山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高三上学期第一次（10月）月考测试数学试卷

新泰市紫光实验中学2024—2025学年10月份第一次月考测试高三年级数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)1．(5分)向量,，若，则x的值为()A. B.1 C. D.32．(5分)函数的部分图象大致为()A. B.C. D.3．(5分)国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间t（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要()A.3.8小时 B.4小时 C.4.4小时 D.5小时4．(5分)已知是定义在R上的偶函数,满足,当时,,若,,,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.5．(5分)已知，，则()A.25 B.5 C. D.6．(5分)设函数，若，则的最小值为()A. B. C. D.17．(5分)若a，，，则的最大值为()A． B． C．2 D．48．(5分)已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是()A. B. C. D.二、多项选择题(共18分)9．(6分)若,则下列不等式成立的是()A. B. C. D.10．(6分)已知函数，，则()A．与的值域相同B．与的最小正周期相同C．曲线与有相同的对称轴D．曲线与有相同的对称中心11．(6分)已知，且，则()A.ab的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最大值为3三、填空题(共10分)12．(5分)函数的最小正周期为_____________.13．(5分)若是偶函数，则实数a的值为__________.四、双空题（共5分）14．(5分)已知，则________；______.五、解答题(共77分)15．(13分)2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐,并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株,尽管我国疫情得到了很好的遏制,但由于整个国际环境的影响,时而也会出现一些散发病例,故而抗疫形势依然严峻,日常防护依然不能有丝毫放松.在日常防护中,医用防护用品必不可少,某公司一年购买某种医用防护用品600吨,每次都购买x吨,运费为6万元/次,一年的存储费用为4x万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用.（1）要使总费用不超过公司年预算260万元,求x的取值范围.（2）要使总费用最小,求x的值.16．(15分)设.(1)若不等式对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式.17．(15分)如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，E是线段的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18．(17分)如图所示为直四棱柱，，，，，M，分别是线段，的中点.(1)证明:平面；(2)求线BC与平面所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点P，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，请说明理由.19．(17分)如图，四边形是边长为2的菱形，，将沿折起到的位置，使.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案1．答案：D解析：由，可得，解得，故选：D.2．答案：B解析：令,其定义域为,关于原点对称,,所以函数为奇函数,即图像关于原点对称,故排除AC,当时,,,,即,故排除D,故选:B.3．答案：B解析：由题意可知，即有，令，则有，解得，，故还需要4小时才能消除至最初的.故选：B.4．答案：B解析：根据题意,满足,即函数是周期为2的周期函数,则,,又由为偶函数,则,当时,,易得在上为增函数,又由,则有;故选B.5．答案：C解析：因为，，即，所以.故选：C.6．答案：C解析：由及，单调递增，可得与同正、同负或同为零，所以当时，，即，所以，则，故选C.7．答案：A解析：，当且仅当时，等号成立；又，当且仅当时，即，等号成立；，解得，，所以的最大值为故选：A8．答案：A解析：，令的导函数为.若，，在R上单调递增，且，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，符合题意.若，当时，，在上单调递增，因为，，所以当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意.若，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，不符合题意.若，当时，，，可得时，，时，，所以在递增，在上单调递减，不符合题意.综上，a的取值范围是.故选：A9．答案：BCD解析：对A,若,则,两边同时除以ab,所以,A错误;对B,由可得,B正确;对C,因为,所以,即,C正确;对D,由可得,,所以,D正确.故选:BCD.10．答案：ABC解析：，，则与的值域相同，A正确．与的最小正周期均为，B正确．曲线与的对称轴方程均为，C正确．曲线没有对称中心，曲线有对称中心，D错误．11．答案：ABC解析：因为，且，A.，当且仅当时，等号成立，故正确;B.，当且仅当，即时，等号成立，故正确;C.，当且仅当时，等号成立，故正确;D.，当且仅当，即时，等号成立，故错误;故选:ABC12．答案：解析：函数的最小正周期为：,故答案为：.13．答案：解析：函数是偶函数，则，，化简可得.当时，则所以，则，所以函数是偶函数，则.故答案为：14．答案：①.；②.解析：，，故答案为：；15．答案：（1）（2）30解析：（1）因为公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,所以购买货物的次数为,故,,化简得,解得,所以x的取值范围为.（2）由（1）可知,,因为,当且仅当即时等号成立,所以当时,一年的总费用最小,故x的值为30.16．答案：(1)(2)答案见解析.解析：(1),恒成立等价于,,当时,,对一切实数x不恒成立,则,此时必有,即,解得,所以实数a的取值范围是.(2)依题意,,可化为,当时,可得,当时,可得,又,解得,当时,不等式可化为,当时,,解得,当时,,解得或,当时,,解得或,所以,当时,原不等式的解集为,当时,原不等式的解集为,当时,原不等式的解集为或;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为或.17．答案：（1）证明见解析；（2）存在，解析：（1）证明：在中，由余弦定理知，，所以，即，因为，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以A为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，，所以，设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以，设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以，因为平面和平面夹角的余弦值为，所以，整理得，，即，解得或，因为，所以，故存在，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时.18．答案：(1)证明见解析(2)，在线段存在点P使得平面，的值为解析：(1)由，，知为正三角形，又M为的中点，则.又为的中点，则，而，所以，又，平面，所以平面；(2)由(1)知为正三角形，则，在中，，有，所以，易知，，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，设平面的一个法向量为，则，令，得，，故，设与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为.假设在线段上存在点P，使得平面，令，则，所以，由平面，得，所以，解得.此时，所以，即的值为.19．答案：(1)证明见解析；(2)解析：（1）如图，取中点O，连接，.因为四边形是边长为2的菱形，，所以、是边长为2的正三角形，