242简单幂函数的图像和性质（3知识点10题型巩固训练）

2.4.2简单幂函数的图像和性质课程标准学习目标1.熟练掌握幂函数的基本概念和性质。2.理解和掌握数学概念的能力，使其能够通过图像特征来理解和解释幂函数的性质。3.能够灵活运用幂函数的知识来解决实际问题，1.理解幂函数的定义，即底数和指数都是正数的函数。2.通过分析幂函数的图像特征，掌握幂函数的性质，包括函数图像的形状、斜率等。3.通过具体的实例，让学生学会如何通过图像来理解幂函数的性质。知识点01幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数(powerfunction)，其中x是自变量，α是常数．【即学即练1】（2425高一上·全国·课后作业）若幂函数的图象过点3,3，则该幂函数的解析式是（

A．y=x-1C．y=x2【答案】B【分析】根据幂函数设解析式，再代入点求出解析式即可.【详解】设幂函数解析式为y=xα，代入点3,3可得3所以该幂函数的解析式是y=故选：B【即学即练2】（2425高一上·上海·课后作业）已知函数y=m2(1)该函数是正比例函数；(2)该函数是反比例函数；(3)该函数是幂函数．【答案】(1)m=3(2)m=1或2(3)m【分析】（1）根据正比例函数的定义得到方程（不等式）组，解得即可；（2）依题意可得m2（3）根据幂函数的定义得到m2+【详解】（1）∵y=∴m2-3m（2）∵y=∴m2∴m=1或m（3）∵y=∴m2∴m知识点02幂函数的特征1.xα的系数是1；2.xα的底数x是自变量；3.xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．【即学即练3】(多选)（2324高一下·云南曲靖·阶段练习）下列关于幂函数fx=xA．幂函数的图象经过第一象限B．幂函数的图象都经过点1,1C．当a>0时，幂函数fx=D．幂函数fx=【答案】AB【分析】根据幂函数的图象及性质可判断选项A、B正确；取a=12，可判断选项C、【详解】当x>0时，幂函数fx=xa对任意a∈R都有意义，且因为1a=1，所以幂函数fx=x当a=12时，函数定义域为0,+∞，选项C故选：AB．【即学即练4】（2425高一上·上海·单元测试）函数y=m2+2m-2【答案】-3【分析】根据幂函数的定义，结合一元二次方程的解法，即可得解【详解】因为函数y=m2+2m解得：m=-3，或故答案为：-3.知识点03常见幂函数的图像特征同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象(如图【即学即练5】（2425高一·上海·课堂例题）函数y=x4A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和幂函数性质即可得解.【详解】令fx=x所以函数y=x4由幂函数性质可知函数y=x43在0,+∞上单调递增，且当x>1时的图象高于故选：A.【即学即练6】（2324高一上·北京昌平·期中）函数fx=xA．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据x的正负去绝对值，再利用反比例函数的图象判断即可.【详解】由题意可知当x>0时，fx=当x<0时，fx=-故选：C难点：分类讨论思想的运用示例1：（2324高一上·陕西宝鸡·期中）对a，b∈R，记maxa,b=a【答案】32【分析】将f(x)转化为函数y=|x+1|【详解】函数f(x)=maxx+1,x作函数y=|x+1|由图象可知，令x2-2x+9故当x=12时，f故答案为：32【题型1：幂函数的概念】例1．（2425高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（）A．y=2x BC．y=(x【答案】D【分析】根据幂函数的定义即可得解.【详解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项y=3x2=x2故选：D.变式1．（2324高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（

）A．y=3x B．y=x2+2【答案】D【分析】根据幂函数的定义直接得出结果.【详解】A：函数y=3x为一次函数，故B：函数y=x2C：函数y=(xD：函数y=x=x故选：D变式2．（2324高一上·全国·课后作业）在函数y=x-2，y=2x2，yA．0 B．1C．2 D．3【答案】B【分析】利用幂函数定义直接判断作答.【详解】函数y=函数y=2x2，y所以所给函数中幂函数的个数是1.故选：B变式3．（多选）（2223高一上·重庆长寿·期末）下列函数既是幂函数，又在-∞,0上单调递减的是（

）A．y=-x BC．y=x-1【答案】CD【分析】根据幂函数的性质，逐一判断每个函数是否满足题目中的条件即可.【详解】对于A，函数y=-x在-∞,0上单调递减但不是幂函数，故选项对于B，函数y=x-2是幂函数，在(-∞,0)对于C，函数y=x-1是幂函数且在-∞,0对于D，函数y=x2是幂函数且在-∞,0故选：CD.变式4．（多选）（2425高一上·江西上饶·开学考试）下列有关幂函数y=xα（αA．当α=2k,k∈NB．当α=2k+1,k∈NC．幂函数y=xα（D．幂函数y=xα（【答案】ABC【分析】由幂函数的奇偶性即可判断选项AB；根据1α=1，即可判断选项C；利用y【详解】对于A，当α=2k,k∈N对于B，当α=2k+1,k∈N时，此时幂函数y对于C，当x=1时，xα=1，故幂函数y=xα（对于D，当α=-1时，幂函数y=xα（α为常数）的定义域不包含0故选：ABC变式5．（2324高一下·全国·课后作业）判一判：判断下列函数是否为幂函数.(1)y=(2)y=(3)y=(4)y=(5)y=2(6)y=【答案】(1)不是幂函数；(2)不是幂函数；(3)幂函数(4)不是幂函数；(5)不是幂函数；(6)幂函数【分析】形如y=xa(a∈R)的函数叫幂函数，由幂函数的定义可知（1）（2）（4）（5【详解】（1）y=axm，当（2）y=（3）y=（4）y=(x（5）y=2x2（6）y=1【方法技巧与总结】判断一个函数是否为幂函数1.系数为1;2.指数为常数;3.后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.【题型2：求幂函数的解析式】例2．（2324高一上·江苏南通·期中）已知幂函数fx为偶函数在0,+∞上单调递减，则fx的解析式可以为.(【答案】fx=x-2【分析】根据常见幂函数的性质即可求解.【详解】因为幂函数fx=xα在0,+∞上单调递减，所以又因为fx=所以α=-2故答案为:fx=x-2变式1．（2425高一上·上海·随堂练习）如果一个幂函数在(0,+∞)上是严格减函数，且图像关于y轴对称，写出符合条件的幂函数的一个表达式：．【答案】y=【分析】由幂函数的定义以及图象与性质即可直接得到答案.【详解】幂函数y=x-2在(0,+∞)故答案为：y=x变式2．（2425高一上·上海·随堂练习）若幂函数的图像经过点27,13，则函数的表达式为【答案】y【分析】设出幂函数，然后将27,13【详解】设y=xk则13所以y=故答案为：y变式3．（2425高一上·上海·随堂练习）若幂函数的图象经过点12,4，则该函数的图象关于．（填“原点中心对称”或“y轴成轴对称【答案】y轴成轴对称【分析】利用待定系数法求出解析式，通过判断图象上任意一点关于y轴的对称点坐标，是否在满足解析式可得.【详解】设y=xα，依题意可得12α设x0,y0为函数图像上任意一点，易知其关于y轴的对称点所以其图像关于y轴成轴对称．故答案为：y轴成轴对称变式4．（2425高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图象过点4,2，当x=18时，y【答案】24/【分析】设y=xa，根据函数过点4,2代入求出【详解】设y=xa，则4a=2，即22∴当x=18故答案为：2变式5．（2425高一上·上海·课前预习）若幂函数的图象过点2,4，则表达式为．【答案】y【分析】根据待定系数法即可求解.【详解】设幂函数为y=将2,4代入可得4=2α，解得α=2故答案为：y变式6．（2324高一上·上海·假期作业）幂函数y=xα的图像经过点(【答案】y【分析】将(43【详解】将(43,3)代入y=x故答案为：y变式7．（2223高一上·广东·阶段练习）已知幂函数f(x)=((1)求函数f((2)若f(2m+1)=f【答案】(1)f((2)-1或-1【分析】（1）利用幂函数的定义，结合性质求出a即可得解.（2）根据给定条件，利用偶函数的性质计算即得.【详解】（1）由f(x)为幂函数，得a2-3而f(x)所以f(x)（2）由f(x)=x2为偶函数且f(2m所以m=-1或m【方法技巧与总结】幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足:1.指数为常数;2.底数为自变量;3.系数为1.【题型3：幂函数求值】例3．（2324高一上·福建福州·期中）已知函数fx=x12A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D【分析】利用分段函数的概念计算即可.【详解】由题意知f2故选：D变式1．（2425高一上·全国·随堂练习）已知幂函数y=fx的图象经过点4,14A．12 B．2 C．22 D【答案】A【分析】运用待定系数法求幂函数解析式，再代入求值即可.【详解】幂函数y=fx设幂函数y=xα，将点代入解析式得到4α=故f(x)=x故选：A.变式2．（2324高一上·浙江温州·期中）已知定义在R上的幂函数fx，则f0-A．0 B．-1 C．1 D．不确定【答案】B【分析】根据常见幂函数的图象特点求解即可.【详解】由题意函数fx过点0,0，1,1所以f0故选：B.变式3．（2324高一上·安徽淮北·期中）已知幂函数f(x)的图象经过点3,19【答案】1【分析】设幂函数为f(x)=xα,【详解】设幂函数为f(因为幂函数f(x)的图象经过点3,19，可得1所以f(-3)=故答案为：19变式4．（2223高一下·安徽合肥·阶段练习）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(【答案】-14【分析】由奇函数的性质即可求解【详解】因为函数f(x)所以f故答案为：-变式5．（2324高一上·北京·期末）已知函数fx是幂函数，若f4f2=2【答案】2【分析】设fx=x【详解】设fx=xα，α则f4故答案为：2．变式6．（2324高一上·天津·期末）已知函数fx=m2+m【答案】4【分析】根据函数为幂函数及函数为偶函数，求出m=1，从而代入求值即可【详解】由题意得m2+m-1=1，解得当m=-2时，f当m=1时，f故f2故答案为：4变式7．（2425高一上·上海·随堂练习）若幂函数y=fx满足f(4)f(2)=3【答案】1【分析】设出解析式，根据条件列方程，然后通过整体代换可得.【详解】设fx=x所以f1故答案为：1变式8．（2425高一上·上海·课后作业）已知幂函数图象过点2,2，当x=16时，y=【答案】4【分析】根据幂函数设解析式，再代入点求出解析式，最后代入x求出函数值即可.【详解】设幂函数解析式为y=代入点2,2可得2所以幂函数为y=当x=16，所以y故答案为：4.【题型4：幂函数过定点】例4．（2223高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（

）A．幂函数的图象一定过原点B．α=1,3,12C．幂函数的图象会出现在第四象限D．y=2【答案】B【分析】利用幂函数的简单性质判断即可．【详解】解：幂函数图象不一定过原点，例如y=x-1当α=1,3,12时，幂函数y=x，y由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确；函数y=2x2是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如y=故选：B.变式1．（2021高一上·上海嘉定·期中）下列结论中正确的个数有（

）（1）幂函数的图像一定过原点；（2）当a＜0时，幂函数（3）当a＞0时，幂函数（4）函数y=2xA．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据幂函数的概念，及图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于幂函数y=x-1所以（1）、（2）都不正确；对于幂函数y=x2，在-∞,0由幂函数概念，幂函数y=xα(α∈故选：A.变式2．（2425高一·上海·课堂例题）下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点0,0、1,1的是（

）A．y=x12 B．y=x【答案】B【分析】由各幂函数的性质判断各项是否符合要求即可．【详解】A项，函数图象在第一象限，故不关于y轴对称，故不符合；B项，函数图象关于原点对称，且过(0,0),(1,1)，符合；C项，指数小于0，故其图象不过点0,0，故不符合；D项，函数图象关于原点对称，故不符合；故选：B变式3．（2324高一上·天津滨海新·期中）已知函数y=xα，∀α<0的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+nA．1 B．2 C．2 D．4【答案】D【分析】求出定点A的坐标，并求出m,n的关系，再利用基本不等式“1”【详解】依题意，A(1,1)，则m+n当且仅当m=所以当m=n=1故选：D变式4．（2223高一下·山西朔州·阶段练习）幂函数y=xα（αA．0,0 B．1,1 C．-1,1 D．1,-1【答案】B【分析】根据幂函数的图象和性质即可确定答案.【详解】由题意可知当x=1时，y=1，此时函数值与故幂函数y=xα（α故选：B变式5．（多选）（2324高一上·山东青岛·期中）下列关于幂函数y=xaA．当a=-1时，函数在其定义域上为减函数 B．当aC．当a=2时，函数是偶函数 D．当a=3时，函数与【答案】AB【分析】根据幂函数的性质、定义判断各项的正误.【详解】A：由y=x-1B：根据幂函数定义y=C：由y=x2，显然(-D：由y=x3单调递增，仅当x=0时y故选：AB变式6．（多选）（2324高一上·贵州六盘水·期末）已知函数fx=xα（A．函数fx的图象恒过定点1,1 B．当α=-1时，函数C．当α=3时，函数fx是奇函数 D．当α=1【答案】AC【分析】根据幂函数的性质逐一判断即可.【详解】f1=1当α=-1时，fx=1x当α=3时，fx=x3所以函数fx是奇函数，C当α=12时，fx=x故选：AC变式7．（2223高一上·上海徐汇·期末）当α∈R时，函数y=xα-2的图象恒过定点A，则点【答案】1,-1【分析】根据幂函数恒过定点1,1即可求解.【详解】由于对任意的α∈R，y=xα恒经过点1,1，所以函数故答案为：1,-1变式8．（2122高一上·上海徐汇·阶段练习）已知f(x)=(2x-1)n【答案】(1,2)【分析】令2x-1=1【详解】令2x-1=1，得故函数f(x)故答案为：(1,2)【方法技巧与总结】幂函数的定点:1）x>0时过定点(1，1)2)x=0时过定点(0,0)3)x<0时过定点(1，1)【题型5：幂函数的定义域】例5．（多选）（2324高一上·甘肃庆阳·期中）已知幂函数f(x)=A．f(-32)=116 B．C．fx是奇函数 D．不等式fx【答案】AD【分析】根据幂函数的定义得到m=-45，再代入计算即可判断A；根据指数即可得到其定义域，即可判断B；根据函数奇偶性的判断方法即可判断【详解】对A，由题知，m+95=1，得m=-对B，函数f(x)的定义域是{对C，因为f(-x)=对D，当x∈(0,+∞)时，f(x)单调递减，所以|x即不等式的解集为[-1,1)∪(1,3]，故D正确．故选：AD.变式1．（2425高一上·上海·课后作业）在函数①y=x75；②y=x56；③y=x47；④y=【答案】3【分析】根据n次方根，分数指数幂的意义来求解函数的定义域，利用非负数存在偶次方根，任意的实数存在奇次方根来求解函数的定义域．【详解】解：①y=x7②y=x5③y=x4④y=x-⑤y=x-⑥y=x2故定义域为R的有①③⑥，共3个，故答案为：3．变式2．（2223高一上·全国·期中）已知函数fx的定义域是-1,3，则函数gx=f【答案】0,2【分析】利用给定的变量范围求解抽象函数定义域即可.【详解】因为函数fx的定义域是-1,3所以-1≤2x-1≤3，解得0≤x≤2，所以函数要使gx=f2x所以gx=f故答案为：0,2变式3．（2324高一·上海·课堂例题）若幂函数y=x-m2+2m【答案】0或1或2【分析】由幂函数的性质可知，-m2【详解】若幂函数y=x-则-m2+2m+3>0所以m=0,1,2变式4．（2425高一上·全国·课后作业）已知幂函数y=xm(1)求此幂函数的表达式和定义域；(2)若当x1=a+2，x2【答案】(1)y=x(2)(【分析】（1）由题意，代入点4,1（2）根据幂函数在0,+∞上的单调性列出不等式组，求解即得.【详解】（1）由幂函数y=xm经过点4,18可得，4m=由x3>0可得x>0，所以函数y（2）由（1）可知，幂函数y=x-由y1<y2，得即实数a的取值范围为(1变式5．（2425高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图象可能满足下列条件：①函数图象过点3,1②函数图象过点-2,4；③函数的定义域为-∞,0∪任选其中两个条件满足函数，同时求出x=4【答案】选①③，14【分析】利用待定系数法求出解析式，根据所选条件判断是否满足题意，然后可得函数值.【详解】设fx选①②：由题可得3a=1选①③：由函数图象过点3,13可得3a=1易知，函数fx=x所以x=4时，y选②③：由函数图象过点-2,4可得-2a=4，解得a=2因为fx=x综上，应选①③，此时fx=x-1，当变式6．（2425高一上·上海·假期作业）求函数y=x【答案】0,2【分析】根据幂函数的定义域求解即可.【详解】由题意，x≠0x-2≠0即函数y=x变式7．（2324高一下·上海宝山·期末）已知幂函数y=fx(1)求此幂函数的表达式和定义域；(2)若fa+1≤【答案】(1)fx=(2)1≤【分析】（1）根据幂函数定义借助待定系数法计算即可得其解析式，计算即可得其定义域；（2）结合函数单调性与定义域要求计算即可得.【详解】（1）设fx=xm，则有故fx=x-1（2）由fx=x-1故有a+1>04-2a>0a【方法技巧与总结】定义域的三种类型及求法：已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知函数fx的定义域为a,b，则函数fg【题型6：幂函数的值域与最值】例6．（2324高一下·辽宁·阶段练习）函数y=x23【答案】0,1【分析】结合函数解析式并利用幂函数单调性可求得其值域为0,1.【详解】由幂函数性质可知y=x2又易知y=所以当-1≤x≤0时，可知y=可得0≤y故答案为：0,1变式1．（2324高一上·广东佛山·阶段练习）函数y=x⋅【答案】14【分析】求出定义域，令t=x【详解】x≥01-4x≥0，解得0≤y=令t=x-4xt=x-4x2，在则x=18，t故答案为：14变式2．（2324高一下·山东淄博·期中）函数fx=2x-1x+1图象的对称中心坐标是【答案】-1,2-1,2【分析】将函数解析式变形为fx=2+-3x+1【详解】因为fx将奇函数y=-3x图象向左平移1个单位，再向上平移2所以fx图象的对称中心为-1,2fx=2x2则-3≤-3x2故答案为：-1,2；-1,2变式3．（2324高一上·全国·课后作业）已知a∈-1,1,2,3，则使函数y=xa的值域为R【答案】1，3【分析】根据幂函数的性质分析可得.【详解】当a=-1时，y=x当a=1时，y=x当a=2时，y=x当a=3时，y=x3故答案为：1，3变式4．（1920高一上·浙江·期中）函数fx=2x-x2的单调递减区间为【答案】1,20,1【分析】首先求出定义域x0≤x【详解】函数fx=2x-令u(x)=2x-x2，对称轴为x=1，开口向下，所以u(x)由u(x)=2x-x2所以fx故答案为1,2；0,1

【点睛】本题考查复合函数的单调区间与值域，复合函数的单调性“同增异减”，注意在求单调区间时先求定义域.变式5．（2122高一上·山东济南·期中）若函数fx=ax2021+bx2021+3在0,+∞【答案】1【分析】构造奇函数gx=【详解】设gx=f又g-x=记fxmin为fx在0,+∞上的最小值，fxmax又gx在0,+∞上的最小值为fxmin-3=5-3=2，gx所以fxmin-3+故答案为：1.【方法技巧与总结】①配方法:若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域;②)换元法:常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化;③不等式法:借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”;④单调性法:首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求出函数的最值;⑤图象法:画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值【题型7：幂函数图像的应用】例7．（2324高一上·山东济南·期末）已知函数fx=x-2,A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】结合幂函数知识，画出y=fx的图象，将该图象沿【详解】结合题意可得：当x<0时，易知fx=当x≥0时，易知fx=x故函数fx=x要得到y=-fx，只需将y=故选：C.变式1．（2324高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数fx=x,x≥02A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】作出函数fx的图象，利用函数图象的对称变换可得出函数gx【详解】作出函数fx

因为gx=-fx，则将函数fx

故选：C.变式2．（2324高一上·广东肇庆·开学考试）把抛物线y=3x-22+1向下平移3A．y=3x+1C．y=3x-6【答案】B【分析】根据函数图象变换的规则，准确化简，即可求解.【详解】将抛物线y=3x-22+1再向左平移4个单位长度，所得到的抛物线为y=3故选：B.变式3．（2022高一上·全国·专题练习）如图所示是函数y=xmn（m、A．m，n是奇数且mn<1 B．m是偶数，nC．m是偶数，n是奇数，且mn>1 D．m，n【答案】B【分析】根据图象得到函数的奇偶性及0,+∞上单调递增，结合m、n∈N【详解】由图象可看出y=xm故mn∈0,1且m为偶数，又m、n∈故选：B变式4．（多选）（2324高一上·贵州·阶段练习）已知函数fx=2A．fx在定义域单调递减 B．fxC．fx的图象关于1,2对称 D．fx可以由函数【答案】CD【分析】化简fx的解析式，然后根据函数的定义域、单调性、值域、对称性、三角函数图象变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案【详解】fx所以fx的定义域是x减区间是-∞,1,1,+∞，在定义域上不具有单调性，Afx的值域为y|y≠2fx=2+3所以fx关于1,2对称，C选项正确y=3x向右平移一个单位，得到y=3所以D选项正确.故选：CD变式5．（2425高一上·上海·课堂例题）函数y=(x-1)-13-1的图象可由函数y=x-【答案】右1下1【分析】根据解析式的形式，由“左加右减，上加下减”.找出图像变换规则即可.【详解】由“左加右减，上加下减”,函数y=(x-1)-13-1故答案为：右；1；下；1变式6．（2223高二下·陕西西安·期中）直线y=2与函数y=x2【答案】4【分析】根据二次函数的性质，结合图象变换，作图，可得答案.【详解】令x2-6x>0，xx将x=3代入y=x

由图可知，直线y=2与函数y=x故答案为：4.变式7．（2223高一上·上海浦东新·期末）为了得到函数y=1x-1的图象，可以把函数y=【答案】1【分析】利用函数图象的平移规律进行求解即可【详解】为了得到函数y=1x-1的图象，根据平移规律，可以把函数故答案为：1变式8.（2425高一上·上海·课堂例题）在同一坐标系内作出函数y=x-1【答案】答案见解析【分析】y=x-1=1x找出图像变换规则即可。【详解】y=x-1=1x，而y=x+2解：作图如下：【方法技巧与总结】解决幂函数图象问题应把握的两个原则（1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：=1\*GB3①在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；=2\*GB3②在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y=x12或y＝x【题型8：幂函数解不等式】例8．（2223高三上·安徽·阶段练习）已知函数f(x)=53x35，若当A．0,+∞ B．-∞,2 C．3,+∞ D．-∞,1【答案】C【分析】由题知，f(x)=53x35【详解】解：由题意，f(因为f(-x)=由幂函数的性质得f(x)=所以，f(x)=因为f(x)+所以f(x)>所以x>23-所以a>-x2所以，只需a>-所以实数a的取值范围是3,+∞.故选：C变式1．（2324高一上·海南省直辖县级单位·期中）（1）已知f1+x+2f（2）幂函数gx=m2-2m-2x【答案】（1）3+2（2）x≤0【分析】（1）以-x代x得f1-x+2f1+x=6+【详解】（1）因为f1+x以-x代xf1-②×2①得，3f即f1+令x=2-1（2）∵幂函数g在0,+∞上单调递增，∴∴m=3，故∴gx是偶函数，且在0,+∞由g2x-1∴2x-1≥1，即即x的取值范围为x≤0或x变式2．（2022高一·全国·专题练习）已知幂函数y=xm2-2m-3m∈N【答案】-∞,【分析】根据幂函数y＝xα的图象关于y轴对称，求出m的值．再根据幂函数y＝x【详解】由题意，∵函数在0,+∞上递减，∴m2-2m-3<0∴m＝1或又函数图象关于y轴对称，∴m2-2m∴函数y=x1∴a+1m3∴a<故a的取值范围为-∞,2变式3．（2223高一上·山东·期中）已知幂函数y=xm2-2(1)求m的值；(2)解关于a的不等式a+1【答案】(1)1(2){a|【分析】(1)结合幂函数的奇偶性以及单调性即可求解；(2)结合(1)中结论对不等式化简，并通过解一元二次不等式即可求得答案.【详解】（1）因为幂函数y=xm所以m2-2m-3<0且m∈因为幂函数y=xm所以y=故m2-2m从而m的值为1.（2）由(1)中知，m=1，则a即(a解得a<23故不等式的解集为：{a|a变式4．（2324高一上·天津·期中）若幂函数y=xm2-2m-3(m∈N【答案】-1,【分析】先由函数单调性得m2-2m-3<0，进而求出m=1或2，接着由幂函数奇偶性得m【详解】因为幂函数y=xm所以m2-2m又m∈N*，所以m当m=1时，幂函数为y=x当m=2时，幂函数为y=x所以m=1，不等式(a+1)因为函数y=x-1在(-∞,0)所以a+1<3-2a<0或3-2解得-1<a<2故答案为：-1,2变式5．（2324高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数fx=(1)求fx(2)解不等式fx【答案】(1)fx(2){x|x【分析】（1）利用幂函数的定义，结合图象特征求出m即得.（2）由幂函数的单调性结合奇偶性求解不等式.【详解】（1）由fx是幂函数，得m2-2m-2=1由fx的图象与坐标轴无交点，得5-m2所以fx的解析式是f（2）显然函数fx=x不等式fx因此0<x+1<x-2所以原不等式的解集为{x|x变式6．（2324高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数f(x)=(1)求m和k的值；(2)求满足(2a+1)-【答案】(1)m=1，k=-3或(2)(-∞,-【分析】（1）根据函数为幂函数，列式计算，即可求得k的值；根据幂函数的单调性求得m的值，结合奇偶性即可确定m的取值.（2）结合（1）可得(2a+1)-m【详解】（1）由函数f(则k2+2k-2=1，解得由f(x)=得m2-2m-3<0，解得-1<m<3，而当m=1时，f(x当m=2时，f(x故m=1，k=-3或（2）结合（1）可知(2a+1)-故2a+1>3-2a>0或解得12<a<3故实数a的取值范围为(-∞,-1变式7．（2324高一上·安徽阜阳·期中）已知函数fx=2m2-(1)求实数m的值；(2)若不等式(a-1)m<【答案】(1)-(2)a【分析】（1）根据幂函数的定义和性质运算求解；（2）根据gx=【详解】（1）因为函数fx则2m2-m=1，即2又因为函数fx关于y当m=-12当m=1时，则f综上所述：实数m的值为-1（2）函数gx=xm=由(a-1)m<(2a所以实数a的取值范围为a|【题型9：幂函数的奇偶性】例9．（2122高一上·全国·课后作业）函数y=x59在A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数【答案】A【分析】由幂函数的图象与性质求解即可.【详解】因为y=x5因为x∈所以f-所以y=x59是奇函数，又因为59故选：A.变式1．（多选）（2324高一上·河南新乡·阶段练习）关于幂函数fx=mA．fx的图象经过原点 B．fC．fx的值域为0,+∞ D．fx在区间【答案】BC【分析】由题意m-1=1，得f(【详解】由题意，m-1=1，所以m=2对于A，f(x)=故fx的图象不经过原点，A对于B，因为f(x)=f(-x)=1(-对于C，由于f(x)=1x对于D，由于-2<0，故f(x)=x-2故选：BC．变式2．（多选）（2324高一上·江苏镇江·期中）已知幂函数y=xα的图象过点8,4A．函数y=xα的图象过原点 BC．函数y=xα的值域为R D．函数y【答案】ABD【分析】首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质及奇偶性一一判断即可.【详解】由幂函数y=xα则4=8α，即22则幂函数y=x2又3x2≥0，则函数y=3当x=0时，y=0，则函数y=由fx=3x2，则f因为函数y=x2由偶函数的的对称性可得函数y=x23在-∞,0故选：ABD.变式3．（2425高一上·上海·随堂练习）已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3，若幂函数y=【答案】-1【分析】由幂函数的性质可知α是奇数，且α<0，则答案可求【详解】因为α∈幂函数fx=x所以α是奇数，且α<0，所以α故答案为：-1.变式4．（2324高一上·上海虹口·期末）设α∈-2,-12,23,3，若幂函数y=【答案】2【分析】利用幂函数的性质来解答即可.【详解】∵α若幂函数y=xα的图像关于y又幂函数y=xα在区间(0,+∞)故答案为：23变式5．（2324高一上·四川·阶段练习）已知α∈-1,12,2,3.若幂函数fx【答案】3【分析】根据幂函数的奇函数性质和单调性的性质进行求解即可.【详解】因为α∈所以当幂函数fx=xα为奇函数时，而幂函数fx=xα又在故答案为：3变式6．（2324高一上·上海浦东新·期中）已知幂函数fx=x-m2+2m+3【答案】1【分析】根据题意，利用幂函数的性质，求得m∈0,1,2，再结合y=fx的图象关于【详解】由幂函数fx=x可得-m2+2解得-1<m<3且m∈Z当m=0时，可得fx=当m=1时，可得fx=x4当m=2时，可得fx=综上可得，实数m的值为1.变式7．（2023高一·上海·专题练习）已知幂函数fx=a2-a【答案】1【分析】由函数fx是幂函数，则a2-a【详解】由幂函数的定义可知，a2-a+1=1，即a2则fx=x若fx=x又f-x=若fx=x又f-x=-x所以实数a的值为1.【题型10：幂函数恒成立与存在成立问题】例10．（2122高一上·陕西西安·期中）已知函数f(x)=x3，若f(mx-2)+f【答案】-2<【分析】根据题意，结合奇函数的图象性质，以及不等式恒成立问题，即可求解.【详解】根据题意，易知函数f(x)=x3为因为f(mx-2)+所以f(mx-2)<-f(即(m+1)x-2<0令g(x)=(m+1)则{g(-2)=-2m故答案为：-2<m变式1．（2021高一上·上海黄浦·期末）已知a∈{-2,-1,13,23,43,2},当x∈(1，0)∪【答案】-2,【解析】直接利用幂函数的性质和分类讨论的应用求得结果.【详解】令fx=xa，由fx>x可知，幂函数fx的图象在由于x∈0,1，所以fx=xa>x整理得1>x1-a，所以1-故答案为：-2,变式2．（2223高一上·福建龙岩·期末）已知幂函数f(x)=(1)若g(2)=5，求k(2)已知k≤2，若关于x的不等式g(x)-1【答案】(1)k(2)1-【分析】（1）先利用幂函数的定义及性质求出f(x)，再利用g（2）将问题转化为x2+kxmin>12k【详解】（1）对于幂函数f(x)=解得m=32又当m=32∴m∴f∴g∴g解得k=2（2）关于x的不等式g(x)-即x2+k即x2先证明hx=x任取x1则hx∵x∴x1-x2∴x∴hx1故hx=x∴h∴1+k>1解得1-3变式3．（2223高一上·辽宁辽阳·期末）已知幂函数fx(1)求fx(2)若正数m,n满足3m+12n【答案】(1)f(2)5【分析】（1）根据幂函数定义可构造方程求得a的值，结合奇偶性可得结果；（2）由9m+1n【详解】（1）∵fx为幂函数，∴a2+当a=2时，fx=x2当a=-3时，fx=x-3综上所述：fx（2）由（1）得：3m+12n=-5a=15，即∴9m+1n=15m∴b变式4．（1920高一上·河南平顶山·期末）已知幂函数f(x)=x（Ⅰ）求函数f(（Ⅱ）设函数g(x)=f(x)+2λx【答案】（Ⅰ）f(x)=x【解析】（I）根据幂函数的奇偶性和在区间(0,+∞)上的单调性，求得m的值，进而求得fx的解析式（II）先求得gx的解析式，由不等式g(x)<0分离常数λ得到λ<12x【详解】（Ⅰ）∵幂函数f(x)=∴-3m+5>0，且-3又m∈N，解得∴f（Ⅱ）由（Ⅰ）可知g(当x∈[1,2]时，由g(x易知函数y=12x∴λ∴实数λ的取值范围是-∞,-3【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.一、单选题1．（2324高一上·安徽·期末）已知幂函数f(x)=(m+2)xnA．-3 B．-52 C．-2 D【答案】D【分析】根据幂函数的定义求解即可》【详解】依题意可得m+2=1所以m=-1又f(x)=所以4n解得n=所以m-故选：D.2．（2324高一上·北京·期中）下列函数中，在区间(0,+∞)上是减函数的是（

）A．y=3x+2C．y=x2【答案】D【分析】利用函数解析式直接判断各选项中的函数单调性即得.【详解】函数y=3x+2、y=x函数y=x2-1在函数y=2x在(0,+∞)上单调递减，故选：D3．（2324高一上·湖北孝感·阶段练习）函数y=k2-2kA．k=4 B．k=-2 C．k=4或k=-2 D【答案】C【分析】根据幂函数的定义列方程求解即可.【详解】由幂函数的定义知k2即k2-2k-8=0，解得故选：C4．（2324高一上·广东湛江·期中）已知幂函数f(x)的图象经过点2,2，则A．3 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】先根据已知条件求出f(x)【详解】设f(x)=xa∴f(x故选：D5．（2324高一上·四川广安·期末）已知幂函数的图象经过点P(16,4)，则该幂函数的大致图象是（

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】待定系数法求出解析式，从而选出答案.【详解】设幂函数解析式为y=xα，将P即42α=4，故2所以y=x12故选：C6．（2324高一上·天津·期中）函数y=A．52,+∞ B．-∞,1 C．4,+∞ D【答案】B【分析】根据复合函数的单调性即可求解.【详解】x2-5x+4≥0，即(x令t=x2-5x∴t=x2-5又y=∴y=x2-5x故选：B.7．（2425高一上·全国·课后作业）已知幂函数fx=x4-m （m∈N+A．1 B．2C．1或3 D．3【答案】C【分析】根据幂函数的单调性及奇偶性求解即可.【详解】因为幂函数fx=x4-m （所以4-m>0且m∈当m=1时，幂函数f当m=2时，幂函数f当m=3时，幂函数fx=x为奇函数，符合题意，综上m故选：C8．（2425高一上·全国·课后作业）已知图甲是函数f(x)的图象，图乙是由图甲变换所得，则图乙中的图象对应的函数可能是（

A．y=f(|C．y=f(-|【答案】A【分析】由图可知，甲、乙y轴右侧部分的图象一致，再将乙图右侧的图象沿y翻折即可得到图乙的图象，据此可得到答案.【详解】设图乙对应的函数为g(由图可知当x≥0时，g当x<0时，g所以g(故选：A.二、多选题9．（2324高一上·云南昆明·期末）若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(-x)=0；②对于定义域上的任意x1,x2，当x1A．f(x)=-x B．f(x【答案】AC【分析】根据①②得到fx为奇函数且在定义域上单调递减，从而对四个选项一一作出判断【详解】由①得fx为奇函数，由②得f对于A，f(x)=-对于B，f(-x)=-x对于C，f(x)=-对于D，f(-x)=1+x≠-f故选：AC10．（2324高一上·四川德阳·期末）若四个幂函数y=xa,yA．a>b>1 B．a>1>b C【答案】BC【分析】利用幂函数在第一象限内，x=1的右侧部分的图象的特点，确定出a,【详解】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在x=1可得a>