第25节 直线、平面垂直的判定与性质（解析版）

第25节直线、平面垂直的判定与性质基础知识要夯实1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a⊂α,b⊂α))⇒l⊥α性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．[难点正本疑点清源]1．两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.2．两平面垂直的判定(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线．基本技能要落实考点一线面垂直的判定与性质【例1】(2020·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.【解析】(1)证明因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.(2)解作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°.所以OM＝，CH＝.所以点C到平面POM的距离为.【方法技巧】1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【跟踪训练】1.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是()A． B． C． D．【答案】D【解析】根据相等向量的定义，分析可得与不平行，与不平行，所以,均错误.与平行，但方向相反也不相等，只有与方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以.故选：D2.(2020·南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°.(1)求证：BC1⊥平面ABC；(2)E是棱CC1上的一点，若三棱锥E－ABC的体积为，求线段CE的长.【解析】(1)证明∵AB⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴AB⊥BC1，在△CBC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝60°，由余弦定理得BCeq\o\al(2,1)＝BC2＋CCeq\o\al(2,1)－2BC·CC1·cos∠BCC1＝12＋22－2×1×2cos60°＝3，∴BC1＝，∴BC2＋BCeq\o\al(2,1)＝CCeq\o\al(2,1)，∴BC⊥BC1，又AB，BC⊂平面ABC，BC∩AB＝B，∴BC1⊥平面ABC.(2)解∵AB⊥平面BB1C1C，∴VE－ABC＝VA－EBC＝S△BCE·AB＝S△BCE·1＝，∴S△BCE＝＝CE·BC·sin∠BCE＝CE·，∴CE＝1.考点二面面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【证明】(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA⊂平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.【方法技巧】1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【跟踪训练】1.（如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝CD＝AB，侧面SAD⊥底面ABCD.(1)求证：平面SBD⊥平面SAD；(2)若∠SDA＝120°，且三棱锥S－BCD的体积为，求侧面△SAB的面积.(1)证明设BC＝a，则CD＝a，AB＝2a，由题意知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD＝90°，则BD＝a，∠CBD＝45°，所以∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°，在△ABD中，AD＝＝a，因为AD2＋BD2＝4a2＝AB2，所以BD⊥AD，由于平面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面SAD，又BD⊂平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD.(2)解由(1)可知AD＝SD＝a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin60°＝a.作SH⊥AD，交AD的延长线于点H，则SH＝SDsin60°＝a，由(1)知BD⊥平面SAD，因为SH⊂平面SAD，所以BD⊥SH.又AD∩BD＝D，所以SH⊥平面ABCD，所以SH为三棱锥S－BCD的高，所以VS－BCD＝×a××a2＝，解得a＝1.由BD⊥平面SAD，SD⊂平面SAD，可得BD⊥SD，则SB＝＝＝2.又AB＝2，SA＝，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为＝，则△SAB的面积为××＝.达标检测要扎实一、单选题1．在空间中，下列命题是真命题的是（

）A．经过三个点有且只有一个平面B．平行于同一平面的两直线相互平行C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面【答案】D【解析】当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A错误；平行于同一平面的两直线可能相交，故B错误；由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；如果两个相交平面垂直于同一个平面，且，则在平面、内分别存在直线垂直于平面，由线面垂直的性质可知，再由线面平行的判定定理得，由线面平行的性质得出，则，故D正确；故选：D2．如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列命题中错误的是（

）A．直线和平面所成的角为定值B．点到平面的距离为定值C．异面直线和所成的角为定值D．直线和平面平行【答案】A【解析】对A，由平面，当点分别在点或时，线面角不一致，故A错误；对B，由//,平面,平面,所以//平面，所以点到平面的距离为直线上任意点到平面的距离，故B正确对C，由平面即平面,,,平面，所以平面，所以，故C正确对D，由平面即平面，//，平面，平面，所以//平面，所以D正确故选：A3．在如图所示的棱长为20的正方体中，点为的中点，点在侧面上，且到的距离为6，到的距离为5，则过点且与垂直的正方体截面的形状是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】B【解析】如图所示，过点作分别交于点，因为，可得，在正方体中，平面，所以又,所以平面,平面,所以过作交于点，则,设则,所以，即,则所以在正方形中，取的中点，连接则与,则所以,即取的中点，过作交于点，连接，则又平面,所以,由所以平面，所以又，所以平面连接，过作,由，则，所以(且)连接，则四边形为梯形，所以平面所以截面的形状为四边形边形.故选：B.4．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．不确定【答案】A【解析】由题可知，正方体的棱长为1，则平面，又，在线段上运动，平面，点到直线的距离不变，由正方体的性质可知平面，则，而，，故的面积为，又由正方体可知，，，且，平面，则平面，设与交于点，则平面，点到平面的距离为，.故选：A.5．如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵是圆上一点(不同于，)，是圆的直径，∴，，，即面，而面，∴，又面面，，∴由二面角的定义：为二面角的平面角.故选：C6．如图1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN【答案】A【解析】图1中AD⊥PC，则图2中PD⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PD⊥平面ABCD，则PD⊥AC，故选项C正确；由PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDC，得平面PDC⊥平面ABCD，而平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PDC，故选项B正确；∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥平面PAD，则AB⊥PA，即△PAB是以PB为斜边的直角三角形，而N为PB的中点，则PB＝2AN，故选项D正确．由于BC⊥平面PDC，又平面∴平面⊥平面PDC若平面PAB⊥平面PBC，则平面PAB与平面PDC的交线⊥平面PBC由于平面PDC，则平面PAB与平面PDC的交线显然不与平面PBC垂直，故A错误故选：A7．如图，正方体中，E为AB中点，F在线段上.给出下列判断：①存在点F使得平面；②在平面内总存在与平面平行的直线；③平面与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点F的位置无关；④三棱锥的体积与点F的位置无关.其中正确判断的有（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】D【解析】对于①，假设存在F使得⊥平面，则⊥，又⊥，∩＝，∴⊥平面，则⊥，这与⊥矛盾，所以①错误；对于②，因为平面与平面相交，设交线为，则在平面内与平行的直线平行于平面，故②正确；对于③，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间坐标系，则平面的法向量为而平面的法向量，随着位置变化，故平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，故③错误；对于④，三棱锥的体积即为三棱锥，因为∥平面，所以，当在线段上移动时，到平面的距离不变，故三棱锥的体积与点的位置无关，即④正确．故选：D．8．已知正三棱锥和正四棱锥的所有棱长均为2，如图将三棱锥的一个面和正四棱锥的一个侧面重合在一起，得到一个新几何体，则下列关于该新几何体说法不正确的是（

）A． B．C．新几何体为三棱柱 D．正四棱锥的内切球半径为【答案】D【解析】取的中点，的中点，连、、、，如图：因为正三棱锥和正四棱锥的所有棱长都为，所以，，，又，所以平面，因为，所以，因为，所以平面，所以平面与平面重合，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，故A正确；因为，所以，故B正确；因为，，所以四边形为平行四边形，同理得四边形也为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，同理得平面，因为，所以平面平面，又，根据棱柱的定义可得该新几何体为三棱柱，故C正确；设正四棱锥的内切球半径为，因为正四棱锥的高为，由得，故D不正确.故选：D.二、多选题9．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是（

）A．三棱锥的体积不变B．平面C．D．平面平面【答案】ABD【解析】对于A，的面积是定值，，平面，平面，∴平面，故到平面的距离为定值，∴三棱锥的体积是定值，即三棱锥的体积不变，故A正确；对于B，，∴平面平面，平面，平面，故B正确；对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，P在上，故可设，则，，，则不一定为0，和不垂直，故C错误；对于D，设，则，，，，，设平面平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，.∴平面和平面垂直，故D正确.故选：ABD.10．如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（

）A．平面平面 B．不是定值C．三棱锥的体积为定值 D．【答案】ACD【解析】A.因为是正方体，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正确；B.，故，故B不正确；C.，的面积是定值，平面，点在线段上的动点，所以点到平面的距离是定值，所以是定值，故C正确；D.，，，所以平面，平面，所以，故D正确.故选：ACD11．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近，若取，侧棱长为米，则（

）A．正四棱锥的底面边长为6米 B．正四棱锥的底面边长为3米C．正四棱锥的侧面积为平方米 D．正四棱锥的侧面积为平方米【答案】AC【解析】如图，在正四棱锥中，O为正方形的中心，为的中点，则，设底面边长为．因为，所以．在中，，所以，底面边长为6米，平方米．故选：AC.12．正方体，的棱长为4，已知平面α，，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（

）A．α截得的截面形状可能为正三角形 B．与截面α所成角的余弦值为C．α截得的截面形状可能为正六边形 D．β截得的截面形状可能为正方形【答案】ABC【解析】如图因为正方体∴，，又∵∴平面又∵平面∴同理：又∵∴平面∴平面可以是平面，又因为∴为等边三角形，故A正确取的中点并依次连接易知，因为平面，平面∴平面同理：平面又因为且平面，平面∴平面平面∴平面可以是平面∵∴六边形是正六边形，故C正确以平面是平面为例计算：设A到平面的距离为等体积法求距离∵，∴又因为，∴则与平面所成角的正弦值为∴余弦值等于，故B正确对于D选项：由于直线，在正方体上任取点但异于，与可构成平面，但是截面的形状都不是正方形，故D错误故选：ABC三、填空题13．如图，已知棱长为2的正方体中，点在线段上运动，给出下列结论：①异面直线与所成的角范围为；②平面平面；③点到平面的距离为定值；④存在一点，使得直线与平面所成的角为.其中正确的结论是___________.【答案】②③【解析】对于①，当在点时，，异面直线与所成的角最大为，当在点时，异面直线与所成的角最小为，所以异面直线与所成的角的范围为，故①错误；对于②，如图，因为平面,所以,同理,又因为平面,所以平面，所以平面平面，故②正确；对于③，因为平面,平面,所以平面，所以点到平面的距离为定值，且等于的，即，故③正确；对于④，直线与平面所成的角为，，当时，最小，最大，最大值为，故④不正确，故答案为：②③.14．正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________.【答案】2.【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，，又，得即；又平面，为与平面所成角，令，当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.故答案为：215．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．【答案】【解析】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为因此圆锥的侧面积为16．如图，把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，使A、C的距离为a，则异面直线AC与BD的距离为______．【答案】####【解析】分别取AC、BD的中点S、E，连接AE、CE、SB、SD、SE.，又，则平面，则，又，则平面，则则是异面直线AC与BD的公垂线段△中，，，则则异面直线AC与BD的距离为故答案为：四、解答题17．如图长方体中，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值.【解析】（1）连接交与点，连接四边形为正方形，点为的中点又点为的中点，平面，平面平面（2）连接由勾股定理可知，，则同理可证，平面平面（3）建立如下图所示的空间直角坐标系显然平面的法向量即为平面的法向量，不妨设为由（2）可知平面，即平面的法向量为又二面角是钝角二面角的余弦值为18．如图，在四棱锥中，是等腰直角三角形，，底面是直角梯形，其中，，，，，（1）证明：平面；（2）求二面角的正切值．【解析】（1）取中点，连接，因为为等腰直角三角形，且，所以且，因为，所以，又因为，且，所以四边形为矩形，所以，且，所以平面，所以，所以则，，，所以，所以，又因为且，所以平面；（2）记，取中点，连接，过点作交于点，连接，，因为，所以四边形是平行四边形，所以为中点，又因为为中点，所以，因为平面，所以，又因为，所以且，所以平面，所以平面，所以，又因为，且，所以平面，所以，所以二面角的平面角为，因为，所以，所以，又因为，所以.19．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一