山东省平原县第一中学2025届数学高二上期末学业水平测试试题含解析

山东省平原县第一中学2025届数学高二上期末学业水平测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知公比不为1的等比数列，其前n项和为，，则（）A.2 B.4C.5 D.252．已知双曲线：，直线经过点，若直线与双曲线的右支只有一个交点，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.3．在四面体中，设，若F为BC的中点，P为EF的中点，则＝（）A. B.C. D.4．过双曲线的左焦点作x轴的垂线交曲线C于点P，为右焦点，若，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.5．已知等比数列中，，，则首项（）A. B.C. D.06．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则（）A.－4 B.－10C.4 D.107．某次生物实验6个小组的耗材质量（单位：千克）分别为1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，则这组数据的中位数是（）A.1.63 B.1.67C.1.64 D.1.658．直线关于直线对称的直线方程为（）A. B.C. D.9．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为（）A. B.C. D.10．已知直线与圆相交于两点，当的面积最大时，的值是（）A. B.C. D.11．若点在椭圆的外部，则的取值范围为（）A. B.C. D.12．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的通项公式为，，设是数列的前n项和，若对任意都成立，则实数的取值范围是__________.14．已知数列是公差不为零的等差数列，，，成等比数列，第1，2项与第10，11项的和为68，则数列的通项公式是________.15．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱、的中点，G为面对角线上一个动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值为___________.16．圆上的点到直线的距离的最大值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召若干名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，现把该小组的成员按年龄分成、、、、这组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在内的人数为.（1）若用分层抽样的方法从年龄在、、内的志愿者中抽取名参加某社区的宣传活动，再从这名志愿者中随机抽取名志愿者做环境保护知识宣讲，求这名环境保护知识宣讲志愿者中至少有名年龄在内的概率；（2）在（1）的条件下，记抽取的名志愿者分别为甲、乙，该社区为了感谢甲、乙作为环境保护知识宣讲的志愿者，给甲、乙各随机派发价值元、元、元的纪念品一件，求甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率.18．（12分）已知椭圆C对称中心在原点，对称轴为坐标轴，且，两点（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N分别为椭圆与x轴负半轴、y轴负半轴的交点，P为椭圆上在第一象限内一点，直线PM与y轴交于点S，直线PN与x轴交于点T，求证：四边形MSTN的面积为定值19．（12分）已知椭圆：的一个焦点与曲线的焦点重合，且离心率为.（1）求椭圆的方程（2）设直线：交椭圆于M，N两点.①若且的面积为，求的值.②若轴上的任意一点到直线与直线（为椭圆的右焦点）的距离相等，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标20．（12分）已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21．（12分）在①成等差数列；②成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.问题：已知为数列的前项和，，且___________.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．（10分）在等比数列中，已知，（1）若，求数列的前项和；（2）若以数列中的相邻两项，构造双曲线，求证：双曲线系中所有双曲线的渐近线、离心率都相同

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】设等比数列的公比为，根据求得，从而可得出答案.【详解】解：设等比数列的公比为，则，所以，则.故选：B.2、D【解析】以双曲线的两条渐近线作为边界条件，即可保证直线与双曲线的右支只有一个交点.【详解】双曲线：的两条渐近线为和两渐近线的倾斜角分别为和由经过点的直线与双曲线的右支只有一个交点，可知直线的倾斜角取值范围为，故直线的斜率的取值范围是故选：D3、A【解析】作出图示，根据空间向量的加法运算法则，即可得答案.【详解】如图示：连接OF,因为P为EF中点，，F为BC的中点，则，故选：A4、D【解析】由题知是等腰直角三角形，，又根据通径的结论知，结合可列出关于的二次齐次式，即可求解离心率.【详解】由题知是等腰直角三角形，且，，又，，即，，，即，解得，，.故选：D.5、B【解析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式，列出方程组，即可求得，进而可求得答案.【详解】设等比数列公比为q，则，解得，所以.故选：B6、A【解析】根据关于平面对称的点的规律：横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为它的相反数，即可求出点关于平面的对称点的坐标，再利用向量的坐标运算求.【详解】解：由题意，关于平面对称的点横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为它的相反数，从而有点关于对称的点的坐标为（2，−1，-3）.故选：A【点睛】本题以空间直角坐标系为载体，考查点关于面的对称，考查数量积的坐标运算，属于基础题7、D【解析】将已有数据从小到大排序，根据中位数的定义确定该组数据的中位数.【详解】由题设，将数据从小到大排序可得：，∴中位数为.故选：D.8、C【解析】先联立方程得，再求得直线的点关于直线对称点的坐标为，进而根据题意得所求直线过点，，进而得直线方程.【详解】解：联立方程得，即直线与直线的交点为设直线的点关于直线对称点的坐标为，所以，解得所以直线关于直线对称的直线过点，所以所求直线方程的斜率为，所以所求直线的方程为，即故选：C9、B【解析】基本事件总数，再利用列举法求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件的个数，由此能求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率【详解】解：将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数之和，基本事件总数，点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件有：，，，，，，，，共8个，则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为故选：B10、C【解析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，即可求出答案.【详解】圆心到直线的距离，弦长为..当，即时，取得最大值.故选：C.11、B【解析】根据题中条件，得到，求解，即可得出结果.【详解】因为点在椭圆的外部，所以，即，解得或.故选：B.12、D【解析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，设的倾斜角为，，所以.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】化简数列将问题转化为不等式恒成立问题，再对n分奇数和偶数进行讨论，分别求解出的取值范围，最后综合得出结果.【详解】根据题意，，.①当n是奇数时，，即对任意正奇数n恒成立，当时，有最小值1，所以.②当n是正偶数时，，即，又，故对任意正偶数n都成立，又随n增大而增大，当时，有最小值，即，综合①②可知.故答案为：.14、【解析】利用基本量结合已知列方程组求解即可.【详解】设等差数列的公差为由题可知即因为，所以解得：所以.故答案为：15、【解析】以DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建系，则，设，球心，得到外接球半径关于的函数关系，求出的最小值，即可得到答案；【详解】解：以DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建系.则，设，球心，，又.联立以上两式，得，所以时，，为最小值，外接球表面积最小值为.故答案为：.16、【解析】先求得圆心到直线的距离，结合圆上的点到直线的距离的最大值为，即可求解.【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离的最大值为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）将名志愿者进行编号，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）列举出甲、乙获得纪念品价值的所有情况，并确定所求事件所包含的情况，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：因为志愿者年龄在、、内的频率分别为、、，所以用分层抽样的方法抽取的名志愿者年龄在、、内的人数分别为、、.记年龄在内的名志愿者分别记为、、，年龄在的名志愿者分别记为、，年龄在内的名志愿者记为，则从中抽取名志愿者的情况有、、、、、、、、、、、、、、，共种可能；而至少有名志愿者的年龄在内的情况有、、、、、、、、，共种可能.所以至少有名志愿者的年龄在内的概率为.【小问2详解】解：甲、乙获得纪念品价值的情况有、、、、、、、、，共种可能；而甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的情况有、、、、、，共种可能.故甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率为.18、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设椭圆方程为，利用待定系数法求得的值，即可得出答案；（2）设，，，易得，分别求出直线PM和直线PN的方程，从而可求出的坐标，再根据即可得出答案.【小问1详解】解：依题意设椭圆方程为，将，代入得，解得得，，∴所求椭圆方程为；【小问2详解】证明：设，，，，P点坐标满足，即，直线PM：，可得，直线PN：，可得，.19、（1）（2）①；②证明见解析，定点的坐标为【解析】（1）由所给条件确定基本量即可.（2）①代入消元，韦达定理整体思想，列出关于的方程从而得解；②由已知可知，得到关于、的一次关系式可得证.【小问1详解】由已知椭圆的右焦点坐标为，，所以，椭圆的方程：【小问2详解】①将与椭圆方程联立得.设，，则，解得，∴，，点到直线的距离为，∴，解得（舍去负值），∴.②设，，将与椭圆方程联立，得，当时，∴，，，若轴上任意一点到直线与的距离均相等，则轴为直线与的夹角的平分线，∴，即，∴.∴，解得.∴.∴直线恒过一定点，该定点的坐标为.20、（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；（2）求得，利用裂项法可求得.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，则，可得，由可得，即，解得，，故.【小问2详解】解：，因此，.21、（1）（2）【解析】（1）由可知数列是公比为的等比数列，若选①：结合等差数列等差中项的性质计算求解；若选②：利用等比数列等比中项的性质计算求解，若选③：利用直接计算；（2）根据对数的运算，可知数列为等差数列，直接求和即可.【小问1详解】由，当时，，即，即，所以数列是公比为的等比数列，若选①：由，即，，所以数列的通项公式为；若选②：由，所以，所以数列的通项公式为；若选③：