2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第02讲平面向量基本定理及坐标表示(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

第02讲平面向量基本定理及坐标表示(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）A夯实基础一、单选题1．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）若向量，则（

）A．1 B． C． D．42．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知，用，表示，则等于（

）A． B．C． D．3．（2024·四川广安·二模）已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）若向量，则（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在锐角中，为边上的高，，，则的值为（

）A． B． C． D．6．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，为的重心，满足，则（

）A． B． C．0 D．7．（2024·福建漳州·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（

）A． B． C． D．(1)用分别表示向量，;(2)求证:B，E，F三点共线.14．（23-24高一下·天津静海·阶段练习）已知向量，．(1)求的值；(2)求及向量在向量上的投影向量的坐标；(3)若，且、、三点共线，求的值．15．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）在第六章平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都没学到.现在我们重新定义一种向量的乘法运算：若，，则.请按这种运算，解答如下两道题.(1)已知，，求.(2)已知，，求.B能力提升1．（2024·四川宜宾·二模）已知向量，向量满足，，则（）A． B． C． D．2．（23-24高一下·重庆万州·阶段练习）在三角形中，点是在边上且边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（22-23高三上·全国·阶段练习）在平行四边形中，，，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．84．（2024·云南红河·二模）如图，在棱长均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，则的最小值为.5．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，正方形中，分别为线段上的点，满足，连接交于点．

(1)求证：；(2)设，求的最大值和的最大值.C综合素养（新定义解答题）1．（22-23高一下·北京·期中）对平面向量，定义.(1)设，求；(2)设，，，，，点是平面内的动点，其中是整数.（ⅰ）记，，，，的最大值为，直接写出的最小值及当取最小值时，点的坐标.（ⅱ）记.求的最小值及相应的点的坐标.第02讲平面向量基本定理及坐标表示(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）A夯实基础一、单选题1．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）若向量，则（

）A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求解即得.【详解】向量，所以，即.故选：C2．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知，用，表示，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量减法，将用表示，然后整理可得.【详解】因为，所以，整理得.故选：C3．（2024·四川广安·二模）已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的数乘运算，向量坐标与终点、始点的关系可解.【详解】因为，分别为，的中点，所以，设，又，所以即，解得.故选：A

4．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）若向量，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合向量的运算法则，即可求解.【详解】由向量，可得.故选：C.5．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在锐角中，为边上的高，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据锐角三角函数及得到，即可得到，再由平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、，即可得解.【详解】如图在锐角中，为边上的高，所以，，又，所以，所以，则，所以，又，所以，所以.故选：C

6．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，为的重心，满足，则（

）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案.【详解】设相交于点，为的重心，

可得为中点，，，所以，所以.故选：C.7．（2024·福建漳州·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.【详解】，故选：D．

8．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物“萘”可以用下左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知与为全等的正六边形．若点为右边正六边形的边界（包括顶点）上的动点，且向量，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由“等和线定理”结合图形分析得解.【详解】由平面向量共线定理可得，，，则三点共线的充要条件是.下面先证明“等和线定理”，如图，设，，因为三点共线，所以存在，使得.，，，则.由“等和线定理”结合图形可知：当点在上时，易得，当点在上时，易得，当点在上时，易得，当点在上时，易得，当点在上时，易得，当点在上时，易得，综上，可得.故选：C．二、多选题9．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则实数的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】AC【分析】首先表示出、，依题意可得，根据平面向量共线定理得到，从而得到关于、的方程组，解得即可.【详解】因为，，，所以，，又向量，不共线，，，三点共线，所以，则，即，所以，解得或.故选：AC10．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）若三点共线，则m的值为（

）A．－2 B．－13 C．2 D．13【答案】CD【分析】利用平面向量共线的坐标表示计算即可.【详解】由题意可知，因为三点共线，则共线，不妨设，则或13.故选：CD三、填空题11．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若则.【答案】【分析】根据向量基本定理得到答案.【详解】因为E为AD中点，所以，因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以，所以.故答案为：12．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）已知：点和向量，若，则点B的坐标是．【答案】【分析】设，利用向量共线的关系，列出方程求解即可.【详解】设，则，所以，解得：.所以点B的坐标是.故答案为：.四、解答题13．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）如图，在中，D，F分别是BC，AC的中点，，，.(1)用分别表示向量，;(2)求证:B，E，F三点共线.【答案】(1)，；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合几何图形用基底表示向量即得.（2）由（1）的信息，利用共线向量的定理推理即可.【详解】（1）在中，由D是BC的中点，得，而，于是又F是AC的中点，所以.（2）由（1）知，，因此，即，而有公共点，所以B，E，F三点共线.14．（23-24高一下·天津静海·阶段练习）已知向量，．(1)求的值；(2)求及向量在向量上的投影向量的坐标；(3)若，且、、三点共线，求的值．【答案】(1)(2)，，(3)【分析】（1）首先求出的坐标，再由坐标法求出向量的模；（2）由坐标法求出、，再根据投影向量的定义计算可得；（3）首先求出、的坐标，依题意，根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】（1）∵，，∴，∴；（2），，∴，；向量在向量上的投影向量为.（3）、、三点共线，，，，.15．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）在第六章平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都没学到.现在我们重新定义一种向量的乘法运算：若，，则.请按这种运算，解答如下两道题.(1)已知，，求.(2)已知，，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用新定义计算即可；（2）设，利用新定义计算，列方程组求解.【详解】（1）因为，，，所以；（2）设，因为，，所以，因为，所以，解，得，即.B能力提升1．（2024·四川宜宾·二模）已知向量，向量满足，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出，根据题意利用向量的坐标运算列式运算求解.【详解】设，则，由，得，又，得，即，联立，解得..故选：C.2．（23-24高一下·重庆万州·阶段练习）在三角形中，点是在边上且边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】将和都用和表示出来，然后利用列式计算即可.【详解】由题意，，则，同理可得：，因为直线和直线交于点,所以存在使，即，两式作商得解得.故选：C.3．（22-23高三上·全国·阶段练习）在平行四边形中，，，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得，从而得解.【详解】，，，，，，，．故选：D．4．（2024·云南红河·二模）如图，在棱长均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，则的最小值为.【答案】(1)证明见解析(2)的最大值为1；的最大值为【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用平面向量证明垂直关系；（2）根据三点共线可得，利用向量的坐标运算可得，进而结合基本不等式求最值.【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，

不妨设，则，可得，因为，可知，所以.（2）因为三点共线，且，可知，由（1）可知，则，又因为，则，可得，则，若，则；若，则，当且仅当，即时，等号成立；综上所述：的最大值为1；又因为，当且仅当，即时，等号成立；所以的最大值为.C综合素养（新定义解答题）1．（22-23高一下·北京·期中）对平面向量，定义.(1)设，求；(2)设，，，，，点是平面内的动点，其中是整数.（ⅰ）记，，，，的最大值为，直接写出的最小值及当取最小值时，点的坐标.（ⅱ）记.求的最小值及相应的点的坐标.【答案】(1)5(2)（i）的最小值为，；（ii）的最小值为13，【分析】（1）根据题意直接求解即可；（2）（i）先证明充分性，设，其中，从而由绝对值不等式性质得到，此时，点的坐标为，再说明必要性；（ii）设点的坐标为，表达出，，，分别求出和的最小值，进而得到的最小值及此时点的坐标.【详解】（1）当时，；（2）（i）的最小值为，此时点的坐标为.一方面，