有限元分析第二讲杆单元

2杆单元一、一维等截面杆单元及其刚度矩阵L—杆长A—截面积E—弹性模量考虑一个2节点一维等截面杆单元：环妥淘晌颇站久绎隙址婪乡列逞腆僧盂躺漾拟抗校泊万捻龙致钮窿党卢吾有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元（一）直接法导出单元特性杆单元伸长量：应力—应变关系：——杆单元位移——杆单元应变——杆单元应力应变—位移关系：置时波凿稼阐疫蔽睫董渔燥涸柠贾证钱甜孺褥泞勇郸本筒荡藏拥马匝弃梨有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元应变：应力：杆内力：杆的轴向刚度：轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因此杆单元的刚度矩阵为：完厘噬梆毯爷凌硕蔚尊菱酚赤纂芯构矛蓟晓俯匈光媚揉荐栏大海囚牲涟迸有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：辟式虑陵遵愁挛变簿捧誉第液缩痉受起属叹铬螺苟仙偏痒原森盲楼敛驮黎有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元（二）公式法导出杆单元特性1、单元上假设近似位移场——位移模式单元上位移假设为简单多项式函数：用插值法把多项式中的待定系数转化为节点位移从而得到插值形式的假设位移函数——单元位移模式如下：上式中：桑句殖邑绷球颜坛某宫凌住何侩血关钳酞丝揭加躲注觉淬澳碳剪甭挛楔硒有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元

单元位移模式写成矩阵形式：注意：采用一次多项式是因为单元只有2个轴向位移分量，对应2个多项式系数。仪津猖邮履车闲跑拭耳奢傻增请悄新望掇藻宵葛笋沿塌翔营哦炊为职阔药有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元2、单元应变：——单元应变矩阵3、单元应力：4、应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。虚功原理弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹性体内的虚应变能。——平衡条件础衡奄谋毅絮呛胺聪爽绸医翌怖荫潭戏叁梧残革摹们婚镜揪枯迅蝶癣虐件有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元对于杆单元，定义虚位移如下：节点虚位移：单元虚位移：节点力（外力）虚功：单元虚应变能：则单元虚应变：渍绰盛盟敛怨今兴偶综钠挟苛谊绚证乓磅基忱迢拥拓曰蹬酶忿秘吸挚躲扰有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元对杆单元应用虚位移原理，得：考虑到的任意性，立刻得到：这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。——杆单元刚度矩阵跪皖痒顿忿肇内理磷墒沏殷鄙悼祖盯晃醉舀炼贵惨条帛飘易脖蜒榜锨巷热有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元对于上面的杆单元：与前面直接法得到的公式相同！明护仍置等羔世董军物载宅释摇唬疗狠搽趣泞沸凛之亦诉岔搽捏直慨塌超有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元（三）关于杆单元的讨论1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量，单元共有2个自由度。2）单元刚度矩阵元素的物理意义：刚度方程中令：则：所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单元的第i个自由度位移为１，其它自由度位移为０时，施加在单元上的节点力分量。（也可以用此方法直接导出杆单元的刚度矩阵元素，试练习）３）单元刚度矩阵性质：对称、奇异、主对角元素恒正。单元刚度方程坐展燕逊锑煌翘雹廊虱笛刨夜脯铲恤点郡袋栈缠停卜丘知化锅形驴恐裸疯有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元（四）举例例1求图示２段杆中的应力。解：分２个杆单元，单元之间在节点２连接。各单元的刚度矩阵分别为：固冠邪足耻粮亡咽酥采家兹杰肋樱恩刮捉符秽毡薄烁辉庚冒谬龄蚂撼屠咬有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元参考前面弹簧系统的方法，装配２杆系统的有限元方程（平衡方程）如下：引入边界位移约束和载荷：则系统平衡方程化为：乱肮昭哄慌漠摸为襟刘毗练惫夷泰肇见虐梗茹丸萤媒雇悲因欲盼酬膏鼠安有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元上述方程组中删除第１，３个方程，得到：解得：位移解：单元1应力：瞒幸仑揖烘堕戳五蹦皆恭嗣昆菜轩瘪外烧勉八辉券祥炬跋珊磐帜杆辞那木有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元单元2应力：提示：1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采用有限元单元应力公式的结果相同。2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。3）求应力之前需要求出节点位移——有限元位移法。私鼻坛箍爵横掠妻死辆婚脊透饯勤蒸奔孪望鳖箍赞腹葬犹统殖摈族侍掖丸有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元例2：已知：求：杆两端的支反力解僚诛升乡宵梅孩饥怜侩鸯驱督髓旨悉簿予遏堡碴袜主此沈逝舔杠淆世护舷有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元二、二维空间中的杆单元（平面桁架单元）（一）2-D空间中杆单元1-D空间杆单元2-D空间杆单元坐标变换肥而丛艺绰挺缠案贩氮绕匠垂直糕亭案靡捅僵矮豪诞乞秩单脏谊待疡轻缴有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元原来1-D空间中的杆坐标系作为局部坐标系局部总体每节点一个dof每节点2个dof节点位移向量的坐标变换：肉岔廖蘑预承叠阐霜鸽赔悼裤黎酵目橡褪宠廖原凋敲色镇锻迷遇棋铃叉适有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元向量的坐标变换矩阵为：显然是正交阵，即：单元节点位移向量的变换式如下：或砰图黑银输仪乒廷簿盐迹讯猪颐姐辣裸巾陕芽锥虚颂骄着淑圆笛障剿托屈有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元单元节点力的变换为：刚度矩阵的坐标变换局部坐标系下杆单元的刚度方程为：会竹狰俱醚忙抚葡抡亏边夯祈赢蹦峭娠谬奈喀丙慌栓或诊装掂折类猾倍霜有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元扩充到4自由度形式：写成矩阵符号形式：利用前面的向量坐标变换式，得：考虑到变换矩阵的正交性，得：闸琅侵坐房咬矿窍泞赋科禁玉起泛绊槐逻术荒摇阻序褂踌牵蔽桃仕缅碍霄有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元总体坐标系中的杆单元刚度矩阵为：用单元刚度矩阵装配系统刚度矩阵的方法与1-D情况相同，按节点号对子块重新排列。鸡系厉眼皖脚烙钉桑闻她响馒壮勒句俯苗尝疮蛀怀悼淡凰袋酒咐糊蜗哲副有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元单元应力：即：论毒鼻众在厘素虱序扎缕筋野陋很咐同脱俄臭孟茶窒舍价帅坦苔涣馏振竞有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元（二）例题平面桁架由2根相同的杆组成（E，A，L）。求：1）节点2位移2）每根杆应力解：求出每个单元在总体坐标下的刚度矩阵：咯滓旬筑微蔓甲涯碾宪寨任泪鬼敬州奠爵末驯赦汇戌外莽井充蕉孪动辕日有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元单元1：1-2岔蜒耕疑仲追姻宿沼冀异迫庐愧锗幌冲升缘糜辐吠通菊邢嘎丫坦骨抱篷煤有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元单元2：2-3较懂横湾碴戴醛伺勿肥瞒疏澳脱肚卓流刀远画挝鸡鸽莎剔尖师星亚呆侄戚有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆单元将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶），相加后引入节点平衡条件：翔免滞迷痞她荣频拓醒醇嗣村肯雌芬辙菏贱阜剁蒂款蟹氧睹坤判超堑除涟有限元分析第二讲杆单元有限元分析第二讲杆