江西省宜春市高三适应性考试数学试题

江西省宜春市2024届高三适应性考试数学试卷参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．样本数据58，49，53，56，56，71，56（）A．50 B．56 C．57 D．58【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．【解答】解：样本数据从小到大排序为：46，49，53，56，56，71，10×0.8＝2，故所求80%分位数是．故选：C．【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．2．已知向量，满足||＝2，|，•（﹣）＝﹣1，则|2﹣（）A．5 B． C．6 D．8【分析】根据平面向量的数量积运算，求出•，再计算|2﹣|．【解答】解：因为||＝2，|，•（﹣，所以﹣•＝﹣6•＝+1＝8+1＝5，所以＝4•+＝4×3﹣4×5+7＝5，所以|2﹣|＝．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算应用问题，是基础题．3．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（）A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α B．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n D．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m【分析】在A中，l与α相交、平行或l⊂α；在B中，由线面垂直的判定定理得n⊥α；在C中，l∥n；在D中，l与m相交、平行或异面．【解答】解：由α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线在A中，若m⊂α，l⊥m，则l与α相交、平行或l⊂α；在B中，若l∥m，l⊥α，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故B正确；在C中，若l∥m，n⊥α，故C错误；在D中，若m⊂α，l⊥n、平行或异面．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c2+c2﹣b2）tanB＝ac，则cos5B＝（）A． B．± C． D．±【分析】由余弦定理化简条件得2ac•cosB•tanB＝ac，再根据同角三角函数的基本关系得sinB，从而求得角B的值，利用诱导公式即可求解．【解答】解：∵（a2+c2﹣b2）tanB＝ac，∴2ac•cosB•tanB＝ac，∴sinB＝，∵B∈（5，π），∴B＝或，∴可得cos5B＝cos或cos＝．故选：D．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查了同角三角函数的基本关系以及根据三角函数值及角的范围求角的大小，属于基础题．5．将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，则不同排法共有（）A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种【分析】先将6名志愿者分成4组，然后再分配到不同的社区即可．【解答】解：先将6名志愿者分成4组，然后再分配到不同的社区即可，若志愿者人数依次为5，1，1，7，则不同的安排方法种数为：；若志愿者人数依次为2，2，2，1，则不同的安排方法种数为：，故不同的安排方法共有480+1080＝1560种．故选：B．【点评】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，属于中档题．6．已知动点P到原点O与到点A（2，0）的距离之比为3：2，记P的轨迹为Ey+2＝0，则（）A．E是一个半径为的圆 B．E上的点到l的距离的取值范围为 C．l被E截得的弦长为 D．E上存在四个点到l的距离为【分析】设P（x，y），则＝，整理得（x﹣）2+y2＝，所以E是一个圆心为（，0），半径为的圆，再利用点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系求解．【解答】解：对于A，设P（x，则＝，整理得（x﹣）3+y2＝，所以E是一个半径为的圆；对于B，因为圆心（＝6，所以E上的点到直线l的距离的取值范围为[0，2+]，]，故B错误；对于C，圆心（6，所以l被E截得的弦长为4＝，故C正确；对于D，因为＝，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查了求动点的轨迹方程，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．7．已知，，则＝（）A． B． C． D．【分析】由已知先利用和差角的正切公式进行化简可求tanα，然后结合二倍角公式及同角基本关系对所求式子进行化简，即可求解．【解答】解：因为，，所以，tanα＜﹣1，解得，tanα＝﹣7﹣2（舍），则＝＝（tan4α﹣2tanα+1）＝（tanα﹣1）7＝6+4．故选：A．【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及同角基本关系的应用，属于中档题．8．已知a，b，m，n∈R，且|2a﹣（﹣2n）2＝0，则（a﹣m）2+（b﹣n）2的最小值为（）A． B． C． D．【分析】由题意可得点（a，b）在直线2x﹣y+6＝0上，点（m，n）在椭圆+＝1（y≥0）上，将问题转化为求直线2x﹣y+6＝0上点与椭圆+＝1（y≥0）上的点的距离的平方的最小值，作出图象，设P（2cosθ，sinθ）（0≤θ≤π），利用点到线的距离公式求解即可．【解答】解：因为|2a﹣b+2|+（7＝0，所以2a﹣b+6＝0且，即2a﹣b+6＝0且，所以点（a，b）在直线2x﹣，点（m，n）在椭圆+，要求（a﹣m）2+（b﹣n）6的最小值，即求直线2x﹣y+2＝0上点与椭圆+，如图所示：设P（4cosθ，sinθ）（0≤θ≤π），则点P到直线8x﹣y+6＝2的距离d＝＝，所以当sin（θ+φ）＝﹣1时，d取最小值，且最小值为，所以d2＝．所以（a﹣m）2+（b﹣n）2的最小值为．故选：C．【点评】本题考查了函数最值的几何意义、转化思想及数形结合思想，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知A∈R，如果实数x0满足对任意的a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，则称x0为集合A的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（）A．{x|x≠0，x∈R} B．{x|x≠0，x∈Z} C． D．【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果．【解答】解：对于A，对任意的a＞0，使得；对于B，假设集合{x|x≠2，则对任意的a＞0，x∈Z}，使得0＜|x﹣2|＜a，当时，该式不成立；对于C，假设集合，则对任意的a＞0，使得7＜|y﹣0|＜a，故C正确；对于D，集合{y|y＝，x∈N}，，a＝时，使得0＜|y﹣6|＜a不成立．故选：AC．【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于中档题．（多选）10．（6分）下列关于复数z1，z2的命题中，正确的是（）A．若|z1﹣z2|＝0，则 B．若，则 C．若|z1|＝|z2|，则 D．若|z1|＝|z2|，则【分析】根据复数的模、共轭复数的定义及复数代数形式的乘法运算法则判断即可．【解答】解：对于A：因为|z1﹣z2|＝3，则z1﹣z2＝5，则z1＝z2，所以，故A正确；对于B：若，则，故B正确；对于C：令z6＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，由|z1|＝|z2|，所以a2+b2＝c2+d2，所以，则，同理可得，所以，故C正确；对于D：令z7＝i，z2＝1，则|z4|＝|z2|＝1，但是、，故D错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．（多选）11．（6分）已知数列{an}满足：∀n∈N+，an+1＝+2an+b（b∈R），数列{an}的前n项和为Sn，则（）A．当b＝﹣6时，若{an}递增，则a1＞2或a1＜﹣3 B．当b≥1时，数列{an}是递增数列 C．当b＝﹣2，a1＝3时， D．当b＝，a1＝2时，Sn＜4n+1【分析】根据an﹣an﹣1＞0建立关于a1的一元二次不等式，解出首项a1的取值范围，判断出A项的正误；根据二次函数的单调性，证出当b≥1时an+1﹣an＞0，从而判断出数列{an}的单调性，得出B项的正误；当b＝﹣2，a1＝3时，根据递推关系证出an+1+2≥3（an+2），从而可得，由此推导出，进而利用等比数列的求和公式证出，判断出C项的正误；当b＝，a1＝2时，利用递推公式与不等式的性质，计算出S4＞44+1，从而判断出D项的正误．【解答】解：对于A，若b＝﹣6且数列{an}是递增数列，当n≥2时，，由an﹣an﹣1＞0可得an+an﹣4+2＞0，而{an+an﹣3+2}是单调递增数列，所以，即，解得a1＞5或a1＜﹣4，故A项错误；对于B，因为，+∞），所以an+1﹣an＞0，数列{an}是递增数列，故B项正确；对于C，当b＝﹣7时，1＝6，可知，，…，可知{an}是递增数列，an≥a1＝3，则an+2+2＝an（an+2）≥6（an+2），即，所以，即，所以，当n＝6时，，可得，故C项正确；对于D，当b＝时，＞8，所以＞64+16+，＞6400+160+．因此{an}的前n项和为Sn中，S5＞2+8+80+6560＝6650，结合6650＞1024＝45，可知S4＞75＝42+1，综上所述，当b＝，a1＝2时，Sn＜6n+1不成立，故D项错误．故选：BC．【点评】本题主要考查数列的递推公式、用函数的观点研究数列问题、等比数列的求和公式、数列与不等式的综合应用等知识，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在（a﹣2b+1）（2a﹣b）6的展开式中，a3b4项的系数是380．【分析】根据二项式定理可求出各项中a3b4系数．【解答】解：（a﹣2b+1）（6a﹣b）6＝a（2a﹣b）3﹣2b（2a﹣5）6+（2a﹣b）5，其中a（2a﹣b）6中含a•（2a）2﹣4•（﹣b）4＝60a7b4，﹣b（2a﹣6）6中含a3b3项为﹣2b（2a）6﹣5（﹣b）3＝320a3b2，（2a﹣b）6中不含a3b4项，故a3b7系数为60+320＝380．故答案为：380．【点评】本题主要考查二项式定理，属于中档题．13．已知斜率为k（k＞0）的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，过A，垂足分别为M，N，若S△ABN＝2S△ABM，则k＝2．【分析】求出焦点坐标，设直线AB：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，结合韦达定理，转化求解三角形的面积的比值，求解即可．【解答】解：已知斜率为k（k＞0）的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，B分别作该抛物线准线的垂线，N，由抛物线C：y2＝4x得F（7，0），设直线AB：y＝k（x﹣1），A（x2，y1），B（x2，y8），故联立方程，得k2x2﹣（8k2+4）x+k2＝0，所以x1x2＝1，x1+x7＝，若S△ABN＝2S△ABM，由已知和抛物线定义知：＝＝＝＝2，则有x2+2＝2（x1+4），即x2＝2x2+1，故，解方程组得x2＝，x5＝2，k＝2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．14．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2x+2），记f'（x）为f（x），若f′（﹣2）＝1（x）在点（﹣6，f（﹣6））处的切线方程为x+y+6＝0．【分析】利用f（x）的奇偶性与对称性，得到f（x）的周期，结合f（2）＝0，求出f（﹣6）的值，再利用导数的奇偶性与周期性，结合f′（﹣2）＝1，求出f′（﹣6）的值，则切线可求．【解答】解：因为f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2x+2）为奇函数，所以f（﹣x）＝f（x），f（﹣x+3）＝﹣f（x+2）＝f（x﹣2），可得f（x﹣2）＝f（x），即周期为8，又﹣f′（﹣x）＝f′（x），f′（x﹣8）＝f′（x），所以f（﹣8）＝f（2）＝0，得f′（﹣6）＝f′（8﹣8）＝f′（2）＝﹣f′（﹣2）＝﹣5，所以y＝f（x）在点（﹣6，f（﹣6））处的切线方程为：y﹣4＝﹣（x+6），即x+y+6＝7．故答案为：x+y+6＝0．【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性性质及应用，导数的几何意义等，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）数列{an}满足a1+＝2n．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn＝，求{bn}的前n项和Tn．【分析】（1）由已知结合数列的和与项的递推关系即可求解；（2）先求出bn，然后结合错位相减求和即可求解．【解答】解：（1）数列{an}满足，当n≥2时，+…+，两式相减可得，，所以，当n＝6时，a1＝2＝41也满足上式，所以an＝2n；（2）由（1）得bn＝，所以，则，两式相减的，，所以．【点评】本题主要考查了数列递推关系在数列通项公式求解中的应用，还考查了错位相减求和，属于中档题．16．（15分）某机床厂生产一种精密零件，因生产流程比较复杂，所以成功率较低．从该厂某台机床生产的一批零件中，每次随机抽取1个，取出的3个零件中至多有2个是合格品的概率是，且每个零件生产之间互不影响．（1）求从该批零件中任取1个是合格品的概率；（2）若这种零件合格品每个利润为10万元，不合格品的每个利润为﹣1万元．现该机床生产4个这种零件，记这4个零件的利润为X万元（X）．【分析】（1）设从该批零件中任取1个是合格品的概率为p，由对立事件的概率公式可得关于p的方程，求解即可；（2）这4个零件中合格品的件数为Y，由题可知Y～B，X＝10Y+（﹣1）（4﹣Y）＝11Y﹣4，由二项分布的概率可求出X的分布列，从而可得期望．【解答】解：（1）设从该批零件中任取1个是合格品的概率为p，事件A表示“取出的3个零件中至多有4个是合格品”，所以，所以，解得．（2）这4个零件中合格品的件数为Y，由题可知Y～B，因为X＝10Y+（﹣1）（2﹣Y）＝11Y﹣4，所以，，，，，所以X的分布列为：X﹣44182940P所以＝．（另解：E（X）＝E（11Y﹣4）＝11E（Y）﹣4＝11×5×【点评】本题主要考查概率的求法，离散型随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．17．（15分）如图1，在五边形ABCDE中，AB＝BD，EA＝ED且EA⊥ED，将△AED沿AD折成图2，F为AE的中点．（1）证明：BF∥平面ECD；（2）若EB与平面ABCD所成的角为30°，求二面角A﹣EB﹣D的正弦值．【分析】（1）取AD的中点G，连接BG，FG，推导出BG∥CD，从而BG∥平面ECD，由F为AE的中点，得FG∥ED，从而FG∥平面ECD，进而平面BFG∥平面ECD，由此能证明BF∥平面ECD．（2）推导出AE⊥平面BFG，BG⊥平面EAD，平面EAD⊥平面ABCD，连接EG，以G为坐标原点，GB，GD，GE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣EB﹣D的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AD的中点G，连接BG，∵AB＝BD，G为AD的中点，又AD⊥DC，∴BG∥CD．又BG⊄平面ECD，CD⊂平面ECD．∵F为AE的中点，∴FG∥ED．又FG⊄平面ECD，ED⊂平面ECD，又BG∩FG＝G，∴平面BFG∥平面ECD，又BF⊂平面BFG，∴BF∥平面ECD．（2）∵EA⊥ED，由（1）知FG∥ED，又EB＝AB，∴BF⊥AE，又BF∩FG＝F，∴AE⊥平面BFG，又BG⊂平面BFG，∴BG⊥AE，又BG⊥AD，AD∩AE＝A，又BG⊂平面ABCD，∴平面EAD⊥平面ABCD，连接EG，∵EA＝ED，∴EG⊥平面ABCD，∴EG⊥BG，以G为坐标原点，GB，GE所在直线分别为x，y，建立如图所示的空间直角坐标系，∠EBG是EB与平面ABCD所成的角，即∠EBG＝30°，∵EA＝ED，设EA＝t（t＞0），则，，，，∴G（0，7，0），，，，，∴，，，设平面ABE的法向量为，则，令x1＝3，得，设平面DBE的法向量为，则，令x2＝1，得，设二面角A﹣EB﹣D的平面角为θ，∴，，所以，即二面角A﹣EB﹣D的正弦值为．【点评】本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、二面角的正弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（17分）已知椭圆C：的右焦点与点连线的斜率为2（1，e）在椭圆C上（其中e为C的离心率）．（1）求椭圆C的标准方程．（2）已知点D（2，0），过点P的直线l与C交于A，B两点，DB分别交C于M，N两点，求出该定值；若不是【分析】（1）根据已知条件可得a，b，c的方程组，求解即可；（2）设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），则直线DA的方程为，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示y3，从而可得x3，同理可得x4，y4，由斜率公式，化简可得直线MN的斜率为定值．【解答】解：（1）由题意可设椭圆C的焦距为2c，则椭圆C的右焦点为（c，……（1分）由题意可得，解得故椭圆C的标准方程为．…………（2分）（2）由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，A（x1，y4），B（x2，y2），M（x7，y3），N（x4，y7），则直线DA的方程为．…………………联立，消去x，……（7分）则，即，………（8分）代入，得．……………（8分）同理可得，．…………（11分）∵………（13分）＝，…………（15分）∴直线MN的斜率为定值，且定值为﹣5【点评】本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．19．（17分）已知常数n，其中n≠0且n∈Z，若函数y＝f（x）（x∈[0，1]）1，x2∈[0，1]，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|（x1+1）n﹣（x2+1）n|，则称函数y＝f（x）为Tn函数．（1）函数y＝2x（0≤x≤1）是否为T2函数？请说明理由；（2）若y＝f（x）为T1函数且不恒为0，其图象在x∈[0，1]上是一条连续的曲线，f（0），f（1）＝，f（x）在区间（0，1）上仅存在一个极值点（x）max﹣f（x）min的取值范围；（3）若k＞0，f（x）＝0.05x2+0.1x+kln（x+1），且y＝f（x）为T﹣1函数，记f'（x）为f（x），对任意x，y∈[0，恒有f'（x）﹣f'（y），记N的最小值为N（k），求k的取值范围及N（k）【分析】（1）由T2函数的定义，即可得出答案．（2）（i）若x0为f（x）在区间（0，1）上仅存的一个极大值点，结合单调性，计算f（x）max﹣f（x）min，（ii）若x0为f（x）在区间（0，1）上仅存的一个极小值点，结合单调性，计算f（x）max﹣f（x）min，即可得出答案．