专题146全等三角形章末八大题型总结（培优篇）（沪科版）

专题14.6全等三角形章末八大题型总结（培优篇）【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1添加条件使成为全等三角形】 1【题型2判定全等三角形的依据】 3【题型3利用全等三角形的判定与性质证明线段或角度相等】 6【题型4利用全等三角形的判定与性质求线段长度或角的度数】 12【题型5利用全等三角形的判定与性质确定线段之间的位置关系】 16【题型6全等三角形在网格中的运用】 21【题型7全等三角形在新定义中的运用】 24【题型8全等三角形的实际应用】 33【题型1添加条件使成为全等三角形】【例1】（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，已知AB=CD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△CDA的是

A．∠BCA=∠DCA B．∠BAC=∠DCA【答案】A【分析】由已知我们可得到两个三角形的两边相等（其中AC为公共边），根据全等三角形的判定即可解答．【详解】解：∵AB=CD∴可以添加的条件是：BC=ADSSS，或∠故只有∠BCA=∠DCA故选：A．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形的判定是解决问题的关键．【变式11】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）2022年冬季奥运会在我国北京举行，奥运健儿们敢于拼搏、善于拼搏，在奥运赛场上展现新时代中国运动员的精神风貌和竞技水平，请你添加一个条件，为奥运健儿设计一只与图1一样的鞋子，已知：AB=DF，【答案】∠ACB【分析】根据题意增加条件进行判定即可．【详解】解：由题意得可以增加的条件为：∠ACB在△ABC和△∠ACB∴△ABC故答案为：∠ACB【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．【变式12】（2023春·福建宁德·八年级统考期末）具备下列条件的两个三角形，可以证明它们全等的是(

).A．一边和这一边上的高对应相等 B．两边和第三边上的中线对应相等C．两边和其中一边的对角对应相等 D．直角三角形的斜边对应相等【答案】B【分析】根据判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析．【详解】解：A、一边和这边上的高对应相等，无法得出它们全等，故此选项错误；B、两边和第三边上的中线对应相等，通过如图所示方式（倍长中线法）可以证明它们全等（△ABC≌△A′B′C′），故此选项正确.．C、两边和其中一边的对角对应相等，无法利用ASS得出它们全等，故此选项错误；D、直角三角形的斜边对应相等,无法得出它们全等，故此选项错误．故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式13】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）在△ABC与△DEF中，下列各组条件，不能判定这两个三角形全等的是（

）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠FC．AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠D D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F【答案】B【分析】【详解】利用全等三角形的判定定理，分析可得：A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F可利用AAS证明△ABC与△DEF全等；B、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE，对应边不对应，不能证明△ABC与△DEF全等；C、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D可利用ASA证明△ABC与△DEF全等；D、AB=EF，∠A=∠E∠B=∠F可利用SAS证明△ABC与△DEF全等；故选B点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【题型2判定全等三角形的依据】【例2】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，已知太阳光线AC和DE是平行的，在同一时刻，如果将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，那么在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断△ABC≌△DFE的依据是

A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【答案】B【分析】先根据题意得出AC∥ED，AH⊥GT，【详解】解：如图，

，依题意得：AC∥∴∠AGH在△AGH和△∠AGH∴△AGH故选：B．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解答此题的关键是理解题意，找出AC∥【变式21】（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图，将两根钢条AA'，BB'的中点O钉在一起，使AA'，BB'能绕点O自由转动，就做成一个测量工具，测

A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．斜边直角边【答案】A【分析】由O是AA'、BB'的中点，可得：AO=A'O，【详解】∵O是AA'、B∴AO=A'在△OAB和△AO=∴△OAB故选：A．【点睛】此题考查了全等三角形判定方法的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．【变式22】（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第块去．（填序号）

【答案】③【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【详解】第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的;第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃.应带③去；故答案为：③．【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握常用的几种方法的灵活运用．【变式23】（2023春·浙江台州·八年级校考期中）为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD=BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得AB的长．那么△ABC≌△ADC的理由是（

）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【答案】A【分析】根据已知条件可找到两边对应相等且夹角相等，利用SAS即可证明△ACB≌△ACD,由此即可解决问题．【详解】解：∵∠ACB=90°∴∠ACB=∠ACD=90°则在△ACB和△ACD中,AC＝∴△ABC≌△ADC（SAS）,∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的应用,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法,属于中考常考题型．【题型3利用全等三角形的判定与性质证明线段或角度相等】【例3】（2023春·四川达州·八年级校考期末）如图，△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC

(1)△ABC与△(2)过点C作CE∥BD，过点B作BF∥AC，试判断【答案】(1)△ABC(2)∠DCE【分析】（1）根据SAS，直接可得△ABC（2）根据△ABC≌△DCB，可得∠【详解】（1）△ABC在△ABC和△AB=∴△（2）∵CE∥BD，∴∠DCE∵△ABC∴∠A∴∠DCE【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【变式31】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，BD,CE都是△ABC的角平分线，BD交CE于点F(1)求∠BFC(2)求证：DF【答案】(1)120°(2)见解析【分析】1首先利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义得到∠2结合1根据平角定义得到∠BFE=∠CFD=60°.在BC上截取BG=BE，连接GF，利用SAS可证得△BFE与△BFG全等，则EF=GF，【详解】（1）解：∵∠A∴∠ABC∵BD，CE分别是∠ABC和∴∠DBC∴∠BFC（2）证明：如图，在BC上截取BG=BE，连接∵∠BFC∴∠BFE∵BF=BF，BE∴△BFE≌△∴∠BFE=∠BFG∴∠CFG∵∠CFG=∠CFD=60°，∴△CFG≌△∴FG∴DF【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，得到△BFE≌△【变式32】（2023春·广西北海·八年级统考期中）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P是线段AB上一点，过点A作AE⊥CP交CP延长线于点E

(1)求证：△ACE(2)线段AE、BF、EF有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)BF=【分析】（1）利用垂线和余角，得出∠E=∠BFC=90°，∠CAE=∠BCF（2）根据全等三角形的性质可知，AE=CF，CE=BF，再利用CE=EF+【详解】（1）证明：∵∠ACB∴∠ACE∵AE⊥CE∴∠E∴∠ACE∴∠CAE在△ACE和△∠AEC∴△ACE（2）解：BF=由（1）可知△ACE∴AE=CF∴CE即BF=【点睛】本题考查了垂线，余角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．【变式33】（2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图1，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分线AE，(1)证明：AE⊥(2)如图2，过点E作直线AB，AD，DC的垂线，垂足分别为F，G，H，证明：EF=(3)如图3，过点E的直线与AB，DC分别相交于点B，C（B，C在AD的同侧）求证：E为线段BC的中点；【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】（1）根据AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，可得∠BAE=∠DAE=12∠（2）先证明△AEF≌△AEG，即有EF（3）在AD上取一点M，使得AM=AB，连接ME，先证明△AME≌△ABE，即有ME=BE，∠AEM=∠AEB，在（1）中已证明∠【详解】（1）∵AE平分∠BAD，DE平分∠∴∠BAE=∠DAE∵AB∥∴∠BAD∴∠ADE∴∠E∴AE⊥（2）∵EF⊥AB，EG⊥AC，∴∠EFA=∠EGA∵AE=∴△AEF∴EF=同理可证：EH=∴EF=（3）在AD上取一点M，使得AM=AB，连接∵AE平分∠BAD，DE平分∠∴∠BAE=∠DAE∵AE=AE，∴△AME∴ME=BE，在（1）中已证明∠AED∴∠AEM+∠DEM∴∠DEM∵∠ADE=∠CDE∴△DME∴ME=∴ME=∴E为线段BC的中点．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．【题型4利用全等三角形的判定与性质求线段长度或角的度数】【例4】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB=DE，

(1)试说明：△ABC(2)若BE=10m，BF=3【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）由AB∥DE，得∠ABC=∠DEF，而AB=DE（2）根据全等三角形的性质得BC=EF，则BF=【详解】（1）证明：∵AB∥∴∠在△ABC和△∠∴△ABC（2）∵△ABC∴BC∴BC-即BF∵BE=10m∴BF=∴FC【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明∠ABC【变式41】（2023春·江苏淮安·八年级校联考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是斜边AB的中点，若CD【答案】6【分析】根据题意，作出图形，数形结合，利用三角形全等的判定与性质得到AB=2【详解】解：根据题意，作出Rt△ABC，连接CD并延长，使DE=

∵点D是斜边AB的中点，∴AD在△ADC和△AD=∴△ADC∴AC∴AC∵∠ACB∴∠EBC在△ACB和△AC=∴△ACB∴AB∵CD∴AB故答案为：6．【点睛】本题考查利用三角形全等的判定与性质求线段长，涉及倍长中线方法作辅助线、平行线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．【变式42】（2023春·陕西延安·八年级陕西延安中学校考期中）如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH【答案】130【分析】先判断出△ACD≌△BCE，可得∠DAC=∠【详解】∵∠ACB∴∠ACB即∠ACD在△ACD和△BCE∴△ACD≌△BCE∴∠由三角形内角定理可得：∠∴∠∴∠故答案为：130．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，能求出△ACD【变式43】（2023春·广东梅州·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，AE平分∠BAD且∠AED=90°，若CD=2AB，

【答案】6【分析】方法一：在AD上截取AF，使得AB=AF，证明△ABE≌△AFE，可得BE=EF，∠方法二：延长DE、AB交于点G，证明△AEG≌△AED得AG=AD=18，ED=【详解】方法一：在AD上截取AF，使得

∵AE平分∠BAD∴∠BAE∵AE=∴△∴BE=EF又∵∠BEA+∠∴∠∵E是边BC的中点，∴CE∵ED∴△∴CDAD∴AB方法二：延长DE、AB交于点G

∵AE平分∠BAD且∴∠∵AE∴△∴AG=AD∵BE=CE∴△∴BG∴AG∴AB【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．【题型5利用全等三角形的判定与性质确定线段之间的位置关系】【例5】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）如图，在ΔABC和ΔADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=

(1)求证：ΔBAD(2)猜想BD,【答案】(1)证明见解析；(2)BD⊥【分析】（1）由“SAS”可证△BAD（2）由全等三角形的性质可得∠ACE【详解】（1）∵∠BAC∴∠BAC∴∠BAD在ΔBAD和ΔCAE中，AB=∴Δ（2）猜想：BD⊥由（1）知ΔBAD∴BD=∵AB=∴∠ABC∴∠ABD∵∠ABD∴∠ACE∴∠DBC∴∠BDC∴BD⊥【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．【变式51】（2023春·江西吉安·八年级统考期末）如图，BD=BC，点E在BC上，且BE=(1)求证：△ABC(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AC∥【分析】（1）运用SSS证明即可；（2）由（1）得∠DBE【详解】（1）在ΔABC和ΔEDB中，BD=∴ΔABC≅ΔEDB(SSS（2）AC和BD的位置关系是AC∥∵ΔABC∴∠DBE∴AC∥【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．【变式52】（2023春·江苏南通·八年级校联考期中）如图，△ABC的两条高线BD、CE，延长CE到Q使CQ＝AB，在BD上截取BP＝AC，连接AP、AQ，请判断AQ与AP的数量与位置关系？并证明你的结论．【答案】AP＝AQ，AP⊥AQ，见解析【分析】根据垂直的定义得到∠ADB＝∠AEC＝90°，得到∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．推出△APB≌△QAC（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：AP＝AQ，AP⊥AQ，理由如下：∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．∵BP＝AC，CQ＝AB，在△APB和△QAC中，BP=∴△APB≌△QAC（SAS），∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CQA，∵∠CQA+∠QAE＝90°，∴∠BAP+∠QAE＝90°．即AP⊥AQ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形内角和定理的应用，解此题的关键是推出△APB≌△QAC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．【变式53】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组拿了两个大小不同的等腰直角三角板进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系，如图1，在△ABC和△DEF中，(1)勤奋小组摆出如图2所示的图形，点A和点D重合，连接BE和CF，求证：BE=(2)超越小组在勤奋小组的启发下，把两个三角形板按如图3的方式摆放，点B，C，E在同一直线上，连接CF，他们发现了BE和CF之间的数量和位置关系，请写出这些关系，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)BE=CF，【分析】（1）证明△BAE（2）证明△BAE≌△CAF，得到∠ABE=∠【详解】（1）证明：∵∠BAC∴∠BAE=90°-∠EAC∴∠BAE在△BAE和△CAF中，∴△BAE∴BE=（2）BE=∵∠BAC∴∠BAE∴∠BAE在△BAE和△CAF中∴△BAE∴∠ABE∵∠ABE∴∠ACF∴∠BCF∴BE⊥【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．【题型6全等三角形在网格中的运用】【例6】（2023春·广西崇左·八年级统考期末）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=．

【答案】180°【分析】根据三角形全等求出∠1和∠4的数量关系以及∠2和∠3的数量关系，即可求出四个角之和．【详解】解：如图所示，在Rt△ABC中和Rt△∴△ABC∴∠4=∠BED∵∠1+∠BED∴∠1+∠4=90°．同理可证：∠2+∠3=90°．∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°=180°．故答案为：180°．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的性质以及观察图形分析出相等的边长和角度．【变式61】（2023春·河南南阳·八年级统考期中）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】根据全等三角形的性质找出全等三角形即可．【详解】解：如图所示，以BC为公共边的全等三角形有三个分别为△A1BC，△以AB为公共边的全等三角形有一个为△AB∴共有4个三角形与△ABC有一条公共边且全等．故选：B．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．【变式62】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，图形的各个顶点都在3×3正方形网格的格点上．则∠1+∠2=．【答案】45°【分析】通过证明三角形全等得出∠1=∠3，再根据∠1+∠2=∠3+∠2即可得出答案．【详解】解：如图所示，由题意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中，∵{AB∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS）∴∠3=∠1∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°故答案为：45°【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出∠1=∠3是解题的关键．【变式63】（2023春·吉林长春·八年级长春市第八十七中学校考期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAD+∠ADC=．【答案】90°【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．【详解】解：如图，设AB与CD相交于点F，在△DCE和△ABD中，∵{CE∴△DCE≌△ABD（SAS），∴∠CDE=∠DAB，∵∠CDE+∠ADC=∠ADC+∠DAB=90°，∴∠AFD=90°，∴∠BAC+∠ACD=90°，故答案为：90度．【点睛】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．【题型7全等三角形在新定义中的运用】【例7】（2023春·河北沧州·八年级统考期末）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在【答案】（1）平行四边形，等腰梯形，矩形等；（2）与∠A相等的角是∠DOB（或∠EOC）；猜想四边形BDEC是等对边四边形；（3）存在等对边四边形，是四边形BDEC【分析】（1）本题理解等对边四边形的图形的定义，平行四边形，等腰梯形，矩形就是；（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形；（3）作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD