第十一章三角形章节复习（教学设计）2022-2023学年八年级数学上册（人教版）

第十一章三角形章节复习教学设计一、教学目标：1.梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识.2.结合图形回顾本章知识点，复习几种基本的画图，复习简单的证明技巧，在此基础上进行典型题、热点题的较大量的训练，旨在提高同学们对三角形有关知识、多边形内角和、外角和知识综合运用能力.3.通过初步的几何证明的学习培养学生的推理能力，通过由特殊到一般的探究过程的训练培养学生的探索能力，创新能力，以达到培养学生良好学习习惯的目的.二、教学重点、难点：重点：三角形的三条重要线段、三角形的内角和、外角和、多边形的内角和、外角和等知识的灵活运用.难点：简单的几何证明及几何知识的简单应用.三、教学过程：知识网络知识梳理1.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.线段AB，BC，CA是三角形的边.点A，B，C是三角形的顶点.∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.

顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”.

△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示.顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.2.三角形的分类：3.三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.已知三角形的两边a、b（a＞b），则第三边的范围“ab＜第三边＜a+b”4.三角形的高、中线与角平分线：

高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线相交于一点，如图.中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于一点（重心），如图.三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段.三条角平分线相交于一点，如图.5.三角形的内角和与外角：(1)三角形的内角和等于180°；

(2)直角三角形的两个锐角互余；

(3)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形；(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

(5)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.6.多边形及其内角和：(1)在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.正多边形是各个角都相等，各条边都相等的多边形.

(2)从n边形的一个顶点出发，能引出(n﹣3)条对角线；(3)经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(n﹣2)个三角形；(4)n边形一共有n(n(5)n边形内角和等于(n－2)×180°(n≥3的整数)

(6)n边形的外角和等于360°

(7)正多边形的每个内角的度数是或

(8)正多边形的每个外角的度数是考点解析考点一：三角形的三边关系例1.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2+b2=6a+10b﹣34，其中c是△ABC中最长的边长，且c为整数，求c的值．解：∵a2+b2=6a+10b﹣34，∴a2﹣6a+9+b2﹣10b+25=0，∴（a﹣3）2+（b﹣5）2=0，∴a=3，b=5，∴5﹣3＜c＜5+3，即2＜c＜8．又∵c是△ABC中最长的边长，

∴c=5、6、7.例2.已知a,b,c是△ABC的三边长．（1）若a，b，c满足,(ab)2+b-c=0,（2）化简：b-c-a解：（1）∵(ab)2+|𝑏−𝑐|=0，∴(ab)2=0且|𝑏−𝑐|=0，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，∴bca<0,ab+c>0,abc<0，原式=(bca)+ab+c[(abc)]=a+cb+ab+cbc+a=3a3b+c.例3.已知a，b，c分别为△ABC三边的长，且满足a＋b＝3c－2，a－b＝2c－6.(1)求c的取值范围；(2)若△ABC的周长为18，求c的值．(1)解：∵a，b，c分别为△ABC三边的长，a＋b＝3c－2，a－b＝2c－6，∴解得2＜c＜6.(2)∵△ABC的周长为18，a＋b＝3c－2，∴a＋b＋c＝4c－2＝18.解得c＝5.【迁移应用】【11】下列长度的三条线段能组成三角形的是（

）A．3cm、3cm、6cm B．3cm、5cm、7cmC．2cm、4cm、6cm D．2cm、9cm、6cm答案：B【12】已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则化简|a－3|－|a－7|的结果为___________.答案：2a－10【13】已知a，b，c是的三边长，a、b满足，且的周长为偶数，则边长c的值为多少？解：∵a，b满足|a−7|＋（b−2）2＝0，∴a−7＝0，b−2＝0，解得a＝7，b＝2，根据三角形的三边关系，得7−2＜c＜7＋2，即：5＜c＜9，又∵三角形的周长为偶数，a＋b＝9，∴c＝7．考点二：三角形中的重要线段例4.如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠C=60°,AD⊥BC于D,AE是∠BAC的平分线.(1)求∠DAE的度数;(2)指出AD是哪几个三角形的高.解:(1)AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°∵∠ABC=40°,∠C=60°,∴∠BAD=50,∠CAD=30°∴∠BAC=50°+30°=80°∵AE是∠BAC的平分线,∴∠BAE=40°.∴∠DAE=∠BAD∠BAE=50°40°=10°.(2)AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC的高.例5.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,△ABD的周长比△ADC的周长多2,且AB与AC的和为10.(1)求AB、AC的长;(2)求BC边的取值范围.解:(1)∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD.∵△ABD的周长△ADC的周长=(AB+AD+BD)(AC+AD+CD)=ABAC=2,即AB—AC=2①.又AB+AC=10②,①+②得2AB=12,解得AB=6.∴AC=4.(2)∵AB=6,AC=4,∴2＜BC＜10.例6.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.解：∵点D是AC的中点，∴AD＝12A∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝12S△ABC＝12×12∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝13S△ABC＝13×12∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.【点睛】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．【迁移应用】【21】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，图中可以作为△ACD的高的线段有()A．0条B．1条C．2条D．3条【22】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是()A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线C．∠1＝∠2＝∠3D．S△AEB＝S△EDB【23】如图，在△ABC中，点D是BC上的一点，DC＝2BD，点E是AC的中点，S△ABC＝20cm2，则S△ADE＝_____cm2.答案：【21】C；【22】C；【23】203考点三：有关三角形内、外角的计算例7.如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA．求证：∠EAC＝∠B；(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝12∠BAC∵∠EDA＝∠B＋∠BAD，∠EAD＝∠CAD＋∠EAC，∠EDA＝∠EAD，∴∠EAC＝∠B．（2）解：由(1)可知∠EAC＝∠B＝50°.设∠CAD＝x，则∠E＝3x，∠EAD＝∠ADE＝x＋50°，∴50°＋x＋50°＋x＋3x＝180°.∴x＝16°.∴∠E＝3x＝48°.例8.如图，在△ABC中，三条内角平分线AD，BE，CF相交于点O，OG⊥BC于点G.(1)若∠ABC＝40°，∠BAC＝60°，求∠BOD和∠COG的度数；解：∠BOD＝∠OAB＋∠OBA＝12∠BAC＋12∠ABC＝∠COG＝90°－∠OCG＝90°－12

(180°－∠ABC－∠＝90°－40°＝50°.解：∠BOD＝∠COG.理由如下：∵∠BOD＝∠OAB＋∠OBA＝12∠BAC＋12∠ABC＝12

(180°＝90°－12∠ACB∠COG＝90°－∠OCG＝90°－12∠ACB∴∠BOD＝∠COG.【迁移应用】【31】如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为()A．65°B．70°C．75°D．85°答案：B【32】一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为()A．∠α＋∠β＝180°B．∠α＋∠β＝225°C．∠α＋∠β＝270°D．∠α＝∠β答案：B【33】如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是_______.答案：50°【34】一个锐角三角形，所有内角的度数均为正整数，且最小角是最大角的15，则这个锐角三角形三个内角的度数为___________________.答案：17°、78°、85°考点4：多边形的内角和与外角和例9.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．解：∵∠A＋∠D＋∠F＝180°，∠B＋∠C＋∠E＋∠G＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝180°＋360°＝540°.例10.一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为1980°的新多边形，求原多边形的边数．解：设新的多边形的边数为n，∵新的多边形的内角和是1980°，∴180°×（n﹣2）＝1980°，解得：n＝13，∵一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形是十三边形，①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为12，②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为13，③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为14，∴原多边形的边数可能是：12或13或14．例11.如图,小明从A点出发,沿直线前进8米后向左转45°,再沿直线前进8米,又向左转45°……照这样走下去,他第一次回到出发点A时,共走路程为(C)A.80米B.96米C.64米D.48米【迁移应用】【41】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是_______________________________．答案：十七边形或十八边形或十九边形【42】一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是()A．8B．9C．10D．11答案：D【43】如图，已知正五边形ABCDE,BG平分∠ABC,DG平分正五边形的外角∠EDF,则∠G=()A.36°B.54°C.60°D.72°答案：B考点六：本章中的思想方法：1.方程思想：例13.如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，△BDE是等边三角形，求∠C的度数.解：设∠C=x°，则∠ABC=x°

∵△BDE是等边三角形

∴∠ABE=60°

∴∠EBC=x°60°

∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°

在△BCE中，根据三角形内角和定理

得90+x+x60=180，解得x=75

∴∠C=75°【点睛】在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.【迁移应用】如图，△ABC中，BD平分∠ABC,∠1=∠2,∠3=∠C,求∠1的度数.解：设∠1=x,根据题意得∠2=x.因为∠3=∠1+∠2，∠4=∠2，所以∠3=2x,∠4=x，又因为∠3=∠C，所以∠C=2x.在△ABC中，根据三角形内角和定理，得x+2x+2x=180°,解得x=36°,所以∠1=36°.2.分类讨论思想：例13.已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是________．【解析】由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.【点睛】别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要