重庆市南开中学高三下学期排列二项式专题训练数学试题

重庆南开中学高2018数学选修排列二项式和分布列专题训练一、选择题1.现有位男生和位女生共位同学随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率为 A. B. C. D.2.在如图所示的块地上选出块种植、、、等六个不同品种的蔬菜，每块种植一种不同品种蔬菜，若、、必须横向相邻种在一起，、横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有 A. B. C. D.3.设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有 A.种 B.种 C.种 D.种4.已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 A.条 B.条 C.条 D.条5.若的展开式中含的项的系数与含的项的系数比为，则等于 A. B. C. D.6.一个射箭运动员在练习时只记射中环和环的成绩，未击中环或环就以环记．该运动员在练习时击中环的概率为，击中环的概率为，既未击中环也未击中环的概率为，如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为环，则当取最小值时，的值为 A. B. C. D.7.位于坐标原点的一个质点按下述规则移动，质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右．并且向上，向右移动的概率都是，质点移动六次后位于点的概率是 A. B. C. D.8.在个电子产品中，有个次品，个合格品，每次任取一个测试，测试完后不放回，直到两个次品都找到为止，如果两个次品全部找出为完成一次测试，那么测试次数的数学期望是 A. B. C. D.9.某班级有名同学想去报名参加校学生会的项社团活动，甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为 A. B. C. D.二、填空题（共7小题；共35分）10.正方体的条棱的中点和个顶点共个点中，任意两点连成一条直线，其中与直线垂直的直线共有

条．11.展开式中的系数为

（用数字作答）．12.设是的展开式中的一次项的系数，则的值是

．13.展开式中的常数项为

（用数字作答）．14.设，且，则

（表示为的形式）．15.甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是

（写出所有正确结论的编号）． ①；②；③事件与事件相互独立； ④是两两互斥的事件； ⑤的值不能确定，因为它与中究竟哪一个发生有关．16.有两排座位，前排个座位，后排个座位，现安排人就坐，规定前排中间三个座位不能坐，并且这人不左右相邻，那么不同坐法的种数为

．三、解答题（共11小题；共143分）17.某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了名幸运之星．这名幸运之星可获得、两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于的获得奖品，抛掷点数不小于的获得奖品．（1）求这名幸运之星中获得奖品的人数大于获得奖品的人数的概率；（2）设、分别为获得、两种奖品的人数，并记，求随机变量的分布列及数学期望．18.2013年6月“神舟十号”发射成功．这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为，，，，并且各个环节的直播收看互不影响．（1）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这名同学至少有名同学收看发射直播的概率；（2）若用表示该班某一位同学收看的环节数，求的分布列与期望．19.某厂用鲜牛奶在某台设备上生产，两种奶制品．生产吨产品需鲜牛奶吨，使用设备小时，获利元；生产吨产品需鲜牛奶吨，使用设备小时，获利元．要求每天产品的产量不超过产品产量的倍，设备每天生产，两种产品时间之和不超过小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．（1）求的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求天中至少有天的最大获利超过元的概率．20.某学科测试中要求考生从，，三道题中任选一题作答．考试结束后，统计数据显示共有名学生参加测试，选择，，三题答卷数如下表：（1）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从份答卷中抽出若干份答卷，其中从选择题作答的答卷中抽出了份，则应分别从选择，题作答的答卷中各抽出多少份?（2）若在（1）问中被抽出的答卷中，，，三题答卷得优的份数都是．从被抽出的，，三题答卷中再各抽出份，求这份答卷恰有份得优的概率；（3）测试后的统计数据显示，题的答卷得优的有份，若以频率作为概率，在（1）问中被抽出的选择题作答的答卷中，记其中得优的份数为，求的分布列及其数学期望．21.袋中有个白球和个黑球，且球的大小、形状都相同．每次从其中任取一个球，若取到白球则结束，否则，继续取球，但取球总次数不超过次（）．（1）当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数的数学期望与方差；（2）当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数的分布列与数学期望．22.设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）．（1）求方程有实根的概率；（2）求的分布列和数学期望；（3）求在先后两次出现的点数中有的条件下，方程有实根的概率．23.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为，从中任意取出件进行检验．求至少有件是合格品的概率；（2）若厂家发给商家件产品，其中有件不合格，按合同规定该商家从中任取件，进行检验，只有件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率．24.从集合中，抽取四个不同元素构成子集．（1）求对任意的，，满足的概率；（2）若，，，成等差数列（公差大于），设其公差为，求随机变量的分布列与数学期望．25.随机抽取某厂的某种产品件，经质检，其中有一等品件、二等品件、三等品件、次品件．已知生产件一、二、三等品获得的利润分别为万元、万元、万元，而件次品亏损万元．设件产品的利润（单位：万元）为．（1）求件产品的平均利润（即的数学期望）；（2）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求件产品的平均利润不小于万元，则三等品率最多是多少?26.品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一般通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分． 现设，分别以，，，表示第一次排序时被排为，，，的四种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述．（1）写出的可能值集合；（2）假设，，，等可能的为，，，的各种排列，求的分布列；（3）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有， （i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； （ii）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由．27.袋中共有个球，其中有个白球，个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程次后，袋中白球个数记为．（1）求随机变量的概率分布及数学期望；（2）求随机变量的数学期望关于的表达式．答案第一部分1.C 【解析】设“男生甲不站两端”为事件，“有且只有两位女生相邻”为事件，则事件表示“男生甲不站两端，同时有且只有两位女生相邻”．对于事件，先排甲，再排其他人，共有种排法；对于事件，先把个女生分成两组，有种方法，然后插入个男生形成的个空中，共有种排法，其中男生甲站在两端的情况有种，所以事件共有种情况．依题意可得，所求的概率为．2.C 【解析】此题属于难度较大的排列组合题目，主要问题在于要求多，不能够一步解决，需要清晰的分类．第一步：的顺序首先有种，结合又可以选择上下排，所以共有种；第二步：考虑，发现无论其他蔬菜怎能选，最后一定剩余块地可供选择，故共有种；第三步：考虑，正面考虑比较麻烦，不妨从反面考虑：此时总共有种，结合在土地上共有个位置可选，所以共有种，反面就是说横或者纵有一个相邻；纵相邻时，在土地上共有个位置可选，共有种，所以全部共有种，横相邻时，需对位置分两类：1、的位置在边上时，方法共有：种，的分法共有种，共；2、的位置在中间时，方法共有：种，的分法共有种，共种；所以共有种．各步骤之间进行相乘即可得到答案．3.B 【解析】集合、中没有相同的元素，且都不是空集，从个元素中选出个元素，有种选法，小的给集合，大的给集合；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组的给集合，共有种方法；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成；；两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组的给集合，共有种方法；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成；；；两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组的给集合，共有种方法；总计为种方法．4.A 【解析】在第一象限内圆上的整数点，只有，，而点，在圆上，故圆上横，纵坐标为整数的点共有个，过这个点的圆的切线和割线共有条，而不符合题意的过原点，斜率不存在的之直线共有条，共共有条．5.B 【解析】因为．令，得．令，得．由已知得，解得．6.A 【解析】因为该运动员在练习时击中环的概率为，击中环的概率为，既未击中环也未击中环的概率为，该运动员一次射箭击中环数的期望为环，所以，即，所以当且仅当时取“”，此时，解得，，．7.B 【解析】由题分析可知，质点从移动到需向右或向上移动一共个步骤，其中向右步，向上步，而每次移动的概率均为，根据“次独立重复试验发生次”的概率知识，可求出本题中的概率为：．8.D 【解析】由题意知的可能取值是，当时，表示第一次和第二次取出的只都是次品，；当时，表示第三次取出的是次品，前两次中一个正品一个次品，，以此类推，得到结果．9.D 【解析】有两种情况：第一种情况：活动的人数按、、、分成四组，；第二种情况是：活动的人数按、、、分成四组，．其中，甲和乙在一起的情况有．所以．第二部分10.【解析】如图，平面与垂直，这样的与垂直的平面（与平面平行）有四个，此时与垂直的直线有条，中点，，，，，所构成的平面与直，此时与垂直的直线有条，所以与垂直的直线有．11.【解析】的展开式的通项公式为（），的展开式的通项公式为（），所以的展开式的通项公式为，令，所以，或，或，或，所以展开式中含项的系数为．12.【解析】展开式的通项为，则数列的通项公式为，，所以13.【解析】两个二项式的通项公式分别为则有当，即时，有种情况：因此，常数项为．14.【解析】因只有和的展开式中含项，且分别为，，由已知有，解得．然后用赋值法，令得，．15.②④【解析】根据题意可得④是正确的；所以，，，而，则①和⑤是错误的；由于，则②是正确的；同时可以判断出③是错误的．16.【解析】都在前排左边个座位就坐有种坐法；都在前排右边个座位就坐有种坐法；分列在中间个的左右两边就坐有种坐法；故都在前排就坐一共有种坐法．甲乙都在后排就坐共有种坐法．甲乙分列在前后两排就坐共有种坐法．故一共有种坐法．第三部分17.（1）这名幸运之星中，每人获得奖品的概率为，获得奖品的概率为．要获得奖品的人数大于获得奖品的人数，则奖品的人数可能为，，，则则所求概率为．

（2）的可能取值为，，，且，，，所以的分布列是：故随机变量的数学期望．18.（1）设“这名同学至少有名同学收看发射直播”为事件，则．

（2）由条件可知可能的取值为，，，，．；所以的分布列为19.（1）设每天，两种产品的生产数量分别为，，相应的获利为，则有目标函数为．将变形为，设．当时，表示的平面区域如图阴影部分所示，三个顶点分别为，，．平移直线知当直线过点，即当，时，取最大值，故最大获利当时，①表示的平面区域如图阴影部分所示，三个顶点分别为，，．平移直线知当直线过点，即当，时，取得最大值，故最大获利当时，①表示的平面区域如图阴影部分所示，四个顶点分别为，，，．平移直线知当直线过点，即当，时，取得最大值，故最大获利故最大获利的分布列为因此，．

（2）由（1）知，一天最大获利超过元的概率，由二项分布，天中至少有天最大获利超过元的概率为．20.（1）由题意可得：应分别从题的答卷中抽出份，份．

（2）记事件：被抽出的三种答卷中分别再各任取出份，这份答卷恰有份得优，可知只能题答卷为优．依题意．

（3）由题意可知，题答卷得优的概率是．显然被抽出的题的答卷中得优的份数的可能取值为，且．；；；；；；随机变量的分布列为所以．21.（1）当每次取出的黑球不再放回时，的可能取值为，，，，，易知，．，．

（2）当每次取出的黑球仍放回去时，直到取球次结束，的可能取值是，，，，所求概率分布列为所以所以上述两式相减，整理得22.（1）基本事件总数为，若使方程有实根，则，化简得．当时，，，，，；当时，，，，；当时，，，；当时，，，；当时，，；当时，，．所以目标事件个数为．因此方程有实根的概率．

（2）由题意知，，则故的分布列为的数学期望

（3）记“先后两次出现的点数中有”为事件，“方程有实根”为事件，则23.（1）记"厂家任取件产品检验，其中至少有件是合格品"为事件，用对立事件来算，有

（