关键是将含有量词的不等式转化为求函数最值问题，再借助导数和函数的性质求解最值建立不等式即可，属于中等题.8．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，，函数，若，不等式成立，则实数的取值范围A． B．C． D．【答案】C【详解】试题分析：由题意，当时，，当时，，所以当时，，又，因此当时，，当时，，即当时，，最小值为－8，，令，得或，由易得是极小值点，是极大值点，，，由题意，．故选C．考点：不等式恒成立，函数的值域．【名题点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是命题中量词的理解与命题的转化，若，不等式成立，即在上，函数的最小值大于或等于的最大值．函数是三次函数，可由导数的性质求得最大值，而函数是分段函数，由分段函数的定义可在每一个区间（分为有三个区间）上的值域，然后求出并集，得值域．二、多选题9．（23-24高三上·河南商丘·阶段练习）已知函数，，则（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．，， D．，，【答案】AC【分析】利用导数判断的单调性，可判断AB；构造函数，根据导数判断的单调性，利用单调性可判断CD.【详解】，即，当时，，故在上单调递增，故A正确，B错误；令，则，因为在上单调递增，又，所以所以，所以在上单调递增，所以，，所以，故C正确，D错误.故选：AC.10．（22-23高二下·广东汕头·期中）已知函数，，若，，则的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由已知条件可推得，即有，结合目标式化简可得，令，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为的最小值，根据最小值进行选择即可.【详解】由题意，，得，∴，即，又，得∵在上单调递增，∴综上知：，∴，令，，则∴，得；，得；故在上单调递减，在上单调递增.∴，A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项符合题意；C：显然符合题意；D：因为，所以本选项不符合题意，故选：BC【点睛】关键点睛：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值.三、填空题11．（23-24高三上·山东德州·阶段练习）若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数在区间上的取值集合，再借助集合的包含关系列式求解作答.【详解】由，得，令，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，取最大值，最大值为0；又，，如下图，令，显然函数在上单调递减，函数的值域为，由对任意的，总存在唯一的，使得成立，得，因此，解得.所以实数的取值范围是.故答案为：.12．（2023高三·全国·专题练习）已知函数当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围.【答案】【分析】求出的单调性，将绝对值去掉后得，构造新函数，这样就知道了函数的单调性，分离参量求导，得实数的取值范围【详解】不妨设.因为，所以，所以在上单调递增，即.又因为在上也单调递增，所以.所以不等式即为，即，设，即，则，因此在上单调递减.于是在上恒成立，即在上恒成立.令，则，即在上单调递增，因此在上的最小值为，所以，故实数的取值范围是.故答案为：四、解答题13．（22-23高三上·山东泰安·期末）已知函数，.(1)当时，求函数的曲线上点处的切线方程；(2)当时，求的单调区间；(3)若有两个极值点其中，求的最小值.【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据导数的几何意义得到，，得到结果；（2）对函数求导分情况讨论导函数的正负，从而得到单调区间；（3）构造函数研究函数的单调性，得到函数的变化趋势，进而得到函数最值．【详解】（1）当时，所以，，又，过切点的切线方程为，即：.（2）由题意得：，,令,①当,即，则恒成立，即恒成立，在上单调递增.②当时，即，令,即，解得：或令，解得：综上，当时，的单调增区间为，当时，单调增区间为，单调减区间为.（3）由（2）知，，，由题意知，是方程的两根,，，，令当时，,所以，在上单调递减，即的最小值为.14．（22-23·陕西·模拟预测）已知，函数.（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直,求的值；（2）设,若对任意的,且,都有，求的取值范围．【答案】（１）,或；（２）．【详解】试题分析：（１）由得可得的值，由在上得，则在上可得等式，求得的值；（２）本题可转化为在上是增函数，求转化为一元二次不等式恒成立问题，可得的取值范围．试题解析：（1）,依题意有,且,可得,解得,或.（2）.不妨设,等价于.设,则对任意的,且,都有,等价于在上是增函数.,可得,依题意有,对任意,有恒成立.由,可得.考点：导数的几何意义；构造函数．15．（22-23·辽宁·一模）已知函数（为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）0；（2）或．【详解】试题分析：（1）求导得，根据导数的符号即可求出的单调区间（2）如果存在，使得成立，那么由题设得，求导得由于含有参数，故分情况讨论，分别求出的最大值和最小值如何分类呢？由得，又由于故以0、1为界分类当时，在上单调递减；当时，在上单调递增以上两种情况都很容易求得的范围当时，在上单调递减，【分析】（1）求导，对分类讨论求解单调区间；（2）不等式成立，转化为，然后求解函数的最大与最小值列出不等式求解．【详解】（1），（1）当时，，，的减区间是．（2）当时，，的减区间是．（3）当时，，，的增区间是，，的减区间是．综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是.（2），，因为存在实数，使得不等式成立，，，，,，，单减，，，单增．．，，，．C综合素养1．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）对于函数、、，如果存在实数使得，那么称为、的生成函数.（1）下面给出两组函数，是否分别为、的生成函数？并说明理由；第一组：，，；第二组：，，；（2）设，，取，生成函数图象的最低点坐标为.若对于任意正实数，且，试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）第一组：是，理由见解析；第二组：不是，理由见解析；（2）存在，289.【解析】（1）根据新函数定义：存在实数使得，判定第一组和第二组是否为生成函数即可；（2）根据新函数定义求出函数解析式，结合条件和，得到函数的解析式，转化成求在上的最值问题.【详解】解：（1）第一组：是、的生成函数，因为存在使，第二组