华师大新版七年级下学期《10.3.2旋转的特征》同步练习卷

华师大新版七年级下学期《10.3.2旋转的特征》

同步练习卷

一.解答题（共50小题）

1.探索新知：

如图1,射线OC在NAOB的内部，图中共有3个角：ZAOB,NAOC和NBOC,

若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是/AOB的"巧

分线

（1）一个角的平分线这个角的“巧分线"；（填"是"或"不是"）

（2）如图2,若NMPN=a,且射线PQ是NMPN的"巧分线"，则NMPQ=；

（用含a的代数式表示出所有可能的结果）

深入研究：

如图2,若NMPN=60。，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10。的速度逆

时针旋转，当PQ与PN成180。时停止旋转，旋转的时间为t秒.

（3）当t为何值时,射线PM是NQPN的"巧分线"；

（4）若射线PM同时绕点P以每秒5。的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，

请直接写出当射线PQ是NMPN的"巧分线"时t的值.

0c=5,将△BAO绕点B顺时针旋转后得到ABCD,连接0D.求：

①旋转角的度数；

②线段0D的长；

③NBDC的度数.

（2）如图2所示，。是等腰直角aABC（ZABC=90°）内一点，连接OA、0B、

oc,将ABA。绕点B顺时针旋转后得到ABCD,连接OD.当OA、OB、oc满

足什么条件时，ZODC=90°?请给出证明.

3.已知，△ABC中，AB=AC,点E是边AC上一点，过点E作EF〃BC交AB于点

F.

(1)如图①,求证:AE=AF；

(2)如图②，将aAEF绕点A逆时针旋转a(0。＜。＜144。)得到^AEF.连接

CEBF.

①若BF=6,求CE'的长;

②若NEBC=NBAC=36。，在图②的旋转过程中，当CE，〃AB时，直接写出旋转角

4.在aABC中，ZB+ZACB=30°,AB=4,Z\ABC逆时针旋转一定角度后与aADE

重合，且点C恰好成为AD中点，如图

(1)指出旋转中心，并求出旋转角的度数.

5.如图，4ABC是直角三角形，延长AB到点E,使BE=BC,在BC上取一点F,

使BF=AB,连接EF,4ABC旋转后能与4FBE重合，请回答:

(1)旋转中心是哪一点？

(2)旋转了多少度？

(3)AC与EF的关系如何?

(1)如图①等边4ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,

5,求NAPB的度数.

为了解决本题，我们可以将4ABP绕顶点A旋转到AACP，处，此时△ACPN^ABP,

这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从

而求出NAPB=；

(2)基本运用

已知如图②，△AB”,ZCAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且NEAF=45。，

求证：EF2=BE2+FC2；

(3)能力提升

如图③，在RtZ^ABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,点。为RtaABC内一点，

连接AO,BO,CO,KZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,求OA+OB+OC的值.

7.将两块全等的三角板如图①摆放，其中NAiCBi=NACB=90。，ZAi=ZA=30°.

(1)将图①中的^AiBiC顺时针旋转45。得图②，点Pi是AiC与AB的交点，点

Q是AiBi与BC的交点，求证：CPi=CQ；

（2）在图②中，若APi=2,则CQ等于多少？

8.如图1,点。为直线AB上一点，过点。作射线0C,使NAOC：ZB0C=2：1,

将一直角三角板的直角顶点放在点。处，一边ON在射线0A上，另一边0M

在直线AB的下方.

（1）将图1中的三角板绕点。按顺时针方向旋转至图2的位置，使得0M落在

射线0A上，此时ON旋转的角度为°；

（2）继续将图2中的三角板绕点0按顺时针方向旋转至图3的位置，使得0M

在NBOC的内部，则NBON-ZCOM=°；

（3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点。按

每秒钟15。的速度旋转，当0M恰为NBOC的平分线时，此时，三角板绕点0

的运动时间为秒，简要说明理由.

9.如图1,将一副三角板的直角重合放置，其中NA=30。，ZCDE=45°.

（1）如图1,求NEFB的度数；

（2）若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向

旋转.

①当旋转至如图2所示位置时，恰好CD〃AB,则NECB的度数为°；

②若将三角板CDE继续绕点C旋转，直至回到图1位置.在这一过程中，是否

还会存在4CDE其中一边与AB平行？如果存在，请你画出示意图，并直接写

出相应的NECB的大小；如果不存在，请说明理由.

10.取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC,将三角板ABC绕点A顺

时针方向旋转，旋转角度为a(0。＜。忘45。)，得到△ABU.

①当a为多少度时，AB〃DC?

②当旋转到图③所示位置时，a为多少度？

③连接BD,当(TVaW45。时，探求NDBC+NCAU+NBDC值的大小变化情况,

并给出你的证明.

11.如图,4ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90。到△EBC,且NABD=90。，

(1)Z\ABD和AEBC是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角.

(2)若AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE的长吗？

(3)直线AD和直线CE有怎样的位置关系？请说明理由.

12.如图，4ABC中，ZB=10°,ZACB=20°,AB=4cm,三角形ABC按逆时针方

向旋转一定角度后与三角形ADE重合，且点C恰好成为AD的中点.

(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数；

(2)求出NBAE的度数和AE的长.

13.如图所示，点P是等边△ABC内一点，PB=2,PC=1,ZBPC=150°,求PA的

长.

(2)如图，将^ABC绕点C顺时针方向旋转40。得到ADEC,若AC_LDE,求/

BAC的度数.

15.证明题

在等腰^ABC与等腰4ADE中，ZBAC=ZDAE,AB=AC,AD=AE.

(1)如图1,当点E,D,B三点在同一直线上时，且BELAC,ZBAC=50°,求

ZEBC的度数；

(2)如图2,将aADE绕A点旋转，当ED延长线交于BC的中点M时，连接BD,

CE,求证：ZBDM=ZMEC.

16.(1)如图①所示，4ACB和4ECD都是等腰三角形，A、C、D三点在同一直

线上，连接BD、AE,并延长AE交BD于F,试判断AE与BD的数量和位置关

系，并证明你的结论.

(2)若4ECD绕顶点C顺时针旋转任意角度后得到图②，图①中的结论是否仍

然成立？请说明理由.

B

17.如图，点P是等边AABC内的一点，连接PA、PB、PC,以BP为一边作NPBQ=60。,

且BQ=BP,连接CQ.试观察并猜想AP与CQ的大小关系；并说明理由.

18.如图，将^ABC绕点B逆时针旋转a得到ADBE,DE的延长线与AC相交于

点F,连接DA、BF,ZABC=a=60°,BF=AF.

(1)求证：DA〃BC；

(2)猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想.

19.在aABC中，AC=BC,将aABC绕点A顺时针方向旋转，得到^ADE,旋转

角为a((TVaV180。)，点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,连接BD

(1)如图，当a=60。时，4ABD是等边三角形吗？请说明理由；

（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE.当N

DAG=NACB,ZC<90°,且线段DG与线段AE无公共点时，判断CE与AB的

关系，并说明理（请在备用图中将图形补充完整）

20.如图，在△ABC中，NACB=90。，AOBC,点D在AB边绕点C逆时针旋转

角a到达4ECF的位置，点E在AC边上.

（1）直接填空：a的最小度数是；

（2）若EF〃CD,试判断aBCD的形状，并说明理由.

21.在等边^AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与

OA、OB重合，OA=OB=4,OC=OD=2,固定等边AAOB不动，让扇形COD绕

点。逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为a.（0<aW360。）

（1）当OC〃AB时，旋转角a=度，OCLAB时旋转角a=度.

发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明.

应用：（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长.

拓展：（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线

段PC的最大值与最小值.

A

0DB\L-------------

B

图1图2

22.(1)如图1,E为等边aABC内一,点，CE平分NACB,D为BC边上一点，且

DE=CD,连接BE,取BE中点P,必E接AP,PD,AD,直接写出AP与PD的位

置关系，并直接用等式表示AP与PD的数量关系；

(2)如图2,把图1中的4CDE绕点C顺时针旋转a(60°<a<90°),其它条件

不变，连接BE,点P为BE中点，连接AP,PD,AD,试问(1)中的结论还

成立吗？若成立，请证明；若不成，立，请说明理由.

3

二图1DB工图2°

23.已知，在等边aABC中，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且ED=EC

(1)如图1,求证：AE=DB；

(2)如图2,将4BCE绕点C顺时针J旋转60。至4ACF(点B、E的对应点分别为

点A、F),连接EF.在不添加任小「J辅助线的情况下，请直接写出图中四对线

段，使每对线段长度之差等于ABf的长.

7

BDCBDC

(图1)(图2)

24.如图，D是等边三角形ABC内一点,将线段AD绕点A顺时针旋转60°,得

到线段AE,连接CD,BE.

（1）求证：ZAEB=ZADC；

（2）连接DE,若NADC=105。，求NBED的度数.

25.如图，在ZkABC中，ZB=90°,BC=6,AC=10,将ZkABC绕点C顺时针旋转

90。得到△口£（：,并连接AE,求AE的长.

26.如图，将^ABC绕点C按顺时针方向旋转至△AEC,使点A，落在BC的延长

线上.已知NA=27。，ZB=40°,求则NACB，的度数.

27.如图所示,△ABD旋转后与4ACE重合，^ABC是直角三角形，BC是斜边,

如果AD=4,求DE的长度.

AC=4,BC=%/^，将线段AC绕点A按逆时

针方向旋转60。，得到线段AD,连接DC,DB.

（1）直接写出线段DC=

（2）求线段DB的长度;

(3)直接写出点B到直线AD的距离为

29.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,点D,F分别在AB,AC上，CF=CB,连

接CD,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90。后得CE,连接EF.

求证：△BCDgZ\FCE.

30.已知，点P是等边aABC内一点，PA=4,PB=3,PC=5,线段AP绕点A逆时

针旋转60。到AQ,连接PQ.

(1)求PQ的长.

(2)求NAPB的度数.

31.RtZ\ABC中，ZABC=30°,将aABC绕点C逆时针旋转至△A'B'C,使得点A

恰好落在AB上，AB交BC于点D,连接BB,

(1)求证：AA'B'C^AA'B'B.

(2)直接写出图中以点B为顶点的所有直角三角形.

B'

32.如图，将aABC绕点C顺时针方向旋转40。得△ABC,若ACJ_AB,求NBAC

的度数.

33.已知，如图，点C是AB上一点，分别以AC,BC为边，在AB的同侧作等边

三角形aACD和ABCE.

(1)指出4ACE以点C为旋转中心，顺时针方向旋转60。后得到的三角形；

(2)若AE与BD交于点0,求NAOD的度数.

34.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,点D、F分别在AB、AC上，CF=CB,连

接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°(即NDCE=90。)后得CE,连

接EF.

(1)求证：△BCD且ZSFCE；

(2)若EF〃CD,求NBDC的度数.

35.在学习了第四章《基本的平面图形》的知识后，小明将自己手中的一副三角

板的两个直角顶点叠放在一起拼成如下的图形1和图形2.

(1)在图1中，当AD平分NBAC时，小明认为此时AB也应该平分NFAD,请

你通过计算判断小明的结论是否正确.

(2)小明还发现：只要AD在NBAC的内部，当aABC绕直角顶点A旋转时，总

有NFAB=NDAC(见图2),请你判断小明的发现是否正确，并简述理由.

(3)在图2中，当NFAC=x,ZBAD=y,请你探究x与y的关系.

36.如图，4BAD是由ABEC在平面内绕点B逆时针旋转60。得到，且ABLBC,

连接DE.

(1)ZDBE的度数.

37.如图1,点0为直线AB上的一点，过。点作直线OC,使NBOC=120。，将

一块含30。、60。的直角三角板的直角顶点放在点0处，一边OM在射线OB

上，另一边ON在直线AB的下方.

(1)将图1中的三角板绕点。逆时针旋转至图2,使一边0M在NBOC的内部,

且恰好平分NBOC.

问：此时三角板旋转的角度为

(2)将图1中的三角板绕点。以每秒6。的速度逆时针方向旋转.

①若旋转一周，在旋转过程中，直线ON恰好平分NAOC时，求旋转的时间t值.

②若旋转过程中，直线MN〃直线0C,求旋转的时间t的值.

38.(1)如图(1),AB〃CD,点P在AB,CD外部，若NB=50。，ZD=25°,则/

BPD=°

(2)如图(2),AB〃CD,点P在AB,CD内部，则NB,ND,NBPD之间有何

数量关系？证明你的结论.

(3)在图(2)中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交直线CD于

点M,如图(3),若NBPD=90°,ZBMD=40",求NB+/D的度数.

39.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA,PB,PC,以BP为边作NPBQ=60。,

且BP=BQ,连结CQ.

(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由.

(2)若PA=3,PB=4,PC=5,连结PQ,判断△PQC的形状并证明.

40.ZXABC是等边三角形，P为其内的一点，并且满足PA=25,PB=7,PC=24,试

求NCPB的度数？

41.如图：点P为等边4ABC内一点，且PA=2,PB=1,PC=C，求NAPB的度数.

42.如图，在等边AABC内有一点P,且PA=2,PB=«,PC=1,求NBPC的度数

和等边4ABC的边长.

43.如图所示，P为等边AABC的中心，请用旋转的方法将^ABC分成面积相等

的三部分，设计出分割方案，并画出示意图.（至少三种）

44.如图，在aABC中，ZACB=90°,AC=1,将aABC绕点C顺时针旋转60。至^

ABC,点A的对应点A"恰好落在AB上，求BB，的长.

45.如图，^ABC为等边三角形，P为三角形内一点，将4ABP绕A点逆时针旋

转60。，得到△ACP，.

（1）求证：△APP，为等边三角形.

（2）连接PC,若PP'=2,NP'CP=90°,NP'PC=30。，求AABC的面积.

46.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5,PB=12,PC=13,若将aPAC

绕点A逆时针旋转后，得到△P，AB,求点P与点，之间的距离及NAPB的度

数.

47.在AABC中，AB=AC,点D在直线BC上（不与点B、C重合），线段AD绕A

点逆时针方向旋转NBAC的大小，得线段AE,连接DE、CE.探索NBCE与/

BAC的大小关系，并加以证明.

48.已知，P为等边三角形内一点，且BP=3,PC=4,将BP绕点B顺时针旋转60。

至BP'的位置.

（1）试判断△BPP，的形状，并说明理由；

49.在aABC中，AC=BC,将aABC绕点A按顺时针方向旋转，得到aADE,旋

转角为a(CTVaV180。)，点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,连接

BD,BE,如图，当a=60°时，延长BE交AD于点F.

(1)求证：4ABD是等边三角形；

(2)求证：BF1AD,AF=DF.

50.如图，已知ACLBC,垂足为C,AC=4,BC=3«,将线段AC绕点A按逆时

针方向旋转60。，得到线段AD,连接DC,DB.

(1)求线段CD的长；

(2)求线段DB的长度.

D

CB

华师大新版七年级下学期《103.2旋转的特征》

同步练习卷

参考答案与试题解析

—.解答题（共50小题）

1.探索新知：

如图1,射线OC在NAOB的内部，图中共有3个角：ZAOB,NAOC和NBOC,

若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是NAOB的"巧

分线

（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线";（填"是"或"不是"）

（2）如图2,若NMPN=a,且射线PQ是NMPN的"巧分线"，则NMPQ=la

一2一

或La或2a；（用含a的代数式表示出所有可能的结果）

33

深入研究：

如图2,若NMPN=60。，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10。的速度逆

时针旋转，当PQ与PN成180。时停止旋转，旋转的时间为t秒.

（3）当t为何值时，射线PM是NQPN的“巧分线";

（4）若射线PM同时绕点P以每秒5。的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，

请直接写出当射线PQ是NMPN的"巧分线"时t的值.

（2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解；

（3）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可；

（4）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可.

【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线"；（填"是"或"不是"）

故答案为：是

(2)VZMPN=a,

二NMPQ=La或La或2a；

233

故答案为La或La或2a；

233

深入研究：

(3)依题意有

①10t=60+Lx60,

2

解得t=9；

②10t=2X60,

解得t=12；

③10t=60+2X60,

解得t=18.

故当t为9或12或18时，射线PM是NQPN的"巧分线"；

(4)依题意有

①10t=L(5t+60),

3

解得t=2.4；

②10t=L(5t+60),

2

解得t=4；

③10t=2(5t+60),

3

解得t=6.

故当t为2.4或4或6时，射线PQ是NMPN的"巧分线”.

【点评】本题考查了旋转的性质，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁

移能力.理解"巧分线".的定义是解题的关键.

2.(1)如图1,0是等边AABC内一点，连接OA、OB、0C,且0A=3,0B=4,

0c=5,将△BAO绕点B顺时针旋转后得到ABCD,连接0D.求:

①旋转角的度数；

②线段0D的长；

③NBDC的度数.

(2)如图2所示，0是等腰直角^ABC(ZABC=90°)内一点，连接OA、0B、

0C,将△BAO绕点B顺时针旋转后得到ABCD,连接0D.当OA、OB、0C满

足什么条件时，ZODC=900?请给出证明.

【分析】(1)①根据等边三角形的性质得BA=BC,ZABC=60°,再根据旋转的性

质得NOBD=NABC=60。，于是可确定旋转角的度数为60°；

②由旋转的性质得BO=BD,加上NOBD=60。，则可判断aOBD为等边三角形，所

以OD=OB=4；

③由△BOD为等边三角形得到NBDO=60。，再利用旋转的性质得CD=AO=3,然后

根据勾股定理的逆定理可证明4OCD为直角三角形，NODC=90。，所以NBDC=

ZBDO+ZODC=150°；

(2)根据旋转的性质得NOBD=NABC=90。，BO=BD,CD=AO,则可判断AOBD

为等腰直角三角形，则OD=&OB,然后根据勾股定理的逆定理，当

CD2+OD2=OC2时，△OCD为直角三角形，ZODC=90°.

【解答】解：(1)①..'△ABC为等边三角形，

，BA=BC,ZABC=60°,

•.'△BAO绕点B顺时针旋转后得到^BCD,

/.ZOBD=ZABC=60o,

...旋转角的度数为60°；

②•..△BAO绕点B顺时针旋转后得到aBCD,

JBO=BD,

而/OBD=60°,

.•.△OBD为等边三角形；

.*.OD=OB=4；

③•.'△BOD为等边三角形，

/.ZBDO=60°,

VABAO绕点B顺时针旋转后得到aBCD,

，CD=AO=3,

在△OCD中，CD=3,0D=4,0C=5,

32+42=52,

.,.CD2+OD2=OC2,

.,.△OCD为直角三角形,ZODC=90°,

AZBDC=ZBDO+ZODC=60o+90°=150°；

(2)OA2+2OB2=OC2时，ZODC=90°.理由如下：

VABAO绕点B顺时针旋转后得到aBCD,

/.ZOBD=ZABC=90°,BO=BD,CD=AO,

.•.△OBD为等腰直角三角形，

.*.OD=V2OB,

•.•当CD2+OD2=OC2时，△OCD为直角三角形，ZODC=90°,

AOA2+2OB2=OC2,

.•.当OA、OB、OC满足OA2+2OB2=OC2时，ZODC=90°.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转

中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等边三

角形的判断与性质和勾股定理的逆定理.

3.已知，^ABC中，AB=AC,点E是边AC上一点，过点E作EF〃BC交AB于点

F.

(1)如图①,求证:AE=AF；

(2)如图②，将4AEF绕点A逆时针旋转a((TVaV144。)得到^AEF.连接

CEBF.

①若BF，=6,求CE，的长；

②若NEBC=NBAC=36。，在图②的旋转过程中，当CE，〃AB时，直接写出旋转角

【分析】(1)根据等腰三角形两底角相等NABC=NACB,再根据平行线的性质得

出，ZAFE=ZABC,NAEF=NACB,得出NAFE=NAEF,进一步得出结论；

(2)求出AE=AF,再根据旋转的性质可得NE，AC=NFAB,AE，=AF,然后利用“边

角边”证明^CAE，和aBAF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

(3)把4AEF绕点A逆时针旋转AE，与过点C与AB平行的直线相交于M、N,

然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可.

【解答】(1)证明：•••AB=AC,

/.ZABC=ZACB,

•.•EF〃BC,

/.ZAFE=ZABC,ZAEF=ZACB,

/.ZAFE=ZAEF,

，AE=AF.

(2)解：①由旋转的性质得，NE'AC=NF'AB,AE>AF',

在aCAE，和中，

'AE'=AF'

<NE'AC=NF'AB-

AB=AC

.,.△CAE,^ABAF,(SAS),

.•.CE'=BF'=6；

②由(1)可知AE=AF,

所以，在4AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径(圆弧)与过点C且

与AB平行的直线I相交于点M、N,如图,

①当点E的像E，与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，

所以，ZBAM=ZABC=72°,

XVZBAC=36°,

，a=ZCAM=36°；

②当点E的像E，与点N重合时，

VCE^AB,

，ZAMN=ZBAM=72°,

VAM=AN,

；.NANM=NAMN=72°,

.,.ZMAN=180°-72°X2=36°,

，a=ZCAN=ZCAM+ZMAN=36°+36°=72°,

综上所述，当旋转角a为36。或72。.

【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等

知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键.

4.在△ABC中，ZB+ZACB=30°,AB=4,4ABC逆时针旋转一定角度后与^ADE

重合，且点C恰好成为AD中点，如图

(1)指出旋转中心，并求出旋转角的度数.

(2)求出NBAE的度数和AE的长.

E.

A~D

R

【分析】(1)先根据三角形内角和计算出NBAC=150。，然后利用旋转的定义可判

断旋转中心为点A,旋转角为150。；

(2)根据旋转的性质得到NDAE=NBAC=150。，AB=AD=4,AC=AE,利用周角定

义可得到ZBAE=60。，然后利用点C为AD中点得到AC=1AD=2,于是得至I」AE=2.

2

【解答】解:(1)在△ABC中，VZB+ZACB=30°,

AZBAC=150°,

当4ABC逆时针旋转一定角度后与aADE重合，

二旋转中心为点A,NBAD等于旋转角，即旋转角为150。；

(2):△ABC绕点A逆时针旋转150。后与4ADE重合，

/.ZDAE=ZBAC=150°,AB=AD=4,AC=AE,

.,.ZBAE=360°-150°-150°=60°,

•.•点C为AD中点，

.•.AC=1AD=2,

2

，AE=2.

【点评】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中

心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.

5.如图，△ABC是直角三角形，延长AB到点E,使BE=BC,在BC上取一点F,

使BF=AB,连接EF,4ABC旋转后能与4FBE重合，请回答：

(1)旋转中心是哪一点？

(2)旋转了多少度？

(3)AC与EF的关系如何?

c

【分析】(1)由条件易得BC和BE,BA和BF为对应边，而4ABC旋转后能与△

FBE重合，于是可判断旋转中心为点B；

(2)根据旋转的性质得NABF等于旋转角，从而得到旋转角度；

(3)根据旋转的性质即可判断AC=EF,AC±EF.

【解答】解:(1)VBC=BE,BA=BF,

BC和BE,BA和BF为对应边，

,/AABC旋转后能与AFBE重合，

...旋转中心为点B；

(2)VZABC=90°,

而AABC旋转后能与^FBE重合，

/.ZABF等于旋转角，

旋转了90度；

(3)AC=EF,AC±EF.理由如下：

•.'△ABC绕点B顺时针旋转90。后能与4FBE重合，

，EF=AC,EF与AC成90。的角，即AC_LEF.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转

中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.

6.阅读下面材料，并解决问题：

(1)如图①等边AABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,

5,求NAPB的度数.

为了解决本题，我们可以将4ABP绕顶点A旋转到AACP，处，此时aACP/Z\ABP,

这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从

而求出NAPB=150°；

(2)基本运用

请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题

已知如图②，Z\ABC中,ZCAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且NEAF=45。，

求证：EF2=BE2+FC2；

（3）能力提升

如图③，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,点0为RtZXABC内一点,

连接AO,BO,CO,且NAOC=NCOB=NBOA=120。，求OA+OB+OC的值.

【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全

等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

（2）把4ABE绕点A逆时针旋转90。得到△ACE，，根据旋转的性质可得AE，=AE,

CE，=CE,NCAE'=NBAE,NACE'=NB,NEAE'=90°,再求出NE'AF=45°,从而得

到NEAF=NE，AF,然后利用“边角边"证明^EAF和△E,AF全等，根据全等三角

形对应边相等可得ET=EF,再利用勾股定理列式即可得证.

（3）将AAOB绕点B顺时针旋转60。至△A9B处，连接00，，根据直角三角形

30。角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC,即A，B的长，再根据旋转的

性质求出△B00,是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得B0=00\

等边三角形三个角都是60。求出NBOO，=NBO9=60。，然后求出C、0、A\O'

四点共线，再利用勾股定理列式求出At,从而得到OA+OB+OC=A'C.

【解答】解：⑴VAACP^AABP,

，AP'=AP=3、CP'=BP=4、NAP'C=NAPB,

由题意知旋转角NPAPz=60°,

.,.△APP，为等边三角形，

PP'=AP=3,NAP'P=60°,

易证4PPt为直角三角形，且NPP，C=90。，

ZAPB=ZAP,C=ZAP'P+NPP'C=60°+90°=150°；

故答案为:150。；

(2)如图2,把aABE绕点A逆时针旋转90。得到△ACE，，

由旋转的性质得，AE'=AE,CE'=BE,NCAE'=NBAE,NACE'=NB,NEAE'=90°,

VZEAF=45°,

，NE'AF=/CAE'+NCAF=/BAE+NCAF=NBAC-ZEAF=90°-45°=45°,

/.ZEAF=ZEZAF,

在aEAF和△E,AF中，

AE=AEZ

<ZEAF=ZE?AF

,AF=AF

...△EAF/Z\E'AF(SAS),

.,.E'F=EF,

VZCAB=90°,AB=AC,

.•.ZB=ZACB=45°,

NE'CF=45°+45°=90°,

由勾股定理得，ET2=CE/2+FC2,

即EF2=BE2+FC2.

(3)如图3,WAAOB绕点B顺时针旋转60。至△ACTB处，连接00，,

AC=1,ZABC=30°,

BC=VAB2-AC2=V3,

VAAOB绕点B顺时针方向旋转60°,

...△A，O，B如图所示；

NA'BC=NABC+60°=30°+60°=90°,

VZC=90°,AC=1,ZABC=30°,

，AB=2AC=2,

,/AAOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△A9B

.•.A'B=AB=2,BO=B。'，A'O'=A。，

△BOO,是等边三角形，

BO=OO\ZBOO，=ZBO,O=60°,

,/ZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,

ZCOB+ZBOOZ=ZBO7V+ZB0,0=120°+60o=180°,

AC,0、A\0,四点共线，

在RgA'BC中，A，CWBC2+A'B2T的）2+22=77,

，0A+0B+0C=A'0'+00'+0C=A'C=V7.

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的

性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三

角形以及直角三角形是解题的关键.

7.将两块全等的三角板如图①摆放，其中NA1CB1=NACB=9O。，NAi=NA=30。.

(1)将图①中的aAiBiC顺时针旋转45。得图②，点Pi是AiC与AB的交点，点

Q是AiBi与BC的交点，求证：CPi=CQ；

(2)在图②中，若APi=2,则CQ等于多少？

【分析】（1）利用△AiCBigZXACB得到CAi=CA,再根据旋转的性质得NB】CB=

ZAiCA=45°,则NBCAi=45。，于是根据"ASA”判断△CQA1之4CPiA,所以CP】=CQ；

（2）过点Pi作P£_LAC于点P,如图②，先在RtaAPiP中根据含30度的直角

三角形三边的关系得到P1P=1AP1=1X2=1,然后在RtACPxP中利用等腰直角

22

三角形的性质得CP=PiP=l,CPi=«PPi=正，由（1）得CQ=CPI=M.

【解答】（1）证明：•••△AiCBig/\ACB,

,CAi=CA,

,/图①中的aAiBiC顺时针旋转45。得图②，

/.ZB1CB=ZA1CA=45",

/.ZBCAi=45°

在△CQAi和ACPiA中，

'/QCA/NPiCA

<CA]=CA,

ZAj=ZA

/.△CQAI^ACPIA,

，CPi=CQ；

(2)解：过点Pi作PiPLAC于点P,如图②,

在RtZ\APiP中，VZA=30°,

.*.P1P=1API=—X2=l,

22

在Rt^CPiP中，•.•NPiCP=45°,

，CP=PiP=l,

，CPi=&PPi=&,

.,.CQ=CPi=V2.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转

中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.旋转有三要素：

旋转中心；旋转方向；旋转角度.也考查了等腰直角三角形的性质.

8.如图1,点0为直线AB上一点，过点0作射线0C,使NAOC：ZB0C=2：1,

将一直角三角板的直角顶点放在点0处，一边ON在射线0A上，另一边0M

在直线AB的下方.

（1）将图1中的三角板绕点0按顺时针方向旋转至图2的位置，使得0M落在

射线0A上，此时ON旋转的角度为90。；

（2）继续将图2中的三角板绕点0按顺时针方向旋转至图3的位置，使得0M

在NBOC的内部，则NBON-ZCOM=30°；

（3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点。按

每秒钟15。的速度旋转，当0M恰为NBOC的平分线时，此时，三角板绕点0

的运动时间为16秒,简要说明理由.

【分析】（1）根据旋转的性质知，旋转角NMON=90。；

（2）分别求出NBON=90°-ZBOM,ZCOM=60°-NBOM,则NBON-ZCOM=90°

-ZBOM-60°+ZBOM=30°；

（3）易求NAOM+NAOC+NCOM，=240。，则三角板绕点。的运动时间为侬-16

15

（秒）.

【解答】解：（1）如图2,依题意知，旋转角是NMON,且NMON=90。.

故填：90；

(2)如图3,ZAOC：ZBOC=2：1,

.,.ZAOC=120°,ZBOC=60°,

VZBON=90°-ZBOM,ZCOM=600-ZBOM,

，ZBON-ZCOM=90°-ZBOM-60°+ZBOM=30°,

故填：30；

(3)16秒.理由如下：

如图4.•.•点0为直线AB上一点，ZAOC：ZB0C=2：1,

.•.ZAOC=120°,ZBOC=60°.

VOM恰为NBOC的平分线，

,NCOM'=30°.

NAOM+NAOC+NCOM'=240°.

•••三角板绕点。按每秒钟15。的速度旋转，

二三角板绕点。的运动时间为侬=16（秒）.

15

故填：16.

【点评】本题考查了旋转的性质，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各

个量之间的关系，并求出角的度数是解题的关键.

9.如图1,将一副三角板的直角重合放置，其中NA=30。，ZCDE=45°.

（1）如图1,求NEFB的度数；

（2）若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向

旋转.

①当旋转至如图2所示位置时，恰好CD〃AB,则NECB的度数为30。；

②若将三角板CDE继续绕点C旋转，直至回到图1位置.在这一过程中，是否

还会存在4CDE其中一边与AB平行？如果存在，请你画出示意图，并直接写

出相应的/ECB的大小；如果不存在，请说明理由.

【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即

可得解；

（2）①根据两直线平行，内错角相等可得NACD=NA,再根据同角的余角相等

可得NECB=NACD；

②分CE、DE、CD与AB平行分别作出图形，再根据平行线的性质求解即可.

【解答】解:（1）VZA=30°,ZCDE=45°,

ZABC=90°-30°=60°,ZE=90°-45°=45°,

，ZEFB=ZABC-ZE=60°-45°=15°；

（2）©VCD//AB,

/.ZACD=ZA=30o,

*/ZACD+ZACE=ZDCE=90°,

ZECB+ZACE=ZACB=90°,

.,.ZECB=ZACD=30°；

②如图1,CE〃AB,ZACE=ZA=30°,

ZECB=ZACB+ZACE=90o+30°=120°；

如图2,DE〃AB时，延长CD交AB于F,

贝l」NBFC=ND=45。，

在ABCF中,ZBCF=180°-ZB-ZBFC,

=180°-60°-45°=75°,

ECB=ZBCF+ZECF=75°+90o=165°；

如图3,CD〃AB时，ZBCD=ZB=60°,

ZECB=ZBCD+ZEDC=60°+90°=150°；

如图4,CE〃AB时，ZECB=ZB=60°,

如图5,DE〃AB时，ZECB=60°-45°=15°.

AA

【点评】本题考查了旋转的性质，三角板的知识，平行线的判定与性质，难点在

于（2）根据旋转角的逐渐增大分别作出图形.

10.取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC,将三角板ABC绕点A顺

时针方向旋转，旋转角度为a（CT<aW45。），得到△ABU.

①当a为多少度时，AB〃DC?

②当旋转到图③所示位置时，a为多少度？

③连接BD,当（T<aW45。时，探求NDBC+NCAU+NBDC值的大小变化情况,

并给出你的证明.

【分析】(1)若AB〃DC,则/BAC=NC=30°,得至【Ja=ZBAC,-ZBAC=45°-30°=15°；

(2)当旋转到图③所示位置时，a=45。，

(3)连接CC,CD与BC相交于0点，在aBD。和△OCC中，利用三角形内角

和定理得至UZBDO+ZDBO=ZOCC+ZOCC,即可求得/DBU+ZCAU+Z

BDC=105°,即得至Ij/DBU+NCAC+NBDC值的大小不变.

【解答】解：(1)如图②，

•.•AB〃DC,

AZBAC=ZC=30°,

，a=NBAC'-ZBAC=45°-30°=15°,

所以当a=15。时，AB//DC；

(2)当旋转到图③所示位置时，a=45°,

(3)当CTVaW45。时，NDBU+NCAC+NBDC值的大小不变.

证明：连接CU,CD与BU相交于。点，

在ABD。和△OCU中，ZBOD=ZCOC,

，ZBDO+ZDBO=ZOCC,+ZOC,C,

，ZDBC'+ZCAC'+ZBDC=ZBDO+Za+ZDBO=ZOCC+ZOUC+Za

=180°-ZACD-NAC'B,

=180°-45°-30°=105°,

.•.当(TVaW45。时，NDBC+NCAU+/BDC值的大小不变.

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心

的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.也考查了三角

形的内角和定理.

11.如图,4ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90。到△EBC,且NABD=90。,

（1）4ABD和AEBC是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角.

（2）若AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE的长吗？

（3）直线AD和直线CE有怎样的位置关系？请说明理由.

D

ARC

【分析】（1）由aABD绕着点B沿顺时针方向旋转90。得到△EBC,根据旋转的

性质得到aABD之△EBC,再根据三角形全等的性质即可得到对应边与对应角.

（2）由旋转的性质得到BD=BC,AB=EB,而AB=3cm,BC=5cm,得到BD=5cm,

BE=3cm,即可求出DE.

（3）由aABD绕着点B沿顺时针方向旋转90。到△EBC,根据旋转的性质即可得

到直线AD和直线CE成90度的角，即它们垂直.

【解答】解：（1）•.'△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90。得到△EBC,

.'.△ABD四△EBC,

...NBAD的对应角为NBEC,ND的对应角为NC,NABD的对应角为NEBC；AB

的对应边为EB,BD的对应边为BC,AD的对应边为EC.

(2)可求出DE=2cm.过程如下:

VAABD^AEBC,

；.BD=BC,AB=EB,

而AB=3cm,BC=5cm,

/.BD=5cm,BE=3cm,

DE=BD-BE=5-3=2(cm).

（3）VAABD绕着点B沿顺时针方向旋转90。到△EBC,

AAD也绕着点B沿顺时针方向旋转90。得到CE,

即直线AD和直线CE垂直.

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心

的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.

12.如图，△ABC中，ZB=10°,ZACB=20°,AB=4cm,三角形ABC按逆时针方

向旋转一定角度后与三角形ADE重合，且点C恰好成为AD的中点.

(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数；

(2)求出NBAE的度数和AE的长.

【分析】(1)根据旋转的性质可知对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应

点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，所以可求出：ZCAE=BAD=180°-ZB

-ZACB=150°,从而确定旋转中心和旋转角度；

(2)利用周角的定义可求出/BAE=360。-15(TX2=60。，全等的性质可知AE=1

2

AB=2cm.

【解答】解：(1)♦•.△ABC逆时针旋转一定角度后与4ADE重合，A为顶点，

二旋转中心是点A；

根据旋转的性质可知：ZCAE=ZBAD=180°-ZB-ZACB=150°,

，旋转角度是150°；

(2)由(1)可知:ZBAE=360°-150°X2=60°,

由旋转可知：△ABC^^ADE,

，AB=AD,AC=AE,又C为AD中点，

AC=AE」AB=LX4=2cm.

22

【点评】本题考查旋转的性质.旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以

及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.要注意旋转的三要素：

①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度.

13.如图所示，点P是等边^ABC内一点，PB=2,PC=1,ZBPC=150°,求PA的

长.

【分析