云南省楚雄州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学

楚雄州中小学2023—2024学年下学期期末教育学业质量监测高一年级数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，则（）A. B.C D.3.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则（）A B.C. D.4.某商品3〜5月份在甲、乙、丙、丁四个地区的销量如下图所示，则在这四个地区中该商品3〜5月份销量方差最小的为（）A.甲地区 B.乙地区 C.丙地区 D.丁地区5.已知，则（）A. B. C. D.6.已知，则（）A B. C. D.7.如图，为正三角形，与是三个全等的三角形，若，则的面积为（）A.2 B.4 C. D.8.已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数满足，则（）A.的虚部为2 B.C. D.为纯虚数10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.在上单调递减C.直线是图象的一条对称轴D.在上的取值范围为11.如图，已知正方体的棱长为是棱的中点，则（）A.向量在方向上投影向量为B.异面直线与所成角的余弦值为C.三棱锥外接球的表面积为D.直线与平面所成角的正弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若实数满足，则的最大值为___________．13.已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________，该正四棱台的体积为___________．14.已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量满足．（1）若，求的值；（2）若，求向量与夹角的大小．16.在中，角的对边分别是．已知．（1）求角的大小；（2）若，求的值；（3）若为的中点，求的长．17.某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g）进行统计，并将样本数据分为六组，得到如下频率分布直方图．（1）试估计样本数据的分位数；（2）从样本数据在内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在内的概率；（3）若规定质量在内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．18.某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工（1）若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜利润y（单位：元）关于当天青菜需求量x（单位：公斤）的函数解析式（2）该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表．日需求量x770780790800820830频数51020352010（ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数；（ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率．19.在四棱锥中，平面，平面平面分别为的中点．（1）证明：平面．（2）证明：．（3）若二面角的正切值为，求三棱锥的体积．楚雄州中小学2023—2024学年下学期期末教育学业质量监测高一年级数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据其几何意义确定所在象限即可.【详解】在复平面内对应的点在第四象限,故选：D.2.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求得集合，结合集合交集的定义运算，即可求解.【详解】依题意得，则，故选：A．3.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的变换规则判断即可.【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到．故选：B4.某商品3〜5月份在甲、乙、丙、丁四个地区的销量如下图所示，则在这四个地区中该商品3〜5月份销量方差最小的为（）A.甲地区 B.乙地区 C.丙地区 D.丁地区【答案】D【解析】【分析】根据题意，由方差的计算公式代入计算，即可得到结果.【详解】由图可得，丁地区销量最稳定，所以丁地区销量的方差最小．故选：D5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性比较大小.【详解】因为在上单调递增，且，所以，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，因在上单调递减，且，所以，所以，即，所以.故选：A6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据两角和与差的余弦公式以及二倍角公式即可求解.【详解】由，得，则，即．故选：C.7.如图，为正三角形，与是三个全等的三角形，若，则的面积为（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件推理得到正三角形，根据线段比例关系，设出，求得,利用余弦定理求得的值，即可计算得到.【详解】因与是三个全等的三角形，则得,即得,故．又设，则.由余弦定理得，解得1，则，所以的面积为．故选：D.8.已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】代入点坐标求得的值，分别判断函数的单调性和奇偶性，将恒等变换为，最后利用函数单调性即可求解.详解】由题意知，解得，所以，即，易得在上单调递增．因为，所以为奇函数．又，故等价于，则，解得.故选：B【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的单调性和奇偶性在求解抽象不等式中的应用，属于难题.解题关键在于对抽象不等式的处理，其一，要利用函数解析式将化成，其二，利用奇偶性处理负号，其三，根据单调性去掉函数符号.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数满足，则（）A.的虚部为2 B.C. D.为纯虚数【答案】ACD【解析】【详解】先求出，借助于相关概念即可判断各选项.根据题意可得，对于A，显然的虚部为2，故A正确；对于B，由可得，，故B错误；对于C，因则，故C正确；对于D，为纯虚数，故D正确．故选：ACD.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.在上单调递减C.直线是图象的一条对称轴D.在上取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】根据图象求出、、可判断A；求出范围，根据正弦函数单调性可判断B；求出可判断C；求出的范围可得的范围可得答案.【详解】对于A，由图可得的最小正周期为，则，解得，将代人中，得，则，解得．因为，所以，则，故A错误．对于B，由，得，因为，所以在上单调递减，故B正确．对于C，因为，所以直线是图象的一条对称轴，故C正确．对于D,由，得，所以，，所以的取值范围为，故D正确．故选：BCD.11.如图，已知正方体的棱长为是棱的中点，则（）A.向量在方向上的投影向量为B.异面直线与所成角的余弦值为C.三棱锥外接球的表面积为D.直线与平面所成角的正弦值为【答案】AD【解析】【分析】利用投影向量可判断A，连接，易得即为异面直线与所成的角，即可求出B，三棱锥的外接球即为正方体的外接球即可求出C，连接，可得即是直线与平面所成的角，即可求解.【详解】对A，因为是棱的中点，所以向量在方向上的投影向量为，A正确；对B，连接，由正方体的性质可知，，由等角定理易得即为异面直线与所成的角，易得，所以，B错误；对C，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，易得外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，C错误；对D，连接，因为几何体为正方体，体对角线垂直于没有公共点的面对角线，可得，由线面垂直的判定定理可得平面，设直线与平面所成的角为，则，D正确．故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若实数满足，则的最大值为___________．【答案】20【解析】【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】根据题意可得，得，当且仅当或时，等号成立，故的最大值为20．故答案为：13.已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________，该正四棱台的体积为___________．【答案】①.4②.##【解析】【分析】利用勾股定理求出下底面的边长，利用棱台的体积公式计算可得体积.【详解】设该正四棱台下底面的边长为，则，解得，故该正四棱台的体积为．故答案为：①4；②.14.已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】化简得到，求得的范围后，根据零点个数可构造不等式组求得结果.【详解】由题意可得．由，得．因为在上恰有2个零点，所以，解得．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量满足．（1）若，求的值；（2）若，求向量与夹角的大小．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示求参；（2）先根据垂直结合向量的模长求出，最后根据夹角公式计算即可.【小问1详解】根据题意可得，解得．【小问2详解】由，得．因为，所以，所以，所以，又，所以．16.在中，角的对边分别是．已知．（1）求角的大小；（2）若，求的值；（3）若为的中点，求的长．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由条件根据正弦定理和余弦定理化简，从而可得出答案；（2）根据正弦定理即可求解；（3）由向量可得，由向量求模公式即可求解.【小问1详解】由，得，即，所以，因为，所以．【小问2详解】根据正弦定理，可得．【小问3详解】由题意可得，则．17.某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g）进行统计，并将样本数据分为六组，得到如下频率分布直方图．（1）试估计样本数据的分位数；（2）从样本数据在内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在内的概率；（3）若规定质量在内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．【答案】（1）73.75g（2）（3）0.1164【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图估计样本数据的分位数.（2）求出5件产品中两个指定区间内的产品数，再利用列举法求出古典概率.（3）求出优等品率，再利用对立事件的概率公式计算即得.【小问1详解】由频率分布直方图知，样本数据在的频率为，在的频率为，则样本数据的分位数，于是，解得，所以样本数据的分位数约为73.75g.【小问2详解】样本数据在内的产品被抽取的件数为，记为，样本数据在内的产品被抽取的件数为，记为则从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品的情况有：，共10种，其中标准样例中恰有1件产品的质量在内的情况有6种．所以标准样例中恰有1件产品的质量在内的概率为．【小问3详解】依题意，从该生产线上随机抽取1件产品，该件产品为优等品的概率为，则抽取到的产品中至少有1件优等品的概率为．18.某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工（1）若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y（单位：元）关于当天青菜需求量x（单位：公斤）的函数解析式（2）该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表．日需求量x770780790800820830频数51020352010（ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数；（ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率．【答案】（1）（2）（ⅰ）789元；（ⅱ）0.85【解析】【分析】（1）由题意可知需要对进行分类讨论，很容易得到函数解析式；（2）（ⅰ）根据分层计算出不同日需求量的利润即可求解；（ⅱ）以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率即可求解.【小问1详解】当时，；当时，．故关于的函数解析式为【小问2详解】（i）这100天有