专题152等腰三角形的性质与判定（举一反三）（沪科版）

专题15.2等腰三角形的判定与性质【十大题型】【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1根据等边对等角求角度】 1【题型2根据等边对等角证明】 6【题型3根据三线合一求解】 11【题型4根据三线合一证明】 16【题型5根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形】 23【题型7根据等角对等边证明边相等】 35【题型8根据等角对等边求边长】 41【题型9求与图形中任意两点构成等腰三角形的个数】 45【题型10等腰三角形的判定与性质的综合运用】 50【知识点等腰三角形】（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.【题型1根据等边对等角求角度】【例1】（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针方向旋转40°得到△A'BC'，点A'恰好落在

A．110° B．105° C．100° D．95°【答案】A【分析】由旋转知∠ABA'=∠CBC'=40°，BA=BA'，【详解】解：由旋转知，∠ABA'=∠CB∴∠BAA'∴∠BAA'∵△ABC中，∴∠CAB∴∠ACB∴∠AC故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形等边对等角，三角形内角和定理，由定理得到角之间数量关系是解题的关键．【变式11】（2023春·广东梅州·八年级校考期末）在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，∠ABD=50°【答案】70°或20°【分析】①如图，当顶角为锐角三角形时：∠BAC=90°-∠ABD=40°，【详解】解：①如图，当顶角为锐角三角形时：∠BAC

∵AB=∴∠ABC②如图，当顶角为钝角三角形时：∵∠ABD=50°，∴∠BAC

∵AB=∴∠C故答案为：70°或20°．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解本题的关键．【变式12】（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A

A．12n75° B．12n-【答案】C【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1【详解】解：∵在△CBA1中，∠∴∠B∵A1A2=A∴∠D同理可得∠EA3∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是(故选：C．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1【变式13】（2023春·海南海口·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且(1)如图①，∠B=∠C=36°，(2)如图②，若∠ABC=∠ACB=65°，(3)当点D在直线BC上运动时（不与点B、C重合），试探究∠BAD与∠【答案】(1)36°(2)40°(3)2∠【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC（2）根据三角形的外角的性质得到∠E（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC【详解】（1）解：∵∠B∴∠BAC∵∠BAD∴∠DAE∴∠ADE∴∠CDE（2）∵∠ACB=65°，∴∠E∴∠ADE∴∠ADC∵∠ABC∴∠BAD（3）设∠ABC=∠ACB=y°①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC∴y°=解得，2α∴2α②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC∴x°+∴2α∴2α③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC∴x°-解得，2α∴2α综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．【题型2根据等边对等角证明】【例2】（2023春·湖南·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A=45°，点D在AB边上，BC=CD，DE⊥AC(1)求证△DCE(2)若AB=AC，求证【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）先证明∠FBC=∠DCE，再根据（2）过点C作CH⊥BD于点H，根据等腰三角形的性质可得∠BCH=∠DCH，BH【详解】（1）证明：∵DE⊥AC∴∠DEC=∠CFB∵∠A∴∠ABF∵BC∴∠DBC∵∠DBC=∠ABF∴∠FBC在△DCE和△∠DEC∴△DCE（2）证明：过点C作CH⊥BD于点∵BC∴∠BCH=∠DCH∵AB∴∠ABC∵∠FBC∴∠BCD∴∠DCH=22.5°，∴∠ACD∴∠ACD∵DE⊥AC∴DE∴DE【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式21】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC【答案】见解析【分析】根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，根据平行线的性质可得∠【详解】证明：∵AB=∴∠ABC∵AE∥∴∠EAC∴∠ABC∵AD⊥AB，∴∠BAD在△ABD和△∠ABC∴△ABD∴AD=【点睛】本题考查了等边对等角，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，属于中考常考题型．【变式22】（2023春·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1=∠2，AB=【答案】见解析【分析】由平行线的性质可得出∠ABD=∠BDC，结合题意可由“AAS”证明△ABD≌△【详解】解：∵AB∴∠ABD在△ABD和△DEC中，∴△ABD∴BD∴∠DBC【点睛】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．【变式23】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）如图，已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，D为线段CB延长线上一点，连接AD，DE平分∠ADC交AC、AB于点(1)猜想∠DAC与∠(2)求证AD=【答案】(1)∠ACD(2)见解析【分析】（1）由等边对等角得∠ABC（2）延长DC至点K，使CK=CE，易得【详解】（1）∠ACD证明如下：∵AB∴∠ABC∵∠ADC∴∠ADC又∵∠ADC∴180°-∠ACD化简，得：∠ACD（2）证明：延长DC至点K，使CK=∵CK∴∠K∴∠ACD又∵∠ACD∴∠DAC又∵DE平分∠∴∠ADE在△ADE与△∠ADE∴△ADE∴DA又∵DK∴AD=【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确构造辅助线使三角形全等是解题的关键．【题型3根据三线合一求解】【例3】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，点D为CA延长线上一点，DH⊥BC于点H，点F为AB延长线上一点，连接DF交CB的延长线于点E，点E是DF的中点，若BH=2

【答案】12【分析】过D作DN∥AF，交CE延长线于N，证明△DEN≌△FEBAAS，得到EN=BE=4，由此求出NH=10，再根据∠【详解】过D作DN∥AF，交CE延长线于∴∠∵点E是DF的中点，∴DE∴△∴EN=∵BH=2，BE∴EN=∴NH=10∵AB=∴∠C∵DN∥∴∠ABC∴∠C∴DC又∵DH⊥∴CH=∴BC=故答案为：12．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形三线合一的性质，正确引出辅助线结合各性质进行推理论证是解题的关键．【变式31】（2023春·河北邢台·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，边AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE，交AD于点F．若∠C

A．48° B．62° C．72° D．82°【答案】C【分析】由题意易得∠ABC=∠C=66°，AE=【详解】解：∵AB=AC，AD是△ABC∴∠ABC=∠C=66°，∴∠BAC∵AB的垂直平分线交AC于点E，∴AE=∴∠ABE∴∠EBC∴∠AFE故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．【变式32】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）如图，在ΔABC中，AB=BC,SΔABC=3cm2，边BC的垂直平分线为l，点D是边AC的中点，点P是l【答案】2或6【分析】连接BD，由于AB=BC，点D是AC边的中点，故BD⊥AC，再根据三角形的面积公式求出AC×BD=6，再根据直线l是线段BC的垂直平分线可知，点C关于直线l的对称点为点B【详解】解：连接BD，∵AB=BC，点D是∴BD⊥∴SΔABC解得AC×∵直线l是线段BC的垂直平分线，∴点C关于直线l的对称点为点B，∴BD的长为CP+∴.ΔCDP的周长最短=(∴BD=-∴AC×(-解得AC=2或6故答案为：2或6．【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．【变式33】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，交AB于点M，点(1)若∠FCM=18°，则∠BGC(2)若点G是BD的中点，判断CF与DE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)108°(2)CF=2DE，理由见解析【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，求出∠BCG=∠CAF=45°，进而求出∠ACF得到∠CBG的度数，根据三角形内角和求出答案；（2）证明△BCG≌△CAF(ASA)，推出BG=CF，再证△ADE≌△CGE(AAS)，推出DE=GE，即DG=2DE，即可得到结论．【详解】（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，∴∠BCG=∠CAF=45°，∵∠FCM∴∠ACF=∠ACM∠FCM=45°18°=27°，∴∠CBG=∠ACF=27°，∴∠BGC=180°∠BCG∠CBG=180°45°27°=108°，故答案为：108°；（2）CF=2DE，理由：连接AG，∵∠CBG=∠ACF，AC=BC，∠BCG=∠CAF，∴△BCG≌△CAF(ASA)，∴BG=CF，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CM⊥AB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∴∠D=∠EGC，∵∠AED=∠CEG，∠D=∠EGC，AE=CE，∴△ADE≌△CGE(AAS)，∴DE=GE，即DG=2DE，又∵点G是BD的中点，∴DG=BG，∴CF=2DE．【点睛】此题考查了等腰直角三角形三线合一的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．【题型4根据三线合一证明】【例4】（2023春·福建莆田·八年级校考期中）如图，ΔABC中，AB=AC，AD是BC(1)求证：EB=ED．(2)求证：AE=DE．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)根据DE//AC，ED=12AC=12【详解】（1）∵AB=AC，AD是∴AD平分∠BAC∴∠BAD∴BD=∵DE//∴ED=∴E是AB中点即EB=∴EB=（2）证明：∵AB=AC，AD是B∴AD平分∠BAC∴∠BAD∵DE∴∠BAD∴∠CAD∴AE=【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键．【变式41】（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、

(1)△ABC(2)AC⊥【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）分别利用SSS证△ABC（2）由△ABC≌△ADC得∠【详解】（1）证明：在△ABC和△AB=∴△ABC≌△ADC

（2）证明：由（1）得△ABC∴∠ACB∵BC=∴AC⊥【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理．【变式42】（2023春·山东泰安·八年级统考期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，点E、F(1)如图①，若点E、F分别在线段AB、AC上，DE与DF相等且(2)如图②，若点E、F分别在线段AB、【答案】(1)DE=DF且(2)成立，见解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B（2）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B【详解】（1）DE=DF且如图①，连接AD，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠BAD∴AD=在△AED和△CFD∴△AED∴DE=DF，又∵∠CDF∴∠ADE∴∠EDF∴DE⊥（2）若点E、F分别在线段AB，CA的延长线上，（1）中的结论依然成立，如图②，连接∵AB=AC，∠BAC=90°，点∴∠BAD∴AD=在△AED和△CFD∴△AED∴DE=又∵∠CDF∴∠ADE∴∠EDF∴DE⊥【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形．【变式43】（2023春·河北廊坊·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AC=BC,∠A=∠ABC=45°,D为AB中点，点E是AB边上一动点（不含端点A、B），连接CE，点F

(1)点E在线段AD上运动（如图1），当CG=AE时，求证：(2)若点E运动到线段BD上（如图2），当CG=AE时，试猜想(3)过点A作AH⊥CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M（如图3），求证：【答案】(1)见解析(2)不变，见解析(3)见解析【分析】（1）根据等腰三角形性质得出∠BCG=45°，再证明△ACE（2）用和（1）同样的方法证明△ACE（3）根据等腰三角形性质得出CD⊥AB，则∠2+∠3=90°，根据AH⊥CE，则∠3+∠M=90°，即可得出∠2=∠M【详解】（1）证明：∵AC=∴∠ACB∵点D为AB中点，∴∠BCG在△ACE和△AC=∴△ACE∴BG=（2）解：BG、证明：∵AC=∴∠ACB∵点D为AB中点，∴∠BCG在△ACE和△AC=∴△ACE∴BG=（3）解：∵AC=∴∠ACB∵点D为AB中点，∴CD⊥AB，∴∠2+∠3=90°，∵AH⊥∴∠3+∠M∴∠2=∠M∵∠1+∠M∴∠1=∠3，∴∠3+∠BCG=∠1+∠BAC在△BCE和△∠2=∠M∴△BCE

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形那个的性质，解题的关键是掌握全等三角形是判定方法，以及等腰三角形“三线合一”．【题型5根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形】【例5】（2023春·上海浦东新·八年级校联考期末）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．（1）求证：∠D＝∠E；（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有个等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）证明△EBC≌△DCB（SAS），可得结论．（2）根据等腰三角形的定义，判断即可．【详解】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△EBC和△DCB中，BE=∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BE＝CD．（2）图中共有5个等腰三角形．∵∠BAC＝108°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝36°，∵∠D＝∠E＝36°，∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE，∴∠DAB＝∠EAC＝72°，∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°，∴DB＝DA，EA＝EC，∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形．故答案为：5．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定，等腰三角形不要漏找．【变式51】（2023春·广西钦州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直线AC上取一点P，使得A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定定理，分情况讨论，正确作图，即可得到结论．