专题07平行线的证明和三角形内角（考点清单）

专题07讲：平行线的证明和三角形内角（考点清单）【聚焦考点】考点一：平行公理及推论考点二：平行线的判定考点三：平行线的性质定理考点四：平行线性质的应用考点五：平行线之间的距离考点六：平行线的性质和判定综合问题考点七：三角形内角和定理考点八：与平行线有关的三角形内角和问题考点九：与角平分线有关的三角形内角和问题考点十：三角形中折叠的角度问题考点十一：三角形内角和的综合问题考点十二：平行线和三角形内角和的综合问题【题型归纳】题型一：平行公理及推论【典例1】（2022上·山东济南·八年级统考期末）下面的四个命题中，真命题的是（

）A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等B．过一点有且仅有一条直线和已知直线平行C．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角D．同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行【答案】D【分析】由对顶角的性质判断C，由平行线的性质和平行公理判断B、A、D．【详解】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故选项A错误；没有说明点在直线外，故选项B错误；对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，故选项C错误；同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故选项D正确．故选：D．【专训11】（·浙江台州·七年级台州市书生中学校考期中）下列命题中，真命题的个数是（

）①同位角相等；②a，b，c是三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．③a，b，c是三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；②，在同一平面内，a，b，c是三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故原命题是假命题；③a，b，c是三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，是真命题；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题是假命题，综上，真命题只有③一个，故选：A．【专训12】（2014上·山东临沂·八年级统考期末）下列说法中是真命题的有（

）①一条直线的平行线只有一条．②过一点与已知直线平行的直线只有一条．③因为a∥b，c∥b，所以a∥c．④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】试题分析：①一条直线的平行线只有一条是错误的；②经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调在经过直线外一点，故是错误的．③因为a∥b，a∥c，所以b∥c，正确．④满足平行公理的推论，正确．故选B．考点：1．平行线；2．垂线．题型二：平行线的判定【典例2】（2023上·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，下列推理中正确的是（）A．∵，∴ B．∵，∴C．∵，∴ D．∵，∴【答案】B【分析】根据平行线的判定可进行求解．【详解】解：A、∵，∴，故原选项不符合题意；B、∵，∴，故原选项符合题意；C、∵，∴，故原选项不符合题意；D、∵，∴，故原选项不符合题意；故选B．【专训21】（2022·河北廊坊·统考二模）如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的判定与性质，平行四边形的判定定理进行判断作答即可．【详解】解：A中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求；B中由可得，，不能判定四边形是平行四边形，故符合要求；C中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求；∵，∴，D中由可得，，即，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求；故选：B．【专训22】（2023上·陕西西安·八年级校考期末）如图，在三角形中，点E，D，F分别在上，连接，下列条件中，能推理出的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据“同位角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，内错角相等两直线平行”进行判断即可．【详解】解：A、不能得到平行，不符合题意；B、由，得到，不符合题意；C、由，得到，符合题意；D、由，得到，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定定理；熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．题型三：平行线的性质定理【典例3】（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）如图，在中，，点E、F、G分别在边上，，则四边形的周长是（

）

A．20 B．24 C．30 D．10【答案】A【分析】由，可得四边形是平行四边形，由，可得，由，可知，即，根据四边形的周长为，计算求解即可．【详解】解：∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∵，∴，∴，∴四边形的周长为，故选：A．【专训31】（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在中，，点D、E分别在边、上，且，M、N分别为线段、的中点，则线段的长为（

）

A．1.5 B．3 C． D．【答案】C【分析】连接，取的中点H，连接，，根据中位线性质得出，，根据平行线的性质得出，同理课程，，根据平行线的性质得出，求出，根据勾股定理求出结果即可．【详解】解：连接，取的中点H，连接，，如图所示：

∵M、N分别为线段、的中点，∴是的中位线，∴，，∴，同理可得：，，∴，∵，∴，∴，∴，故C正确．故选：C．【专训32】（2023下·广西河池·八年级统考期末）如图，是等边三角形，是内一点，，，，，则的周长是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】延长交于，延长交于，由条件推出四边形，四边形是平行四边形，，是等边三角形，得到，即可求出的周长．【详解】解：延长交于，延长交于，∵，，，∴四边形，四边形是平行四边形，∴，，∵是等边三角形，∴，∴，，∴，∴是等边三角形，同理：是等边三角形，∴，，∴，∴，∴的周长为：，即的周长是．故选：B．

题型四：平行线性质的应用【典例4】（2023上·河北邢台·八年级统考期末）如图，A岛在B岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏东方向，C岛在A岛的南偏东方向，从C岛看A、B两岛的视角是（

）度．

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据方向角的概念，得出，；，再由两直线平行，内错角相等，，然后根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图所示：

∵A岛在B岛的北偏东方向，即，∵C岛在B岛的北偏东方向，即，∴，∵C岛在A岛南偏东方向，即，∵，∴，∴，在中，．故选：C．【专训41】（2023下·贵州毕节·八年级期末）如图，在中，，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E，若，则的度数是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据平角的定义得到，进而根据三角形外角的性质得到，利用等边对等角和三角形内角和定理得到，再由平行线的性质得到，由此即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选A．【专训42】（2023下·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期末）如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，点C在上，，，，，连接，则度数是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先证明，再证明，结合角的和差关系可得答案．【详解】解：∵，，，∴，∵，∴，∵，，∴，，故选A．题型五：平行线之间的距离【典例5】13．（2022下·四川绵阳·八年级校联考期末）如图，直线，其中P在上，A、B、C、D在上，且PB⊥，则与间的距离是（）A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度【答案】B【分析】根据平行线之间的距离定义解答即可．【详解】解：∵P在上，B在上，PB⊥，，∴与间的距离是线段PB的长度．故选：B．【专训51】（2022下·河南濮阳·八年级校联考期末）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点在的延长线上，点在上，，，，当边与射线所夹的锐角为时，则：①AB∥CF；②；③；④点和点到的距离相等．以上四个结论正确的有几个（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】先根据判定AB∥FC，然后根据垂直的定义得出，进而求出，再利用外角的性质求出．【详解】解：如图，，∴AB∥FC，故正确；，，，故正确；，，，故正确；平行线间的距离处处相等，且AB∥FC，∴点和点到的距离相等，故正确．故正确的结论有个，故选：D．【专训52】（2022下·浙江金华·八年级统考期末）如图，在中，E点在BC边上，P．Q是AD边上的两点（P在Q的左侧）、若PB与AE相交于R点，QB与AE相交于S点，则下列对的面积大小判断正确的是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平行线之间的距离处处相等，可得△PBE、△QBE有同底和相等的高，即可得△PBE的面积＝△QBE的面积；由图可得△BRE的面积＞△BSE的面积，可得△PRE的面积＜△QSE的面积．即可判断．【详解】解：①△PBE、△QBE如图所示：两个三角形有相同的底BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵平行线之间的距离处处相等，∴△PBE、△QBE有相等的高，∴△PBE的面积＝△QBE的面积；②∵△PBE的面积＝△QBE的面积，

∴△PRE的面积+△BRE的面积＝△QSE的面积+△BSE的面积，由图可知：△BRE的面积＞△BSE的面积，∴△PRE的面积＜△QSE的面积．故选：D．题型六：平行线的性质和判定综合问题【典例6】（2022上·广东深圳·八年级校考期末）已知：如图，点D、E、F、G都在的边上，，，

(1)求证：；(2)若平分，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行线的性质得到，继而推出，即可证明；（2）利用平行线的性质得到，结合角平分线的定义求出，再利用平行线的性质求解即可．【详解】（1）证明：，，，，；（2）解：，，平分，，，，．【专训61】（2022上·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，．

(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由得到，即可得到，再根据等量代换得到即可证明；（2）由平行的性质得到，求出即可求出答案．【详解】（1），，，，，；（2），，，，，，，，．【专训62】（2023上·河南平顶山·八年级统考期末）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点．

(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据内错角相等两直线平行，可证；（2）根据平行线的性质可以解题．【详解】（1）证明：∵∴∴∵∵∴（2）解∵，∴,∵,∴,∴，∴【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．题型七：三角形内角和定理【典例7】（2020上·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，为延长线上一点，于，，，则的度数为（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据△ADE中三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据△ABC中三角形内角和定理即可求出的度数．【详解】∵CE⊥AF于E，∴∠AED＝90°，∵∠D＝20°，∴∠A＝180°−∠AED−∠D＝180°−90°−20°＝70°，∵∴＝180°−∠A−∠C＝180°−70°−40°＝70°．故选：C．【专训71】20．（2019下·福建漳州·七年级统考期末）如图，中，平分，垂直平分交于点，交于点，连接，若，，则的度数为A． B． C． D．【答案】B【分析】据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=25°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=25°，然后可算出∠ACF的度数.【详解】解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=25°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°60°25°×2=70°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF=CF，∴∠FCB=25°，∴∠ACF=70°25°=45°，故选B．【专训72】（2019上·湖北武汉·八年级统考期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝BD，若∠ABD＝∠BAC＝，则∠BDC的度数为(

)A．2 B．45°＋ C．90°－ D．180°－3【答案】A【分析】作∠MBA＝∠DBA,交CA延长线于M．由∠ABD＝∠ADB＝,∠BAC＝2,得∠CAD＝180°－4,易证△BAM≌△BAD,得∠M＝∠ADB＝,BM＝BD＝BC,设∠ACD＝x，则∠BDC＝x＋，故x＋(x＋)＝＋＋,解得x＝，故∠BDC＝2【详解】作∠MBA＝∠DBA,交CA延长线于M．∠ABD＝∠ADB＝,∠BAC＝2,∴∠CAD＝180°－4,∴∠BAM＝180°－2,∠BAD＝180°－2,∴△BAM≌△BAD,∴∠M＝∠ADB＝,BM＝BD＝BC,∴AB＝AM,∴∠ABM＝∠M＝,∴∠ACB＝∠M＝,设∠ACD＝x，则∠BDC＝x＋，由八字形得x＋(x＋)＝＋＋,∴x＝，∴∠BDC＝2题型八：与平行线有关的三角形内角和问题【典例8】（2021上·黑龙江鸡西·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠B=46°，∠ADE=40°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠C的大小是（）A．46° B．54° C．66° D．80°【答案】B【分析】先根据∠ADE=40°，DE∥AB求出∠BAD的度数，再由AD平分∠BAC得出∠BAC的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵∠ADE=40°，DE∥AB，∴∠BAD=40°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=80°．∵∠B=46°，∴∠C=180°∠B∠BAC=180°46°80°=54°．故选：B．【专训81】23．（2021·安徽·统考中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得∵，∴∴故选：C．【专训82】（2022下·湖北咸宁·七年级统考期中）如图，已知l1l2，∠A＝45°，∠2＝100°，则∠1的度数为（）A．50° B．55° C．45° D．60°【答案】B【分析】根据平角的定义得出∠ACB＝80°，根据三角形内角和得到∠ABC＝55°，再根据平行线的性质即可得解．【详解】解：∵∠2＝100°，∴∠ACB＝180°−100°＝80°，∵∠A＝45°，∴∠ABC＝180°−45°−80°＝55°，∵l1l2，∴∠1＝∠ABC＝55°，故选：B．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．题型九：与角平分线有关的三角形内角和问题【典例9】（2023下·广东汕头·八年级统考期末）如图，在三角形中，为的平分线，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的度数，再根据角平分线定义求解即可．【详解】解：在三角形中，，，则，∵为的平分线，∴，故选：D．【专训91】（2023上·四川雅安·八年级统考期末）如图，在中，分别平分和，且相交于点O，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可．【详解】∵，∴，∵分别平分和，∴，∴．故选：C．【专训92】（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，，分别是的外角，的角平分线；，分别是，的角平分线；，分别是，的角平分线．当（）时，．A．45° B．50° C．60° D．120°【答案】C【分析】根据角平分线的定义得出，根据平角为可得，从而得出，同理可得，然后根据两直线平行同旁内角互补得出，代入整理得出，最后根据三角形内角和即可得出答案．【详解】，分别是的外角，的角平分线，，分别是，的角平分线，同理，由于、分别是、的角平分线，假设，根据两直线平行，同旁内角互补得即整理得，故选C．题型十：三角形中折叠的角度问题【典例10】（2023上·河南周口·八年级校联考期末）如图所示，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置．则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了三角形外角的性质及轴对称的性质，由轴对称的性质得出，再由，，即可得到，从而求出答案．【详解】解：如图所示，

由题意得：，，，，．故选：A．【专训101】．（2023上·重庆开州·八年级统考期末）如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】设，由翻折得，根据三角形内角和得到，求出，再利用三角形内角和求出的度数．【详解】解：设，由翻折得∵，∴解得，∴∴∴故选：A．【专训102】（2023上·浙江绍兴·八年级统考期末）如图是一张三角形纸片ABC，，点M是边的中点，点E在边AC上，将沿BE折叠，使点C落在边AC上的点D处，若，则（

）A．18° B．54° C．60° D．72°【答案】D【分析】根据直角三角形的性质得，，则，，根据折叠的性质得：，，，根据等腰三角形的性质及三角形的外角的性质得出，根据角的和差即可得出答案．【详解】解：∵，点M是边的中点，∴，，∴，，根据折叠的性质得：，，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故选：D．题型十一：三角形内角和的综合问题【典例11】（2023上·福建漳州·八年级统考期末）在中，平分，交于，点在线段上，过点作于平分，交于．

(1)如图，当时，求证：；(2)当时，直线与直线相交于点，猜想与的数量关系，并说明理由．（要求：画出相应的示意图再作答）【答案】(1)见解析(2)或，理由见解析【分析】（1）如图，，得到，角平分线，得到，进而得到，再根据三角形内角和推出，即可；（2）分，两种情况，画出图形，讨论求解．【详解】（1）证明：，．平分平分，．．在和中，，．，．

（2）或．理由：①当时，如图．

，．，．平分，．，，平分．，．．，．．．②当时，如图．

，．．，．．，．．．综上所述，与的数量关系为或．【专训111】．（2023下·海南省直辖县级单位·八年级校考期末）在中，与的平分线相交于点．

(1)如图1，如果，，，求的度数；(2)如图1，如果，用含的代数式表示；(3)探索：如图2，作外角、的平分线交于点，试写出、之间的数量关系；(4)拓展：如图3，延长线段、交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数．【答案】(1)(2)(3)(4)或或或【分析】（1）根据角平分线的性质可得，，根据三角形内角和定理即可求解；（2）根据角平分线的性质可得，，根据三角形内角和定理即可求解；（3）根据角平分线的性质可得，，根据三角形的外角性质可得，，根据三角形内角和定理即可求解；（4）根据角平分线的性质求得，结合（3）中结论和三角形内角和定理求得，分四种情况进行讨论：；；；；分别列出方程，求解即可．【详解】（1）解：∵与的平分线相交于点，∴，，在中，．（2）解：∵与的平分线相交于点，∴，，在中，，即，在中，．（3）解：、之间的数量关系为：．理由：∵、的平分线交于点，∴，，且，，∴，，故，在中，．（4）解：∵是的角平分线，是的角平分线，∴，，∴，由（3）可得，则，如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：若是的倍，即，∴，解得：；若是的倍，即，∴，解得：；若是的倍，即，∴解得：；若是的倍，即，∴解得：；综上所述，的度数是或或或．【专训112】（2023下·浙江·八年级专题练习）探索归纳：(1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则．A．

90°

B．

315°

C．

135°

D.270°(2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则度．(3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是．(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是．【答案】(1)D(2)240(3)(4)【分析】（1）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案（2）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案（3）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案（4）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案．【详解】（1）解：，，，故选：D．（2）解：，，，故答案为：240．（3）解：，，，故答案为：．（4）解：连接，，，，，，故答案为：．题型十二：平行线和三角形内角和的综合问题【典例12】34．（2023上·辽宁锦州·八年级统考期末）如图，是的角平分线，点E在的延长线上，交于点F，交于点G，在的延长线上取一点H，使．

(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的定义，通过等量代换证明，再根据平行线的判定可得结论；（2）根据平行四边形的性质求出，再由可得，根据角平分线的定义求出，再由平行线的性质可得，从而可得结论．【详解】（1）∵，∴．∵平分