2025届内蒙古呼和浩特市高二上数学期末达标检测试题含解析

2025届内蒙古呼和浩特市高二上数学期末达标检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（）A. B.C. D.2．（）A. B.C. D.3．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（）A. B.C. D.4．已知定义在上的函数满足下列三个条件：①当时，；②的图象关于轴对称；③，都有.则、、的大小关系是（）A. B.C. D.5．已知各项都为正数的等比数列，其公比为q，前n项和为，满足，且是与的等差中项，则下列选项正确的是（）A. B.C D.6．已知实数，满足不等式组，若，则的最小值为（）A. B.C. D.7．已知双曲线上的点到的距离为15，则点到点的距离为（）A.7 B.23C.5或25 D.7或238．已知函数（为自然对数的底数），若的零点为，极值点为，则（）A. B.0C.1 D.29．为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左、右两侧的两段曲线（曲线与曲线）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线与曲线中间最窄处间的距离为，点与点，点与点均关于该双曲线的对称中心对称，且，则（）A. B.C. D.10．两圆x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直线的方程为（）A.x+2y﹣6＝0 B.x﹣3y+5＝0C.x﹣2y+6＝0 D.x+3y﹣8＝011．已知等比数列，且，则（）A.16 B.32C.24 D.6412．设数列、都是等差数列，若，则等于（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为______.14．若“”是“”必要不充分条件，则实数的最大值为_______15．设，若直线与直线平行，则的值是________16．如图将自然数，…按到箭头所指方向排列，并依次在，…等处的位置拐弯．如图作为第一次拐弯，则第33次拐弯的数是___________，超过2021的第一个拐弯数是____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”.（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.18．（12分）已知椭圆C：，右焦点为F(，0)，且离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设M，N是椭圆C上不同的两点，且直线MN与圆O：相切，若T为弦MN的中点，求|OT||MN|的取值范围19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，D为的中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）若E为的中点，求与所成的角20．（12分）在平面直角坐标系中，动点，满足，记点的轨迹为（1）请说明是什么曲线，并写出它的方程；（2）设不过原点且斜率为的直线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与交于两点，，请判断与的关系，并证明你的结论21．（12分）如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角.22．（10分）等差数列前n项和为，且（1）求通项公式；（2）记，求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d，由题知，，解得，，所以数列为，故.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.2、B【解析】根据微积分基本定理即可直接求出答案.【详解】故选：B.3、A【解析】利用空间向量加法法则直接求解【详解】连接BD，如图，则故选：A4、A【解析】推导出函数为偶函数，结合已知条件可得出，，，利用导数可知函数在上为减函数，由此可得出、、的大小关系.【详解】因为函数的图象关于轴对称，则，故，，又因为，都有，所以，，所以，，，，因为当时，，，当且仅当时，等号成立，且不恒为零，故函数在上为减函数，因为，则，故.故选：A.5、D【解析】根据题意求得，即可判断AB，再根据等比数列的通项公式即可判断C；再根据等比数列前项和公式即可判断D.【详解】解：因为各项都为正数的等比数列，，所以，又因是与的等差中项，所以，即，解得或（舍去），故B错误；所以，故A错误；所以，故C错误；所以，故D正确.故选：D.6、B【解析】作出不等式组对应的平面区域，然后根据线性规划的几何意义求得答案.【详解】作出不等式组所对应的可行域如图三角形阴影部分，平行移动直线直线，可以看到当移动过点A时，在y轴上的截距最小,联立，解得，当且仅当动直线即过点时，取得最小值为，故选：B7、D【解析】根据双曲线的定义知，，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得焦点坐标，根据双曲线的定义知，，而，所以或故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.8、C【解析】令可求得其零点，即的值，再利用导数可求得其极值点，即的值，从而可得答案【详解】解：，当时，，即，解得；当时，恒成立，的零点为又当时，为增函数，故在，上无极值点；当时，，，当时，，当时，，时，取到极小值，即的极值点，故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题9、D【解析】依题意以双曲线的对称中心为坐标原点建系，设双曲线的方程为，根据已知求得，点纵坐标代入计算即可求得横坐标得出结果.【详解】以双曲线的对称中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，因为双曲线的离心率为2，所以可设双曲线的方程为，依题意可得，则，即双曲线的方程为.因为，所以的纵坐标为18.由，得，故.故选：D.10、C【解析】两圆方程相减得出公共弦所在直线的方程.【详解】两圆方程相减得，即x﹣2y+6＝0则公共弦所在直线的方程为x﹣2y+6＝0故选：C11、A【解析】由等比数列的定义先求出公比，然后可解..【详解】，得故选：A12、A【解析】设等差数列的公差为，根据数列是等差数列可求得，由此可得出，进而可求得所求代数式的值.【详解】设等差数列的公差为，即，由于数列也为等差数列，则，可得，即，可得，即，解得，所以，数列为常数列，对任意的，，因此，.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列基本量的求解，通过等差数列定义列等式求解公差是解题的关键，另外，在求解有关等差数列基本问题时，可充分利用等差数列的定义以及等差中项法来求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、210【解析】依题意，、、成等差数列，从而可求得答案【详解】∵等差数列{an}的前3项和为30，前6项和为100，即S3＝30，S6＝100，又S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，∴2（S6﹣S3）＝（S9﹣S6）+S3，即140＝S9﹣100+30，解得S9＝210.故答案：210【点睛】本题考查等差数列的性质，熟练利用、、成等差数列是关键，属于中档题14、【解析】设的解集为集合，由题意可得是的真子集，即可求解.【详解】由得或，因为“”是“”的必要不充分条件，设或，，因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，所以故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含15、【解析】先通过讨论分成斜率存在和不存在两种情况，然后再按照两直线平行的判定方法求解即可.【详解】由已知可得，当时，两直线分别为和，此时，两直线不平行；当时，要使得两直线平行，即，解得，.故答案为：16、①.②.【解析】根据题意得到拐弯处的数字与其序数的关系，归纳得到当为奇数为；当为为偶数为，分别代入，即可求解.【详解】解：由题意，拐弯处的数字与其序数的关系，如下表：拐弯的序数012345678拐弯处的数1235710131721观察拐弯处的数字的规律：第1个数；第3个数；第5个数；第7个数；，所以当为奇数为；同理可得：当为为偶数为；第33次拐弯的数是，当时，可得，当时，可得，所以超过2021第一个拐弯数是.故答案为：；.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）根据方程为焦点在轴上的椭圆的条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.（2）求得为真命题时的取值范围，结合是的必要不充分条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】（1）若是真命题，所以，解得，所以的取值范围是.（2）由（1）得，是真命题时，的取值范围是，为真命题时，，所以的取值范围是因为是的必要不充分条件，所以，所以，等号不同时取得，所以【点睛】本小题主要考查椭圆、双曲线，考查必要不充分条件求参数.18、（1）；（2）[，3].【解析】（1）由题可得，即求；（2）当直线的斜率不存在或为0，易求，当直线MN斜率存在且不为0时，设直线MN的方程为：，利用直线与圆相切可得，再联立椭圆方程并应用韦达定理求得，然后利用基本不等式即得.【小问1详解】由题可得，∴𝑎=2，𝑏=∴椭圆C的方程为：；小问2详解】当直线MN斜率为0时，不妨取直线MN为𝑦=，则，此时，则；当直线MN斜率不存在，不妨取直线MN为x=，则，此时，则；当直线MN斜率存在且不为0时，设直线MN的方程为：，，因为直线MN与圆相切，所以，即，又因为直线MN与椭圆C交于M，N两点：由，得，则，所以MN中点T坐标为，则，，所以又，当且仅当，即取等号，∴|OT||MN|；综上所述：|OT|∙|MN|的取值范围为[，3].19、（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）连接，交于O，连接OD，根据中位线的性质，可证，根据线面平行的判定定理，即可得证；（2）如图建系，求得各点坐标，进而可求得平面与平面法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案；（3）求得坐标，根据线线角的向量求法，即可得答案.【小问1详解】连接，交于O，连接OD，则O为的中点，在中，因为O、D分别为、BC中点，所以，又因为平面，平面，所以平面【小问2详解】由题意得，两两垂直，以B为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示：设，则，所以，则，，因为平面在平面ABC内，且平面ABC，所以即为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，所以，令，则，所以法向量，所以，由图象可得平面与平面的夹角为锐角，所以平面与平面的夹角的余弦值为【小问3详解】由（2）可得，设与所成的角为，则，解得，所以与所成的角为20、（1）椭圆，（2），证明见解析【解析】（1）结合椭圆第一定义直接判断即可求出的轨迹为；（2）设直线的方程为，，，联立椭圆方程，写出韦达定理；由中点公式求出点，进而得出直线方程，联立椭圆方程求出，结合弦长公式可求，可转化为，结合韦达定理可化简，进而得证.【小问1详解】设，，则因为，满足，即动点表示以点，为左、右焦点，长轴长为4，焦距为的椭圆，其轨迹的方程为；【小问2详解】可以判断出，下面进行证明：设直线的方程为，，，由方程组，得①，方程①判别式为，由，即，解得且由①得，，所以点坐标为，直线方程为，由方程组，得，，所以又所以.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意可证得，所以以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明，（2）求出两个平面的法向量，利用空