专题53相交线与垂线（直通中考）（分层练习）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题5.3相交线与垂线（直通中考）（分层练习）单选题1．（2023·青海·统考中考真题）如图，直线，相交于点O，，则的度数是（

）

A． B． C． D．2．（2023·河南·统考中考真题）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．3．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（

）A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行4．（2022·河南·统考中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（

）A．26° B．36° C．44° D．54°5．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（

）A．25° B．30° C．40° D．50°6．（2021·北京·统考中考真题）如图，点在直线上，．若，则的大小为（）A． B． C． D．7．（2021·浙江杭州·统考中考真题）如图，设点是直线外一点，，垂足为点，点是直线上的一个动点，连接，则（

）A． B． C． D．8．（2020·湖北孝感·中考真题）如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（

）A． B． C． D．9．（2020·河北·统考中考真题）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（

）

A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条10．（2020·贵州安顺·统考中考真题）如图，直线，相交于点，如果，那么是（

）A． B． C． D．11．（2019·贵州毕节·统考中考真题）如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是（

）A．线段CA的长度 B．线段CM的长度C．线段CD的长度 D．线段CB的长度12．（2011·广西梧州·中考真题）如图，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为（

）A．120° B．130°C．135° D．140°13．（2011·河北·中考真题）如图，∠1＋∠2等于（）A．60° B．90° C．110° D．180°14．（2019下·七年级单元测试）已知：如图，，垂足为O，则与的关系一定成立的是（）A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角15．（2021·陕西西安·统考二模）如图，直线与相交于点O，与互余，，则的度数是（

）A． B． C． D．填空题16．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，直线l1，l2相交于点O，∠1＝70°，则∠2＝°．17．（2011·广西崇左·中考真题）如图，O是直线AB上一点，∠COB=30°，则∠1=.18．（2012下·浙江台州·七年级阶段练习）如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由．

19．（2023·四川成都·统考二模）如图，点O在直线AB上，点C，D在直线AB异侧，．若，则的度数为．20．（2021·云南楚雄·统考二模）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=84°，则∠3=度．21．（2021·湖南益阳·统考中考真题）如图，与相交于点O，是的平分线，且恰好平分，则度．22．（2020·吉林·统考中考真题）如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是．23．（2020·内蒙古通辽·中考真题）如图，点O在直线上，，则的度数是．24．（2018·河南·统考中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为．25．（2020·四川南充·统考中考真题）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=度．26．（2019·广东广州·统考中考真题）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点P到直线l的距离是cm.

27．（2015·广西梧州·统考中考真题）如图,已知直线AB与CD交于点O,ON平分∠DOB,若∠BOC=110°,则∠AON的度数为.28．（2011·福建泉州·中考真题）如图，直线a、b相交于点O，若∠1=30°，则∠2=29．（2019·河南·校联考一模）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD平分∠BOE，则∠BOC＝．30．（2018·七年级单元测试）如图，点B、O、D在同一直线上，且OB平分∠AOC，若∠COD＝150°，则∠AOC的度数是．解答题31．（2019·山东青岛·统考一模）画图并填空：如图，请画出自A地经过B地去河边l的最短路线．（1）确定由A地到B地最短路线的依据是．（2）确定由B地到河边l的最短路线的依据是．

32．（2017·江苏盐城·校联考三模）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①用含x的代数式表示∠EOF；②求∠AOC的度数．33．（2021下·四川南充·七年级四川省南充市高坪中学校考期中）如图，直线和相交于点，，，，求的度数.34．（2019·浙江杭州·校联考一模）两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3．（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度数．35．（2019·江西上饶·校考一模）如图，已知直线AB与CD相交于点O，EO⊥CO，OF平分∠AOE，且OF在∠COE的内部．（1）若∠COF＝15°，求∠BOD的度数．（2）若∠BOD＝x°，则∠COF＝__________°（用含x的代数式表示）．36．（2021上·黑龙江绥化·七年级校考期末）在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°（1）如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数°，∠CON的度数为°；（2）如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为°；（3）在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则AOD的度数为°；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC∠BON．（填“＞”、“＝”或“＜”）．参考答案：1．A【分析】根据邻补角可进行求解．解：∵，∴，故选：A．【点拨】本题主要考查邻补角，熟练掌握邻补角是解题的关键．2．B【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案．解：∵，∴，∵，∴，故选：B【点拨】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．3．A【分析】根据垂线段最短解答即可．解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．【点拨】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．4．B【分析】根据垂直的定义可得，根据平角的定义即可求解．解：EO⊥CD，，，．故选：B．【点拨】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．5．D【分析】根据对顶角相等可得，之后根据，即可求出．解：由题可知，，．故选：D．【点拨】本题主要考查对顶角和角的和与差，掌握对顶角相等是解决问题的关键．6．A【分析】由题意易得，，进而问题可求解．解：∵点在直线上，，∴，，∵，∴，∴；故选A．【点拨】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．7．C【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案．解：根据点是直线外一点，，垂足为点，是垂线段，即连接直线外的点与直线上各点的所有线段中距离最短，当点与点重合时有，综上所述：，故选：C．【点拨】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．8．B【分析】已知，，根据邻补角定义即可求出的度数．解：∵∴∵∴故选：B【点拨】本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平角度数为180°．9．D【分析】在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．解：在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；故选：D．【点拨】此题主要考查在同一平面内，垂直于平行的特征，解题的关键是熟知垂直的定义．10．A【分析】根据对顶角相等求出∠1，再根据互为邻补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．解：∵∠1＋∠2＝60°，∠1＝∠2（对顶角相等），∴∠1＝30°，∵∠1与∠3互为邻补角，∴∠3＝180°−∠1＝180°−30°＝150°．故选：A．【点拨】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．11．C【分析】根据点C到边AB所在直线的距离是点C到直线AB的垂线段的长度进行求解即可.解：点C到边AB所在直线的距离是点C到直线AB的垂线段的长度，而CD是点C到直线AB的垂线段，故选C.【点拨】本题考查了点到直线的距离，熟知点到直线的距离的概念是解题的关键.12．C解：试题分析：根据直线EO⊥CD，可知∠EOD=90°，根据AB平分∠EOD，可知∠AOD=45°，再根据邻补角的定义即可求出∴∠BOD=180°45°=135°考点：垂线、角平分线的性质、邻补角定义．13．B解：根据平角的定义得到∠1+90°+∠2=180°，即由∠1+∠2=90°．解：∵∠1+90°+∠2=180°，∴∠1+∠2=90°．故选B．14．B【分析】根据垂直的性质及对顶角的性质，即可解答．解：，，，，与两角互余．故选：B．【点拨】本题考查了垂直的性质及对顶角的性质，熟练掌握和运用垂直的性质及对顶角的性质是解决本题的关键．15．A【分析】直接利用互余的定义以及结合平角的定义得出∠AOC以及∠EOC的度数，进而得出答案．解：∵∠1与∠2互余，∴，∴°，∵，∴°，∴．故选：A【点拨】此题主要考查了邻补角以及余角，正确掌握相关定义是解题关键．16．70【分析】根据对顶角的性质解答即可．解：∵∠1和∠2是对顶角，∴∠2＝∠1＝70°，故答案为：70．【点拨】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题的关键．17．150°/150度【分析】根据邻补角互补进行计算即可．解：∵∠COB=30°，∴∠1=180°30°=150°．故答案为150．【点拨】本题考查了邻补角，掌握邻角互补是解题的关键．18．垂线段最短【分析】根据垂线段最短进行解答即可．解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∵，∴最短，故答案为：垂线段最短．【点拨】本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是数形结合，熟练掌握垂线段的性质．19．/110度【分析】根据以及得到进而求出的度数．解：故答案为：【点拨】本题主要考查垂直以及平角的概念，熟练掌握垂直以及平角的概念是解此题的关键．20．138【分析】由对顶角相等，可得∠1＝42°，再根据邻补角和为180°可求∠3．解：由图可知，∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，∵∠1＋∠2＝84°，∴∠1＝42°，∵由图可知，∠1与∠3是邻补角，∴∠3＝180°−42°＝138°，故答案为：138．【点拨】此题主要考查了对顶角、邻补角，主要应用对顶角相等，邻补角和为180°这两个隐含条件解题．21．60【分析】先根据角平分线的定义、平角的定义可得，再根据对顶角相等即可得．解：设，是的平分线，，平分，，又，，解得，即，由对顶角相等得：，故答案为：60．【点拨】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．22．垂线段最短【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．解：通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点拨】此题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键．23．【分析】根据补角的定义，进行计算即可.解：由图可知：∠AOC和∠BOC互补，∵，∴∠BOC=180°=，故答案为：.【点拨】本题考查了补角的定义，和角的计算，关键是掌握角的运算方法.24．140°/140度【分析】直接利用垂直的定义结合邻补角的定义分析得出答案．解：∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∴∠EOB=90°，∵∠EOD=50°，∴∠BOD=40°，则∠BOC的度数为：180°40°=140°．故答案为140°．【点拨】此题主要考查了垂直的定义、邻补角的定义，正确把握相关定义是解题关键．25．38【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．解：∵两直线交于点O，∴∠1=∠2，∵∠1+∠2=76°，∴∠1=38°．故答案为：38．【点拨】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．26．5【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．解：∵PB⊥l，PB=5cm，∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm，故答案为：5．【点拨】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握是解题的关键.27．145°解：∵∠BOC+∠BOD＝180°，∠BOC=110°，∴∠BOD=180°110°=70°，又∵ON平分∠DOB，∴∠DON＝∠DOB＝35°，∵∠AOD=∠BOC=110°，∴∠AON=110°+35°=145°，故答案是145°．28．30°因∠1和∠2是邻补角，且∠1=30°，由邻补角的定义可得∠2=180°﹣∠1=180°﹣30°=150°．解：∵∠1+∠2=180°，又∠1=30°，∴∠2=150°．29．135°．【分析】由垂直的定义得到∠AOE=∠BOE=90°，根据角平分线的定义得到∠BOD=∠BOE=45°，根据平角的定义即可得到结论.解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∵OD平分∠BOE，∴∠BOD＝∠BOE＝45°，∴∠COB＝180°﹣45°＝135°，故答案为135°．【点拨】本题利用垂直的定义，对顶角和角平分线的性质的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点.30．60°【分析】根据互补得出∠COB，进而得出∠AOC的度数．解：∵点B、O、D在同一直线上，∠COD=150°，∴∠COB=180°150°=30°，∵OB平分∠AOC，∴∠AOC=2×30°=60°，故答案为：60°．【点拨】此题主要考查了角平分线，关键是根据互补得出∠COB．31．（1）图详见分析，两点之间，线段最短；（2）图详见分析，垂线段最短．【分析】（1）根据两点之间，线段最短，连接AB，线段AB即为由A地到B地最短路线；（2）根据垂线段最短，过点B作BD⊥l，垂足为点D，线段BD即为由B地到河边l的最短路线.解：连接AB，过点B作BD⊥l，垂足为点D，自A地经过B地去河边l的最短路线，如图所示．

（1）确定由A地到B地最短路线的依据是两点之间，线段最短．（2）确定由B地到河边l的最短路线的依据是垂线段最短．【点拨】此题考查的是路径的最值问题，掌握两点之间，线段最短和垂线段最短是解决此题的关键.32．（1）55°（2）①x②100°【分析】（1）由对顶角的性质可知∠BOD=70°，从而可求得∠FOB=20°，由角平分线的定义可知∠BOE=∠BOD，最后根据∠EOF=∠BOE+∠FOB求解即可；（2）①先证明∠AOE=∠COE=x°，然后由角平分线的定义可知∠FOE=x°；②∠BOE=∠FOE∠FOB可知∠BOE=x°15°，最后根据∠BOE+∠AOE=180°列出方程可求得x的值，从而可求得∠AOC的度数．解：（1）由对顶角相等可知：∠BOD=∠AOC=70°，∵∠FOB=∠DOF∠BOD，∴∠FOB=90°70°=20°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠BOD=×70°=35°，∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=35°+20°=55°；（2）①∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∵∠BOE+∠AOE=180°，∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=∠AOE=x°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=x°；②∵∠BOE=∠FOE∠FOB，∴∠BOE=x°15°，∵∠BOE+∠AOE=180°，∴x°15°+x°=180°，解得：x=130，∴∠AOC=2∠BOE=2×（180°130°）=100°．【点拨】本题考查对顶角，邻补角以及角平分线定义，主要考查学生的计算能力，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．33．【分析】根据，得出，根据，可得,根据角的倍分关系，可得∠的度数，根据是邻补角，可得答案．解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∴．【点拨】本题考查垂直的性质、角的和差、角的倍分关系、邻补角的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．34．（1）见分析；（2）36°【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可，进而画出图形即可；（2）利用邻补角的关系可求出∠3的度数．解：（1）如图所示：（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，故x+4x＝180°，解得：x＝36°，故∠3的度数为36°．【点拨】此题主要考查了三线八角以及邻补角的性质，得出∠1与∠3的关系是解题关键．35．（1）∠BOD＝60°；（2）.【分析】（1）根据题意先求出∠AOC，再根据对顶角性质即可解答（2）由（1）可知道∠COF=∠AOF－∠BOD，把值代入即可解：（1）∵CO⊥EO，∴∠COE＝90°．∴∠EOF＝∠COE－∠COF＝90°－15°＝75°．∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝75°，∴∠AOC＝∠AOF－