人教版2024-2025学年九年级数学上册23.2旋转中的几何综合(压轴题专项讲练)(学生版+解析)

专题23.2旋转中的几何综合典例分析典例分析【典例1】旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．（1）【探究发现】如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA=2，PB=3，PC=1，求∠BPC的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连接AP'、PP'，则△BPC下面是小明的部分解答过程：解：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段．BP'，连接AP∵BP=BP'，∴△PBP∴∠BP'P=60°∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，BC=BA，∴∠ABC−∠ABP=∠P即∠PBC=∠P请你补全余下的解答过程．（2）【类比迁移】如图②，在正方形ABCD内有一点P，且PA=17，PB=22，PC=1，则（3）【拓展延伸】如图③，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，在直线AD上方有一点P，PA=4，PD=2，连接PO，则线段PO的最大值为______．【思路点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是利用旋转变换把将分散的条件相对集中到一个三角形中解决问题．（1）将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，证明△PBC≌△P（2）将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP'，证明△PBC≌△P（3）将线段OP绕点O顺时针旋转90°得到线段OP'，证明△POA≌△P'OD，在△PD【解题过程】（1）解：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连接AP∵BP=BP'，∴△PBP∴∠BP'P=60°∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，BC=BA，∴∠ABC−∠ABP=∠P即∠PBC=∠P∴△PBC≌△∴PC=A在△APPA∴∠A∴∠A∴∠BPC=∠BP（2）解：将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP'，连接AP∵BP=BP'，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BC=BA，∴∠ABC−∠ABP=∠P即∠PBC=∠P∴△PBC≌△∴PC=A在△APPA∴∠A∴∠A∴∠BPC=∠BP故答案为：135°．（3）解：将线段OP绕点O顺时针旋转90°得到线段OP'，连接DP'、∵OP=OP'，∴△POP∴∠BP'P=45°∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，OA=OD，∴∠AOD−∠POD=∠P即∠POA=∠P∴△POA≌△∴PA=在△DPP'当点D在PP'∴∴PP'在Rt△POP∴O∴OP=2∴OP的最大值为32学霸必刷学霸必刷1．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，△ABC与△EBD均为等边三角形，将△EBD绕点B逆时针旋转，旋转角为α（其中0°<α<180°），连接AE，CD，M是AE的中点，BC=7（1）求证：AE=CD；（2）如图2，连接DM，当ED的延长线经过点C时，请判断四边形MEBD的形状，并说明理由；（3）如图3，连接CM，若BD=2，在△EBD绕点B旋转的过程中，求CM的最大值．2．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点，过G作GE⊥GF分别交AB、AC于点E、F

（1）如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证：AE+AF=2（2）如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并说明理由；（3）当点G在线段AD上时，请直接写出AG+BG+CG的最小值．参考公式：a3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图1，E，F分别是正方形ABCD的边CD，BC上的动点，且满足∠EAF=45°，试判断线段BF，EF，ED之间的数量关系，并说明理由．小聪同学的想法：将△DAE顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．

（1）线段BF，EF，ED之间的数量关系是______．（2）如图2，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，连接BD，分别交AF，AE于点M，N，试判断线段BM，MN，ND之间的数量关系，并说明理由．4．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：

（1）【操作探究】如图1，△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF．①写出图1中一个等于90°的角；②图1中AF与DE的数量关系是．（2）【迁移探究】如图2，将（1）中的等边△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，其他条件不变．探究AF与DE的数量关系，并说明理由．（3）【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=22，将△ABC绕点A旋转，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF．在旋转过程中，当∠EBC=15°时，直接写出线段AF5．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D，E分别为AC,BC的中点，将△CDE绕点C逆时针方向旋转得到△CD'E'（如图2），使直线D（1）判断AD'与（2）求BE（3）若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，当直线D'E'过Rt6．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现：如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'处，这样就可以将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请按此方法求（2）拓展研究：请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题：①如图2，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点E，F为BC边上的点，且∠EAF=45°，判断BE,EF,CF之间的数量关系并证明；②如图3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=6，在△ABC内部有一点P，连接PA,PB,PC，直接写出PA+PB+PC的最小值．7．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=2，AB=4，直接写出△PMN面积的最大值．8．（2023·重庆九龙坡·模拟预测）在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将斜边AC绕点A逆时针旋转一定角度得到线段AD，AD交BC于点G，过点C作CF⊥AD于点F．（1）如图1，当旋转22.5°时，若BG=1，求AC的长；（2）如图2，当旋转30°时，连接BD，CD，延长CF交BD于点E，连接EG，求证：AG=CE+EG；（3）如图3，点M是AC边上一动点，在线段BM上存在一点N，使NB+NA+NC的值最小时，若NA=2，请直接写出△CNM的面积．9．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM，点B，C的对应点分别为N，M．（1）如图1，当点N落在BC的延长线上时，且∠ACB=90°,AC=6，AB=10，求BN的长；（2）如图2，△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ANM，延长BC交AN于点D，使得FN=AD，连接DF，猜想线段HN,MH，并证明你的猜想；（3）如图3，连接BN,CM，点R为BC的中点，连接RG．若∠ACB=90°,AC=6，AB=10，在旋转过程中，求出GR的最小值；若不存在，请说明理由10．（23-24八年级下·山西晋中·期末）综合与实践图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D，E分别为AB，AC边上一点，连接DE，且DE∥BC，将△ABC绕点（1）观察猜想：若α=60°，将△ABC绕点A旋转到如图2所示的位置，则DB与CE的数量关系为；（2）类比探究：若α=90°，将△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置，DB，CE相交于点O，猜想DB，CE满足的位置关系，并说明理由；（3）拓展应用：如图4，在（2）的条件下，连结CD，分别取DE，DC，BC的中点M，P，N，连结PM，PN，MN，若AD=4，AB=10，请直接写出在旋转过程中△PMN面积的最大值．11．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．CB=CA=42，点D始终在AC的上方，且∠CAD=α0°<α<180°，点E为射线AD上任意一点（点E与点A不重合），连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，直线FB交直线AD于点

（1）如图1，当0°<α<45°时，求证BM⊥AE；（2）当点Q为AC边的中点时，连接MQ，求MQ的最大值；（3）如图2，若α=105°，AE=2时，求△BCF的面积．12．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在射线CB上移动（不与B、C重合），连接AD，线段AD绕点D顺时针旋转α°0°<α°≤180°得到线段DE，连接CE

（1）如图1，当点E落在线段AC上时，①直接写出∠BAD的度数（可用α表示）；②请用等式表示CE、（2）当点E落在线段AC的延长线上时，请在图2中画出符合条件的图形，则（1）中，CE、13．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于点E，F是AE中点．（1）线段FD与线段FC的数量关系是FD_____FC，位置关系是FD_____FC；（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α0°<α<90°，其他条件不变，线段FD与线段FC（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=22，BE=2，直接写出线段BF14．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，连接AC，点E在BC上，且BE=EC，将点C绕点B逆时针旋转至F点，旋转角的度数为α，连接BF，与AC相交于点G，连接EF，交AC于点H，当点C旋转到与点A重合时旋转停止．

（1）如图2，当α=60°时，①求证：EF⊥BC；②点H在线段AC的什么位置？请说明理由；（2）在旋转的过程中，是否存在△CEF为等腰三角形的情况？如果存在，请直接写出EF的长；如果不存在，请说明理由．15．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．（1）【猜想】如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是______，位置关系是______；（2）【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=6，CE=22，当A，E，D三点在同一直线上时，直接写出BE16．（23-24九年级上·河北保定·开学考试）【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板DOE（∠DOE=90°，∠E=30°）的直角顶点O放置在另一块直角三角板ABC（∠ACB=90°，AC=BC）的斜边AB的中点处，并将三角板DOE绕点O任意旋转．

（1）【发现结论】当三角板DOE的两边DO，EO分别与另一块三角板的边AC，BC交于点①如图1，当OD⊥AC时，OP与OQ的数量关系为______；②小组成员发现当OD与AC不垂直时（如图2所示），OP与OQ之间仍然存在①中数量关系，请你说明理由；③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形OPCQ的面积S1与△ABC的面积S（2）【探究延伸】如图3，连接CD，直角三角板DOE在绕点O旋转一周的过程中，若AB=12cm，DE=14cm，直接写出线段17．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转，得到矩形BEFG．

（1）当点E落在BD上时，则线段DE的长度等于；（2）如图2，当点E落在AC上时，求△BCE的面积；（3）如图3，连接AE、CE、AG、CG，判断线段AE与CG的位置关系且说明理由；（4）在旋转过程中，请直接写出S△BCE18．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）在等边△ABC中，点E是AC上一点，点D是BC上一点，BE与AD交于点F，且∠AFE=60°．

（1）如图1，若BC=23，CE=32（2）如图2，延长BE至点G，使得∠BGC=60°，连接CG，点H为AC中点，连接GH，FC，求证:FC=2GH；（3）如图3，BC=23，点D为BC中点，将△ABC沿AC折叠得到四边形ABCQ，动点P在线段CQ上运动(包括端点)，连接AP、BP，将AP绕点P顺时针旋转60°得到PA'，将BP绕点P逆时针旋转

120°得到PB'，连接．A'B'19．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、

（1）求AF和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，求出相应的（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转α0°<α<180°，记旋转中的△ABF为△A'BF'，在旋转过程中，设A'F'所在的直线与直线AD交于点P20．（23-24九年级上·广东清远·期末）在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，固定矩形ABCD，将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针旋转α°0<α<180.（1）初步发现：在旋转过程中，对角线EG与边AB、CD分别交于点S、T，如图2，则线段OS与OT始终存在着怎样的数量关系?请说明理由；（2）继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时，如图2.①求证：四边形QMRN为菱形；②随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生变化，若AD=4，CD=8，请求出四边形QMRN的最大面积与最小面积．专题23.2旋转中的几何综合典例分析典例分析【典例1】旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．（1）【探究发现】如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA=2，PB=3，PC=1，求∠BPC的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连接AP'、PP'，则△BPC下面是小明的部分解答过程：解：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段．BP'，连接AP∵BP=BP'，∴△PBP∴∠BP'P=60°∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，BC=BA，∴∠ABC−∠ABP=∠P即∠PBC=∠P请你补全余下的解答过程．（2）【类比迁移】如图②，在正方形ABCD内有一点P，且PA=17，PB=22，PC=1，则（3）【拓展延伸】如图③，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，在直线AD上方有一点P，PA=4，PD=2，连接PO，则线段PO的最大值为______．【思路点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是利用旋转变换把将分散的条件相对集中到一个三角形中解决问题．（1）将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，证明△PBC≌△P（2）将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP'，证明△PBC≌△P（3）将线段OP绕点O顺时针旋转90°得到线段OP'，证明△POA≌△P'OD，在△PD【解题过程】（1）解：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连接AP∵BP=BP'，∴△PBP∴∠BP'P=60°∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，BC=BA，∴∠ABC−∠ABP=∠P即∠PBC=∠P∴△PBC≌△∴PC=A在△APPA∴∠A∴∠A∴∠BPC=∠BP（2）解：将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP'，连接AP∵BP=BP'，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BC=BA，∴∠ABC−∠ABP=∠P即∠PBC=∠P∴△PBC≌△∴PC=A在△APPA∴∠A∴∠A∴∠BPC=∠BP故答案为：135°．（3）解：将线段OP绕点O顺时针旋转90°得到线段OP'，连接DP'、∵OP=OP'，∴△POP∴∠BP'P=45°∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，OA=OD，∴∠AOD−∠POD=∠P即∠POA=∠P∴△POA≌△∴PA=在△DPP'当点D在PP'∴∴PP'在Rt△POP∴O∴OP=2∴OP的最大值为32学霸必刷学霸必刷1．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，△ABC与△EBD均为等边三角形，将△EBD绕点B逆时针旋转，旋转角为α（其中0°<α<180°），连接AE，CD，M是AE的中点，BC=7（1）求证：AE=CD；（2）如图2，连接DM，当ED的延长线经过点C时，请判断四边形MEBD的形状，并说明理由；（3）如图3，连接CM，若BD=2，在△EBD绕点B旋转的过程中，求CM的最大值．【思路点拨】本题考查几何变换综合题、等边三角形性质、菱形的判定等知识点，解题的关键是正确添加辅助线．（1）根据等边三角形性质和旋转性质可得AB=BC,BE=BD，∠ABE=∠CBD，证明△ABE和△ABD全等，即可得证；（2）过点B作BN⊥DE，利用30°直角三角形求出EN,BN的长，由勾股定理可求AE=CD=2BE，可得EM=BD，再利用同旁内角互补证明EM∥BD，即可得证；（3）取AB中点F，连接FM,FC，利用三角形三边关系即可求解．【解题过程】（1）解：∵△ABC与△EBD为等边三角形，∴AB=BC,BE=BD，∵△EBD绕点B逆时针旋转α，∴∠ABE=∠CBD，在△ABE和△ABD中AB=BC∴△ABE≌△ABD，∴AE=CD；（2）四边形MEBD为菱形，理由如下：过点B作BN⊥DE，垂足为N，∵△EBD为等边三角形，∴∠BED=60°，BD=BE=ED，∵BN⊥DE，∴EN=1∵ED的延长线经过点C，BC=7由勾股定理得，NC=5∴EC=EN+NC=1∴DC=EC−ED=2BE，由（1）得，AE=CD=2BE，∵M是AE的中点，∴EM=1∵∠EDB=60°，∴∠BDC=120°，∴∠BEA=∠BDC=120°，∴∠BEA+∠EBD=120°+60°=180°，∴EM∥BD，∵BE=BD=EM，∴四边形MEBD为菱形；（3）取AB中点F，连接FM,FC，∵△ABC为等边三角形，F为AB中点，∴FC=3∵BC=7∴FC=21∵M为AE中点，F为AB中点，∴MF为△ABE的中位线，∴MF=1在△MFC中，MC≤FM+FC∴MC最大为21+12．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点，过G作GE⊥GF分别交AB、AC于点E、F

（1）如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证：AE+AF=2（2）如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并说明理由；（3）当点G在线段AD上时，请直接写出AG+BG+CG的最小值．参考公式：a【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质即可求证；（2）过点G作HG上AG交AB延长线于点H，由等腰直角三角形可得∠DAB=∠DAC=45°，AG=HG，由“ASA“可证△AGF≌△HGE，可得AF=BH，可得结论；（3）将ΔABG绕点A顺时针旋转60°得到△AB'G，连接GG'，B'C，过点B'作B'N⊥AC，交CA的延长线于点N，由旋转的性质可得AG+BG+CG=GG'+B【解题过程】（1）解：由题：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，AD⊥BC于点D，GE⊥GF,则D也是BC上的中点，即AD是BC的垂直平分线，∵∠EAD=∠C=45°，AD=CD，∠ADE=∠CDF，∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE=CF，∴AE+AF=AC，∴AE+AF=2（2）AE+AF=2如图1，过点G作HG⊥AG交AB延长线于点H，∵∠BAC=90°，AB=AC=6，AD⊥BC，∴∠DAB=∠DAC=45°，∴∠AHG=∠BAD=45°，∴AG=HG，∴AH=2∵∠EGF=∠AGH=90°，∴∠AGF=∠EGH，又∵∠AHG=∠FAG=45°，∴△AGF≌△HGE(ASA)，∴AF=BH，∴AH=AE+BH=AE+AF=2（3）如图2，将△ABG绕点A顺时针旋转60°得到△AB'GB'C，过点B'作B'N⊥AC

∵AB=AB'=6∴∠BAB'=60°，∠GA∴△AGG∴AG=GG，∴AG+BG+CG=GG∴当点B'，点G'，点G，点AG+BG+CG的值最小，最小值为B'∵∠B∴∠B∴B'N=3∴CN=6+33∴B∴AG+BG+CG的最小值为：363．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图1，E，F分别是正方形ABCD的边CD，BC上的动点，且满足∠EAF=45°，试判断线段BF，EF，ED之间的数量关系，并说明理由．小聪同学的想法：将△DAE顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．

（1）线段BF，EF，ED之间的数量关系是______．（2）如图2，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，连接BD，分别交AF，AE于点M，N，试判断线段BM，MN，ND之间的数量关系，并说明理由．【思路点拨】本题考查了旋转与三角形综合，（1）先证明F、B、F三点共线，再证明△AFE≌△AFH，得到EF=FH，即可证明EF=BE+DF；（2）如图所示，将△ADE绕点A逆时针旋转90°得到△BAH，先求出∠ABD=∠ADB=45°，由旋转的性质可知AN=AG，∠ABG=∠ADB=45°，∠GAE=90°，则∠MBG=90°，证明△AGM≌△ANMSAS【解题过程】（1）解：结论：EF=BE+DF理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，由旋转的性质可知：AH=AE，∵∠EAF=45°，∴∠FAH=45°，∴∠FAH=∠EAF，∵∠ABF+∠ABH=90°+90°=180°，∴F、B、H三点共线，又∵AF=AF，∴△AFE≌△AFHSAS∴EF=FH，∵FH=BF+BH=BF+DE，∴EF=BE+DF．（2）结论：MN如图所示，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△BAG．∵BA=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°，由旋转的性质可知：AN=AG，∴∠MBG=∠ABG+∠ABD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAM=∠BAG+∠BAM=90°−∠EAF=45°，∴∠MAG=∠MAN，∵AM=AM，∴△AGM≌△ANMSAS∴MN=GM，∵∠MBG=90°，∴BM∴MN4．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：

（1）【操作探究】如图1，△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF．①写出图1中一个等于90°的角；②图1中AF与DE的数量关系是．（2）【迁移探究】如图2，将（1）中的等边△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，其他条件不变．探究AF与DE的数量关系，并说明理由．（3）【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=22，将△ABC绕点A旋转，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF．在旋转过程中，当∠EBC=15°时，直接写出线段AF【思路点拨】（1）①根据△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，可得AB=AC=AD=AE，又F为BE中点，故∠AFE=∠AFB=90°，AF∥DE∥BC，可知∠BED=90°=∠EBC；②由AF是△BDE的中位线，可得AF=1（2）由等边△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，可得∠BAC=60°，∠CAE=30°，AB=AC=AE=DE，即得∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，而F为BE中点，AB=AE，有AF⊥BC，故△ABF是等腰直角三角形，AB=2AF，从而（3）分两种情况：当BE在BC下方时，求出∠ABF=∠ABC+∠CBE=60°，AB=BC2=2，可得BF=12AB=1，故AF=AB2−BF2=2【解题过程】（1）解：①∵△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，∴AB=AC=AD=AE，∵F为BE中点，∴∠AFE=∠AFB=90°，AF是△BDE的中位线，也是△BCE的中位线，∴AF∥DE∥BC，∴∠BED=90°=∠EBC；故答案为：∠AFE或∠AFB或∠BED或∠EBC(写出一个即可)；②由①知，AF是△BDE的中位线，∴AF=1故答案为：AF=1（2）DE=2如图：

∵等边△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，∴∠BAC=60°，∠CAE=30°，AB=AC=AE=DE，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∵F为BE中点，AB=AE，∴AF⊥BC，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AB=2∴DE=2（3）当BE在BC下方时，如图：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∴∠ABF=∠ABC+∠CBE=60°，∵AB=AC=AE，F为BE中点，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=30°，∵BC=22∴AB=BC2=2∴BF=1∴AF=AB当BE在BC上方时，如图：

∵∠ABF=∠ABC−∠EBC=45°−15°=30°，∠AFB=90°，∴AF=1综上所述，AF的长为3或1．5．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D，E分别为AC,BC的中点，将△CDE绕点C逆时针方向旋转得到△CD'E'（如图2），使直线D（1）判断AD'与（2）求BE（3）若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，当直线D'E'过Rt【思路点拨】（1）根据旋转的不变性证明△CD（2）设AD'=BE'（3）分类讨论，分第一次经过点B，经过点A，再次经过点B讨论，根据变化中的不变性，不变的是基本图形关系即△CD'A≌△C【解题过程】（1）解：AD'与BD∵AC=BC，D，E分别为AC,BC的中点，∴CD=CE，即CD∵∠C=90°，即∠BCA=∠D∴∠ACD∴△CD∴∠CE∵∠C=90°，CD'=C∴∠CD∴∠CE∴∠AD即：AD（2）解：Rt△ACB中，AC=BC=2∴BA=AC2∵△CD∴AD设AD在Rt△AD'解得：x=14∴BE（3）解：①经过点B时，题（2）已求BE②经过点A时，如图所示，同理可证：△CD∴∠D'∵∠1=∠2，∴∠AE设BE在Rt△AE'解得：x=2即：BE③再次经过点B时，如下图：同理可证：△CD'A≌△C设BE在Rt△AD'解得：x=2即：BE综上所述：BE'=6．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现：如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'处，这样就可以将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请按此方法求（2）拓展研究：请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题：①如图2，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点E，F为BC边上的点，且∠EAF=45°，判断BE,EF,CF之间的数量关系并证明；②如图3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=6，在△ABC内部有一点P，连接PA,PB,PC，直接写出PA+PB+PC的最小值．【思路点拨】（1）连接PP'，根据题意得到AP=AP'=3,∠PAP'=60°，BP=CP'=4，∠APB=∠A（2）①证明∠B=∠ACB=45°，将△BAE绕点A逆时针旋转90°，得到△CAD，连接DF，得到∠BAE=∠DAC，∠ACD=∠B=45°，AD=AE，BE=CD，进而得到∠DCE=90°，根据勾股定理得到DF2=CF2+CD②将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A'BP'，连接PP'，A'C，即可得到∠ABA'=∠PBP'=60°，A'B=AB=4，BP=BP'，A'P'=AP，从而得到△BPP'为等边三角形，∠A【解题过程】解：（1）连接PP∵将△APB绕顶点A逆时针PP'旋转60°到∴AP=AP'=3,∠PA∴△APP∴PP∵P'P2∴P'∴△PP'C∴∠AP∴∠APB=∠AP（2）①BE证明：∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，如图，将△BAE绕点A逆时针旋转90°，得到△CAD，连接DF，则：∠BAE=∠DAC，∠ACD=∠B=45°，AD=AE，BE=CD，∴∠DCE=∠ACB+∠ACD=90°，∴DF∵∠EAF=45°，∠EAD=90°，∴∠DAF=∠EAF=45°，又∵AE=AD,AF=AF，∴△AEF≌△ADF，∴EF=DF，∴BE②PA+PB+PC的最小值为2如图，将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A'BP'则：∠ABA'=∠PBP'=60°，∴△BPP'为等边三角形，∴BP=PP'∴PA+PB+PC=A∴当且仅当A'，P'，P，C四点共线时，PA+PB+PC的值最小为∵∠A∴A'∴PA+PB+PC的最小值为2137．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=2，AB=4，直接写出△PMN面积的最大值．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得PN∥BD，PN=12BD，PM∥CE，PM=12（2）首先利用SAS证明△ABD≌△ACE，得∠ABD=∠ACE，BD=CE，再由（1）同理说明结论成立；（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．【解题过程】（1）解：∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN=1∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM=1∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN；（2）解：△PMN是等腰直角三角形．理由如下：由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，利用三角形的中位线得，PN=12BD∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）解：如图，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，连接AN,AM，∵MN≤AM+AN，∴当点A,M,N三点共线时，MN最大，如图：∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴MN最大=AM+AN，在△ADE中，AD=AE=2，∠DAE=90∴由勾股定理得：DE=2∵点M为DE中点，∴AM=1在Rt△ABC中，AB=AC=4，同上可求AN=2∴MN同上可得：MN=2∴PM=2∴S8．（2023·重庆九龙坡·模拟预测）在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将斜边AC绕点A逆时针旋转一定角度得到线段AD，AD交BC于点G，过点C作CF⊥AD于点F．（1）如图1，当旋转22.5°时，若BG=1，求AC的长；（2）如图2，当旋转30°时，连接BD，CD，延长CF交BD于点E，连接EG，求证：AG=CE+EG；（3）如图3，点M是AC边上一动点，在线段BM上存在一点N，使NB+NA+NC的值最小时，若NA=2，请直接写出△CNM的面积．【思路点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会转化的思想思考问题（1）过点G作GH⊥AC于点H，得到HG=BG=1，即可求得CG=2，再由BC=AB=BG+CG，勾股定理求得AC（2）延长CF交AB于点T，连接BT，求得Rt△AGB≌Rt△CTB，可得AG=CT，BT=BG，由BD∥（3）将△BCN绕点B逆时针旋转60°，得到△BPQ，连接NQ、AP，当点P、Q、N、A四点共线时，NB+NA+NC的值最小，此时BM是等腰直角三角形ABC的一条中线，即可求得△CNM的面积【解题过程】（1）解：如图1，当旋转22.5°时，则∠CAG=∠GAB=22.5°，过点G作GH⊥AC于点H，则GH=BG=1，在等腰Rt△CGH中，∠BCA=45°则CG=2则BC=BG+CG=2在等腰Rt△ABCAC=2（2）证明：如图2，过点D作DM⊥AC于点M，过点B作BN⊥AC于点N，∵∠DAM=30°，∴DM=∵∠ABC=90°，AB=AC，∴BN=而AC=AD，∴DM=BN又DM⊥AC，BN⊥AC，∴四边形BDMN是矩形∴BD延长CE交BA的延长线于点T，∵CF⊥AD，∴∠CFG=∠ABC=90°，∵∠AGB=∠CGF，∴∠TCG=∠GAB，∵∠ABG=∠CBT=90°，BA=BC，∴△ABG≌△CBT∴AG=CT，BG=BT，∵BD∥∴∠EBG=∠ACB=45°，则∠EBT=90°−∠EBG=45°=∠EBG，∵BT=BG，BE=BE，∴△BEG≌∴ET=EG，∴AG=CT=CE+ET=CE+EG；（3）解：如图3，将△CBN绕点B逆时针旋转60°得到△PBQ，连接QN，AP．则PQ=CN，△BQN是等边三角形，∴BN=NQ，∠BNQ=∠BQN=60°，∵CN+AN+BN=PQ+QN+NA≥AP，∴当P，Q，N，A共线时，NC+BN+AN的值最小．此时∠ABP=90°+60°=150°，PB=AB，∠BAN=15°，并且△BQN是等边三角形，∠BNQ=60°，∴∠ABN=60°−15°=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°，∵BA=BC，∴BM⊥AC，且CM=AM又∠MAN=45°−15°=30°，∴NM=12AN=1∴CM=AM=3∴△CNM的面积=19．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM，点B，C的对应点分别为N，M．（1）如图1，当点N落在BC的延长线上时，且∠ACB=90°,AC=6，AB=10，求BN的长；（2）如图2，△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ANM，延长BC交AN于点D，使得FN=AD，连接DF，猜想线段HN,MH，并证明你的猜想；（3）如图3，连接BN,CM，点R为BC的中点，连接RG．若∠ACB=90°,AC=6，AB=10，在旋转过程中，求出GR的最小值；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）根据旋转的性质得到AB=AN=10，利用勾股定理求得BC=8,CN=8，故BN的长为16；（2）在NM上取点Q，使NQ=CD，连接FQ，由旋转的性质得到：AN=AB,∠BAN=60°，得△ABN是等边三角形，证明△FNQ≌△ADCSAS，可得∠FQN=∠ACD,FQ=AC，即可得∠FQH=∠ACB，由∠M=∠ACB，可得∠FQH=∠M，从而可证△FQH≌△AMH（3）过B作BP∥MN交MC延长线于P，连接NC，由旋转的性质得到AC=AM,∠ACB=∠AMN=90°,BC=MN，证得∠P=∠BCP，得BP=BC，从而BP=MN，即可证△BPG≌△NMGAAS，可知G是BN中点，GR=12NC，要使GR最小，只需NC最小，此时N、C、A共线，【解题过程】（1）解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM，∴AB=AN=10，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=90°，∵AC=6，∴BC=A∴BN=BC+CN=16；（2）解：HN−MH=CD，证明如下：在NM上取点Q，使NQ=CD，连接FQ，如图：由△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ANM得：AN=AB,∠BAN=60°，∴△ABN是等边三角形，∴∠ANB=60°，∴∠FNQ=180°−∠ANB−∠ANM=180°−60°−∠ANM=120°−∠ANM，在△ABD中，∠ADB=180°−∠BAN−∠ABC=180°−60°−∠ABC=120°−∠ABC，由旋转性质知∠ANM=∠ABC，∴∠ADB=∠FNQ，∵FN=AD，∴△FNQ≌∴∠FQN=∠ACD,FQ=AC，∴180°−∠FQN=180°−∠ACD，即∠FQH=∠ACB，由旋转性质知∠M=∠ACB，∴∠FQH=∠M，∵AM=AC，∴FQ=AM，∵∠FHQ=∠AHM，∴△FQH≌∴QH=MH，∵HN−QH=NQ，∴HN−MH=CD；（3）解：在旋转过程中，GR存在最小值2，理由如下：过B作BP∥MN交MC延长线于P，连接∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM，∴AC=AM,∠ACB=∠AMN=90°,BC=MN，∴∠ACM=∠AMC，而∠BCP=180°−∠ACB−∠ACM=90°−∠ACM，∠NMP=∠AMN−∠AMC=90°−∠AMC，∴∠BCP=∠NMP，∵BP∥∴∠P=∠NMP，∴∠P=∠BCP，∴BP=BC，∴BP=MN，在△BPG和△NMG中，∠BGP=∠NGM∠P=∠NMG∴△BPG≌∴BG=NG，即G是BN中点，∵点R为BC的中点，∴GR是△BCN的中位线，∴GR=1要使GR最小，只需NC最小，而AN=AB=10,AC=6，∴N、C、A共线，NC的最小值为AN−AC=4，∴GR最小为1210．（23-24八年级下·山西晋中·期末）综合与实践图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D，E分别为AB，AC边上一点，连接DE，且DE∥BC，将△ABC绕点（1）观察猜想：若α=60°，将△ABC绕点A旋转到如图2所示的位置，则DB与CE的数量关系为；（2）类比探究：若α=90°，将△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置，DB，CE相交于点O，猜想DB，CE满足的位置关系，并说明理由；（3）拓展应用：如图4，在（2）的条件下，连结CD，分别取DE，DC，BC的中点M，P，N，连结PM，PN，MN，若AD=4，AB=10，请直接写出在旋转过程中△PMN面积的最大值．【思路点拨】（1）由旋转性质和“SAS”可证△ADB≌（2）由旋转性质和“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得（3）先证明△PMN是等腰直角三角形，可得S△PMN=12PN2=18BD【解题过程】（1）解：如图1，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE∥∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，由旋转得:∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC,∴∠DAB=∠EAC,在△ADB和△AEC中AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ADB≌∴BD=CE，故答案为：BD=CE；（2）解：DB⊥CE，理由如下：如图，设AB与CE的交点为点P，∵△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置，a=90°，∴∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAB=∠EAC，在△ADB和△AEC中，AD=AE∠DAB=∠EAC∴△ADB≌∴∠ABD=∠ACE，∵∠CPB是△BPO的外角，也是△ACP的外角，∴∠CPB=∠ABO+∠COB=∠ACO+∠CAB，∴∠COB=∠CAB=90°，∴DB⊥CE；（3）解：∵M，P，N分别是DE，DC，BC的中点，∴DB∥PN，PM∥CE，∵△ADB≌∴DB=CE，∴PN=PM，∵DB⊥CE，DB∥PN，∴PN⊥PM，∴△PMN是等腰直角三角形，∴=1∵AD=4，AB=10，∴当点A，点D，点B三点共线时，BD有最大值，即△PMN面积有最大值，∴BD的最大值为14，∴△PMN面积的最大值为1811．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．CB=CA=42，点D始终在AC的上方，且∠CAD=α0°<α<180°，点E为射线AD上任意一点（点E与点A不重合），连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，直线FB交直线AD于点

（1）如图1，当0°<α<45°时，求证BM⊥AE；（2）当点Q为AC边的中点时，连接MQ，求MQ的最大值；（3）如图2，若α=105°，AE=2时，求△BCF的面积．【思路点拨】（1）证△ACE≌△BCF得∠EAC=∠FBC，再利用三角形得内角和定理及垂直定义即可得证；（2）如图，取AB中点O，连接OM、OQ，由勾股定理得AB=CA2+CB（3）连接MC，过点B作BH⊥CM于点H，过点C作CP⊥DA交DA延长线于点P，CN⊥BM于点N，证△ACP≌△BCN，得CP=CN，进而求得AB=2【解题过程】（1）证明：如图，∵∠ACB=90°，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，∴∠ACE=∠BCA−∠BCE=90°−∠BCE，∠BCF=∠ECF−∠BCE=90°−∠BCE，∴∠ACE=∠BCF∵CA=CB，CE=CF，∴△ACE≌△BCF∴∠EAC=∠FBC∵∠1=∠2，∴∠BMA=∠BCA=90°∴BM⊥AE

（2）解：如图，取AB中点O，连接OM、OQ，

∵∠AMB=∠BCA=90°，∴AB=C∴OM∵点Q为AC的中点，∴OQ=当M、O、Q三点共线时，MQ最大此时，MQ=OM+OQ=1（3）解：如图，连接MC，过点B作BH⊥CM于点H，过点C作CP⊥DA交DA延长线于点P，CN⊥BM于点N，

∴∠CPA=∠CNB=90°，∠ACB=90°∴∠ACP=∵CA=CB∴△ACP≌△BCN∴CP=CN∴∠CMN=∵CA=CB=4∴AB=∵∠CAD=105°，∠BAC=45°∴∠BAM=60°∴AM=12∴BH=MH=22∴MC=MH+HC=2∵∴CN=∴S12．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在射线CB上移动（不与B、C重合），连接AD，线段AD绕点D顺时针旋转α°0°<α°≤180°得到线段DE，连接CE

（1）如图1，当点E落在线段AC上时，①直接写出∠BAD的度数（可用α表示）；②请用等式表示CE、（2）当点E落在线段AC的延长线上时，请在图2中画出符合条件的图形，则（1）中，CE、【思路点拨】（1）①由旋转的性质得出AD=ED，∠ADE=α，由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=45°，由三角形内角和定理得出2∠BAD+90°+α=180°，则可得出答案；②过点E作EF⊥BC于F，证明△ABD≌△DFE（AAS）（2）过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于F，证明△ABD≌△DFE（AAS），由全等三角形的性质得出BD=EF【解题过程】（1）①∵线段AD绕点D顺时针旋转α°0°<α°≤180°得到线段DE∴AD=ED，∴∠DAE=∠AED，∴2∠BAD+∠BAC∵AB=BC，∴∠BAC=45°，∴2∠BAD+90°+α=180°，∴∠BAD=45°−1②过点E作EF⊥BC于F，

∵AB=BC，∴∠C=45°，∵EF⊥BC，∴∠C=∠CEF=45°，∴EF=CF=2∵线段AD绕点D顺时针旋转α°0°<α°≤180°得到线段DE∴AD=DE，∵∠ADE=α，∴∠EDF=90°−∠BAD−∠ADE=90°−45°−∴∠BAD=∠EDF，又∵∠ABD=∠EFD=90°，

∴△ABD≌△DFE（AAS）∴AB=DF，∵DF=DB+BF，∴DB=CF=EF，∴CD=BC+DB=BC+EF=BC+2故答案为：CD=CB+（2）如图，

不成立，CD=CB−2过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于F，∵线段AD绕点D顺时针旋转α°得到线段DE，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，设∠BAD=x，则∠DAC=45°−x，∵∠ADC=90°+x,∠ADE+2∠DAE=180°，∴90°+x+∠EDF+245°−x∴∠EDF=x，∴∠BAD=∠EDF，

∵∠ABD=∠DFE=90°，∴△ABD≌△DFE（AAS）∴BD=EF，∵∠ACB=∠ECF=45°，∴∠ECF=∠CEF=45°，∴EF=CF=2∴CD=CB−BD=CB−EF=CB−213．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于点E，F是AE中点．（1）线段FD与线段FC的数量关系是FD_____FC，位置关系是FD_____FC；（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α0°<α<90°，其他条件不变，线段FD与线段FC（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=22，BE=2，直接写出线段BF【思路点拨】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明FD=FC，进而可证DF⊥CF；（2）如图，延长AC到M使得CM=CA，延长ED到N，使得DN=DE，连接BN、BM、EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O，证明△ABN≌△MBE，推出AN=EM，再利用三角形中位线定理即可解决问题；（3）分别求出BF的最大值、最小值即可解决问题．【解题过程】（1）∵∠ADE=∠ACE=90°，AF=FE，∴DF=AF=EF=CF，∴∠FAD=∠FDA，∠FAC=∠FCA，∴∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD，∠EFC=∠FAC+∠FCA=2∠FAC，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠BAC=45°，∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2∠FAD+∠FAC∴DF=FC，DF⊥FC，故答案为：＝，⊥；（2）线段FD与线段FC的关系不发生变化．理由如下：如图，延长AC到M使得CM=CA，延长ED到N，使得DN=DE，连接BN、BM、EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O，

∵∠ACB=90°，BC=AC，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵BC⊥AM，AC=CM，∴BA=BM，∴∠ABC=∠MBC=45°，∴∠ABM=90°，同理可证BE=BN，∠EBN=90°∵∠ABM=∠EBN=90°，∴∠NBA=∠EBM，∴△ABN≌△MBESAS∴AN=EM，∠BAN=∠BME，∵AF=FE，AC=CM，∴CF=12EM同理可证FD=12AN∴FD=FC，∵∠BME+∠BOM=90°，∠BOM=∠AOH，∴∠BAN+∠AOH=90°，∴∠AHO=90°，∴AN⊥MH，FD⊥FC；（3）如图2，连接BF．

∵|BE−BF|≤BF≤BE+BF，∴如图3时BF取得最大值时，点E落在AB上时，

∵AC=BC=22，∠ACB=90°∴AB=A∵BE=2，∴AE=4−2=2，∵点F是AE的中点，∴AF=EF=1，∴BF的最大值=AB−AF=4−1=3；如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，

∵AB=4，BE=2，∴AE=AB+BE=6，∵点F是AE的中点，∴AF=EF=3，∴BF的最小值=AB−AF=4−3=1，综上所述，1≤BF≤3．14．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，连接AC，点E在BC上，且BE=EC，将点C绕点B逆时针旋转至F点，旋转角的度数为α，连接BF，与AC相交于点G，连接EF，交AC于点H，当点C旋转到与点A重合时旋转停止．

（1）如图2，当α=60°时，①求证：EF⊥BC；②点H在线段AC的什么位置？请说明理由；（2）在旋转的过程中，是否存在△CEF为等腰三角形的情况？如果存在，请直接写出EF的长；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）①证明：证明△BCF为等边三角形，再根据E为BC的中点，可得EF⊥BC；②由先求出∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°，过点H作HP⊥AB于点P，证明四边形HPBE是矩形，再证明△AHP≌△HCEASA（2）根据△CEF为等腰三角形，分情况讨论：第一种情况：当EF=EC时，可得BE+EF=BF，这与BE+EF>BF相矛盾，故此种情况不存在；第二种情况：当EF=FC时，过F点作FQ⊥BC于Q点，如图，在Rt△BFQ中，FQ=BF2−BQ2=7，再在Rt△EFQ中，FE=FQ2+EQ2=22；第三种情况：当EC=FC时，过F点作FT⊥BC于T点，过B点作BS⊥FC于S点，如图，根据等腰三角形的性质可得【解题过程】（1）①证明：∵BC绕点B逆时针旋转得到BF，∴BF=BC，∵α=60°，即∠FBC=60°，∴△BCF为等边三角形，∵E为BC的中点，∴EF⊥BC；②由（1）知EF⊥BC，∴∠FEB=∠FEC=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°，如图，过点H作HP⊥AB于点P，

则∠HPB=90°，∴四边形HPBE是矩形，∠AHP=90°−∠BAC=45°，∴HP=BE=EC，∴△AHP≌△HCE∴AH=HC，∴H在AC中点的位置；（2）存在．EF的长为22或6根据△CEF为等腰三角形，分情况讨论：第一种情况：当EF=EC时，∵EB=EC，FB=BC，∴BE+EF=BE+EC=BC=BF，∴BE+EF=BF，这与BE+EF>BF相矛盾，故此种情况不存在；第二种情况：当EF=FC时，过F点作FQ⊥BC于Q点，如图，

∵EF=FC，FQ⊥BC，∴EQ=QC=1∵EB=EC，BC=4，BC=BF，∴EB=EC=2，BF=4，EQ=QC=1，∴BQ=3，∴在Rt△BFQ中，FQ=∴在Rt△EFQ中，FE=第三种情况：当EC=FC时，过F点作FT⊥BC于T点，过B点作BS⊥FC于S点，如图，

∵EC=FC，EB=EC=2，∴EC=FC=2，∵BC=BF=4，BS⊥FC，∴FS=SC=1∴在Rt△BFS中，BS=∵FT⊥BC，∴S△BFC∴FT=BS×FC∴在Rt△TFC中，TC=∴ET=EC−TC=3∴在Rt△TFE中，EF=综上：EF的长为22或615．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．（1）【猜想】如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是______，位置关系是______；（2）【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=6，CE=22，当A，E，D三点在同一直线上时，直接写出BE【思路点拨】（1）利用等腰直角三角形的性质得出BC=AC，EC=DC，得出BE=AD，再用（2）先由旋转得出∠BCE=∠ACD，进而判断出△BCE≌△ACD，得出BE=AD，∠CBE=∠CAD，进而得出（3）分两种情况，①当点E在线段AD上时，过点C作CM⊥AD于M，求出AE，再用勾股定理求出BE，即可得出结论；②当点E在线段AD的延长线上时，过点C作CN⊥AD于N，求出AE，再由勾股定理求出根据勾股定理得BE，即可得出结论．【解题过程】（1）解：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴BC=AC，EC=DC，∴BC−EC=AC−DC，∴BE=AD，∵∠ACB=90°，∴BE⊥AD，故答案为：BE=AD，（2）解：（1）中结论仍然成立，理由：由旋转知，∠BCE=∠ACD，∵BC=AC，∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD，∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠BHC=90°，∵∠BHC=∠AHG，∴∠CAD+∠AHG=90°，∴∠AGH=90°，∴BE⊥AD；（3）解：①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22∴DE=C∵CM⊥AD，∴CM=EM=1在Rt△ACM中，AC=6∴AM=A∴AE=AM−EM=42在Rt△ACB中，AC=6AB=A在Rt△ABEBE=A②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22∴DE=C∵CN⊥AD，∴CN=EN=1在Rt△ACN中，AC=6∴AN=A∴AE=AN+NE=42在Rt△ACB中，AC=6AB=A在Rt△ABEBE=A综上，BE的长为42−2或16．（23-24九年级上·河北保定·开学考试）【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板DOE（∠DOE=90°，∠E=30°）的直角顶点O放置在另一块直角三角板ABC（∠ACB=90°，AC=BC）的斜边AB的中点处，并将三角板DOE绕点O任意旋转．

（1）【发现结论】当三角板DOE的两边DO，EO分别与另一块三角板的边AC，BC交于点①如图1，当OD⊥AC时，OP与OQ的数量关系为______；②小组成员发现当OD与AC不垂直时（如图2所示），OP与OQ之间仍然存在①中数量关系，请你说明理由；③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形OPCQ的面积S1与△ABC的面积S（2）【探究延伸】如图3，连接CD，直角三角板DOE在绕点O旋转一周的过程中，若AB=12cm，DE=14cm，直接写出线段【思路点拨】（1）①连接OC，由已知可证四边形CPOQ是正方形，即可得OP=OQ；②连接CO，证明△AOP≌△COQ，即得OP=OQ；③由△AOP≌△COQ，知S△AOP=S△COQ，故（2）由AB=12cm，DE=14cm，∠DOE=90°，∠E=30°，∠ACB=90°，AC=BC，求出OC=12AB=6cm，OD=12DE=7cm，当点D，C，O在一条直线上，且点C在点D和点O之间时，线段CD长的最小，此时线段CD长的最小值为OD−OC=1cm；当点D，C，O在一条直线上，且点，O【解题过程】（1）解：①OP=OQ，理由如下：连接OC，如图：

∵∠ACB=∠CPO=∠POQ=90°，∴四边形CPOQ是矩形，∵∠ACB=90°，AC=BC，O为AB中点，∴∠ACO=1∵OD⊥AC，∴∠COP=45°=∠ACO，∴CP=OP，∴四边形CPOQ是正方形，∴OP=OQ，故答案为：OP=OQ；②OP=OQ，理由如下：连接CO，如图：

∵∠ACB=90°，AC=BC，O为AB中点，∴CO=AO=12AB，∠BCO=∠A=45°∴∠AOC=90°=∠DOE，∴∠AOP=∠COQ，在△AOP和△COQ中，∠OCQ=∠AOC=OA∴△AOP≌△COQ(ASA∴OP=OQ；③S1∵△AOP≌△COQ，∴S∴S∵S∴四边形OPCQ的面积始终保持不变，即S1故答案为：S1（2）如图：

∵AB=12cm，DE=14cm，∠DOE=90°，∠E=30°，∠ACB=90°，∴OC=12AB=6在△OCD中，OD−OC<CD，∴当点D，C，O在一条直线上，且点C在点D和点O之间时，线段CD长的最小，如图：

此时线段CD长的最小值为OD−OC=7−6=1(cm)当点D，C，O在一条直线上，且点，O在点D和点C之间时，线段CD长的最大，如图：

此时线段CD长的最大值为OD+OC=7+6=13(cm)答：CD长的最小值是1cm，最大值是1317．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转，得到矩形BEFG．

（1）当点E落在BD上时，则线段DE的长度等于；（2）如图2，当点E落在AC上时，求△BCE的面积；（3）如图3，连接AE、CE、AG、CG，判断线段AE与CG的位置关系且说明理由；（4）在旋转过程中，请直接写出S△BCE【思路点拨】（1）求出BD的长度，利用旋转的性质得出AB=BE，进而求出DE的长度即可；（2）过点B作BM⊥AC于点M，利用等面积法求出BM的长度，利用勾股定理求出ME、MC的长度，进而求出CE的长度，从而求出△BCE的面积；（3）连接AC、EG，设AE与CG相交于点N，AE与BC相交于点P，利用△ABE和△CBG是等腰三角形，且∠ABE=∠CBG从而得出∠BAE=∠BCG，然后利用∠1=∠2得出∠PNC=∠ABP=90°，从而得出AE⊥CG；（4）过点C作CH⊥直线BE于点H，过点G作EQ⊥直线AB于点Q，SΔBCE=12⋅CH⋅BE，SΔABG=12⋅GQ⋅AB，利用AB=BE得出：当CH+GQ最大时，【解题过程】（1）解：当E落在BD上时，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，∴每个内角都等于90°，∵AB=3，BD=A由旋转的性质可知：AB=BE=3，∴DE=BD−BE=5−3=2，故答案为：2；（2）解：当点E落在AC上时，过点B作BM⊥AC于点M，

在Rt△ABCAC=A∵△ABC是直角三角形，BM⊥AC，∴12∴BM=12在Rt△BMEME=在Rt△BMCMC=B∴CE=MC−ME=16∴SΔ（3）解：AE⊥CG，理由如下：证明：连接AC、EG，设AE与CG相交于点N，AE与BC相交于点P，

由旋转的性质知：∠ABE=∠CBG，AB=BE，∴在等腰△ABE和等腰△CBG中得到：∠EAB=180°−∠ABE2，∴∠EAB=∠BCG，∵∠1=∠2，∴∠CNP=∠ABP=90°，即AE⊥CG；（4）解：过点C作CH⊥直线BE于点H，过点G作EQ⊥直线AB于点Q，

∴SΔBCE=∵AB=BE=3∴S△BCE∴当CH+GQ最大时，S△BCE在旋转过程中，0≤CH≤4,0≤GQ≤4，∴0≤CH+GQ≤8，∴当点A、B、E三点共线时，CH+GQ=∴S△BCE+S18．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）在等边△ABC中，点E是AC上一点，点D是BC上一点，BE与AD交于点F，且∠AFE=60°．

（1）如图1，若BC=23，CE=32（2）如图2，延长BE至点G，使得∠BGC=60°，连接CG，点H为AC中点，连接GH，FC，求证:FC=2GH；（3）如图3，BC=23，点D为BC中点，将△ABC沿AC折叠得到四边形ABCQ，动点P在线段CQ上运动(包括端点)，连接AP、BP，将AP绕点P顺时针旋转60°得到PA'，将BP绕点P逆时针旋转

120°得到PB'，连接．A'B'【思路点拨】（1）过点A作AT⊥BC于点T，根据已知条件证明△ABD≌△BCEASA，得出BD=CE=32，在Rt（2）延长AF至M，使得FM=BF，连接BM，证明△ABM≌△BCGASA，得出AM=BG，证明△AFG是等边三角形，延长CG至N，使得GN=CG，证明△AGN≌△FGCSAS，得出AN=FC，根据中位线的性质得出（3）连接PM，将PB绕点P逆时针旋转60°得到PB″，连接B'B″则△PB'B″【解题过程】（1）解：如图所示，过点A作AT⊥BC于点T，

∵等边△ABC中，∴AB=BC，∠ABC=60°∵∠AFE=∠BFD=∠BAF+∠ABF=60°，又∵∠ABF+∠EBC=∠ABC=60°∴∠BAD=∠CAE，在△ABD,△BCE中，∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△BCE∴BD=CE=在Rt△ABT中，BT=TC=12∴DT=BT−BD=3在Rt△ADT中，（2）解：如图所示，

延长AF至M，使得FM=BF，连接BM∵∠BFM=∠AFE=60°∴△BMF是等边三角形，∴BF=FM=BM，设∠BAD=α，由（1）可得∠GBC=∠BAM=α，∴∠ABM=180°−α−60°=120°−α，又∵∠BGC=60°，∴∠BCG=120°−α，∴∠ABM=∠BCG，在△ABM,△BCG中，∠BAM=∠CAG∴△ABM≌△BCG∴AM=BG又∵BF=FM∴AF=FG∵∠AFG=60°∴△AFG是等边三角形，∴AG=FG，∠AGF=60°延长CG至N，使得GN=CG，∴∠AGN=180°−60°−60°=60°∴∠AGN=∠FGC在△AGN，AG=FG∠AGN=∠FGC∴△AGN≌△FGCSAS∴AN=FC，∵AH=HC,GN=GC，∴HG=1∴HG=1（3）解：如图所示，连接PM，将PB绕点P逆时针旋转60°得到PB″，连接B'

∵将△ABC沿AC折叠得到四边形ABCQ，∴四边形ABCQ是菱形，依题意，B',P,B又PA'∴△∴A∵M为A'∴PM=12∵∠∴∠