浙江省天域全国名校协作体高三下学期二模数学试题2

20232024学年第二学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科试题命题学校：青岛二中、合肥168中学、江苏省天一中学审题学校：青岛二中、合肥168中学、江苏省天一中学考生须知：1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则满足集合个数为（）A.4 B.6 C.7 D.82.抛物线的焦准距是（）A. B. C.3 D.63.在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（）A. B. C. D.4.展开式的常数项为（）A. B. C. D.5.已知，则（）A. B. C. D.6.为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（）A.1.4 B.1.45 C.1.5 D.1.557.已知函数满足对任意的且都有，若，，则（）A. B. C. D.8.古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是（）A.平面B.平面C.异面直线与所成角为60°D.平面截正方体所得截面为等腰梯形10.已知正实数，，，且，，，为自然数，则满足恒成立的，，可以是（）A.，， B.，，C.，， D.，，11.已知椭圆左右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆左焦点与椭圆交于两点，且恒成立，下列说法正确是（）A. B.C离心率 D.若，则非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，为坐标原点），则与夹角为__________.13.将函数的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移得到函数的图象，若函数与函数图象交于点，其中，则的值为__________.14.如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为__________.（参考数据：）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，已知多面体均垂直于平面．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．16.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，数列满足.（1）求，，，并求数列的通项公式；（2）记，求数列的前和.17.已知双曲线左右焦点分别为，，点在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线距离乘积为，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线，，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于，两点.（1）求双曲线的方程；（2）若线段，的中点分别为，，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标.18.定义，已知函数，其中.（1）当时，求过原点的切线方程；（2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围.19.甲、乙两人进行知识问答比赛，共有道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为和，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.（1）若，，求甲获胜的概率；（2）若，设甲第题的得分为随机变量，一次比赛中得到的一组观测值，如下表.现利用统计方法来估计的值：①设随机变量，若以观测值的均值作为的数学期望，请以此求出的估计值；②设随机变量取到观测值概率为，即；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大