2024-2025学年新教材高中数学第15章概率15.3.1互斥事件的概率课时素养评价含解析苏教版必修第二册

PAGE课时素养评价四十六互斥事务的概率(20分钟35分)1.从一箱产品中随机地抽取一件,设事务A={抽到一等品},事务B={抽到二等品},事务C={抽到三等品},且已知P(A)=0.7,P(B)=0.2,P(C)=0.1.则事务“抽到的不是一等品”的概率为 ()A.0.7 B.0.2 C.0.1 【解析】选D.因为抽到的不是一等品的对立事务是抽到一等品,事务A={抽到一等品},P(A)=0.7,所以抽到不是一等品的概率是1-0.7=0.3.2.从四双不同的鞋中随意取出4只,事务“4只全部不成对”与事务“至少有2只成对” ()A.是对立事务 B.不是互斥事务C.是互斥但不对立事务 D.都是不行能事务【解析】选A.从4双不同的鞋中随意取出4只,可能的结果为:“恰有2只成对”“4只全部成对”“4只都不成对”,故事务“4只全部成对”的对立事务为“恰有2只成对”+“4只都不成对”=“至少有两只成对”.所以事务“4只全部不成对”与事务“至少有2只成对”是对立事务.3.某人在打靶时,连续射击2次,事务“至少有1次不中靶”的对立事务是________.

【解析】因为“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”,所以其对立事务是“2次都中靶”.答案:2次都中靶4.从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,则下列结论不正确的是________.①A与C互斥;②B与C互斥;③任何两个均互斥;④任何两个均不互斥.

【解析】在①中,A与C能同时发生,所以A与C不是互斥事务,故①错误;在②中,B与C不能同时发生,B与C互斥,故②正确;在③中,A与C不是互斥事务,故③错误;在④中,B与C互斥,故④错误.答案:①③④5.事务A,B互斥,它们都不发生的概率为QUOTE,且P(A)=2P(B),则P(QUOTE)=________,P(QUOTE)=________.

【解析】由题意得P(A)+P(B)=1-QUOTE=QUOTE,因为P(A)=2P(B),所以P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,所以P(QUOTE)=1-P(A)=QUOTE,P(QUOTE)=1-P(B)=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE6.经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下:排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?【解析】记“无人排队等候”为事务A,“1人排队等候”为事务B,“2人排队等候”为事务C,“3人排队等候”为事务D,“4人排队等候”为事务E,“5人及5人以上排队等候”为事务F,则事务A,B,C,D,E,F互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事务G,则G=A∪B∪C.所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)方法一:记“至少3人排队等候”为事务H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.方法二:记“至少3人排队等候”为事务H,则其对立事务为事务G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.抛掷一枚骰子1次,记“向上一面的点数是4,5,6”为事务A,“向上一面的点数是1,2”为事务B,“向上一面的点数是1,2,3”为事务C,“向上一面的点数是1,2,3,4”为事务D,则下列关于事务A,B,C,D推断错误的有 ()A.A与B是互斥事务但不是对立事务B.A与C是互斥事务也是对立事务C.A与D是互斥事务D.C与D不是对立事务也不是互斥事务【解析】选C.在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事务但不是对立事务,故A正确;在B中,A与C是互斥事务也是对立事务,故B正确;在C中,A与D能同时发生,不是互斥事务,故C错误;在D中,C与D能同时发生,不是对立事务也不是互斥事务,故D正确.2.下列各组事务中,不是互斥事务的是()A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成果,平均分不低于90分与平均分不高于90分C.同时投掷3枚硬币,恰有两枚正面对上与至多一枚正面对上D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%【解析】选B.对于B,设事务A1为平均分不低于90分,事务A2为平均分不高于90分,则A1∩A2为平均分等于90分,A1,A2可能同时发生,故它们不是互斥事务.3.设事务A,B,已知P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,则A,B之间的关系肯定为()A.两个随意事务 B.互斥事务C.非互斥事务 D.对立事务【解析】选B.因为P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE所以P(A)+P(B)=QUOTE+QUOTE=QUOTE,又PQUOTE=QUOTE,所以PQUOTE=P(A)+P(B),所以A,B为互斥事务.4.口袋中装有一些大小相同的红球和黑球,从中取出2个球.两个球都是红球的概率是QUOTE,都是黑球的概率是QUOTE,则取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由题意知,从袋中取出2个球的全部可能状况为2个都是红球,2个都是黑球,1个红球和1个黑球.由互斥事务的概率公式可得,取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是1-QUOTE-QUOTE=QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列命题中为真命题的是 ()A.若事务A与事务B为对立事务,则事务A与事务B为互斥事务B.若事务A与事务B为互斥事务,则事务A与事务B为对立事务C.若事务A与事务B为对立事务,则事务A+B为必定事务D.若事务A+B为必定事务,则事务A与事务B为互斥事务【解析】选AC.对于A,对立事务首先是互斥事务,故A为真命题.对于B,互斥事务不肯定是对立事务,如将一枚硬币抛掷两次,共出现(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)四种结果,事务M=“两次出现正面”与事务N=“只有一次出现反面”是互斥事务,但不是对立事务,故B为假命题.对于C,事务A,B为对立事务,则在一次试验中A,B肯定有一个发生,故C为真命题.对于D,事务A+B表示事务A,B至少有一个要发生,A,B不肯定互斥,故D为假命题.6.在一个试验模型中,设A表示一个随机事务,QUOTE表示A的对立事务.以下结论正确的是 ()A.P(A)=P(QUOTE)B.P(A+QUOTE)=1C.若P(A)=1,则P(QUOTE)=0D.P(AQUOTE)=0【解析】选BCD.选项A,由对立事务的性质P(A)+P(QUOTE)=1,P(A)=P(QUOTE)不肯定正确;由对立事务的概念得A+QUOTE=Ω,即P(A+QUOTE)=P(Ω)=1,B正确;由对立事务的性质P(A)+P(QUOTE)=1知,P(A)=1-P(QUOTE),故若P(A)=1,则P(QUOTE)=0,C正确;由对立事务的概念得AQUOTE=∅,即P(AQUOTE)=P(∅)=0,D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.甲射击一次,中靶概率是p1,乙射击一次,中靶概率是p2,已知QUOTE,QUOTE是方程x2-5x+6=0的根,且p1满意方程x2-x+QUOTE=0.则甲射击一次,不中靶概率为______;乙射击一次,不中靶概率为________.

【解析】由p1满意方程x2-x+QUOTE=0知p12-p1+QUOTE=0,解得p1=QUOTE,因为QUOTE,QUOTE是方程x2-5x+6=0的根,所以QUOTE·QUOTE=6,解得p2=QUOTE,所以甲射击一次不中靶的概率为1-QUOTE=QUOTE,乙射击一次不中靶的概率为1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE8.对飞机连续射击两次,每次放射一枚炮弹.设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一枚炮弹击中飞机},D={至少有一枚炮弹击中飞机},其中为互斥事务的是________;为对立事务的是________.

【解析】由于事务A与B不行能同时发生,故A与B是互斥事务;同理可得,A与C,B与C,B与D也是互斥事务.综上可得,A与B,A与C,B与C,B与D都是互斥事务.在上述互斥事务中,再依据B,D满意B+D为必定事务,故B与D是对立事务.答案:A与B、A与C,B与C、B与DB与D四、解答题(每小题10分,共20分)9.某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28,命中8环的概率是0.19,不够8环的概率是0.29,计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.【解析】记这个射手在一次射击中命中10环或9环为事务A,命中10环、9环、8环、不够8环分别为事务A1,A2,A3,A4,由题意知,A2,A3,A4彼此互斥,所以P(A2+A3+A4)=P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.28+0.19+0.29=0.76.又因为A1与A2+A3+A4互为对立事务,所以P(A1)=1-P(A2+A3+A4)=1-0.76=0.24.因为A1与A2互斥,且A=A1+A2,所以P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.24+0.28=0.52.10.在“六一”联欢会上设有一个抽奖嬉戏.抽奖箱中共有12张纸条,分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张,不中奖的概率为QUOTE,中二等奖或三等奖的概率是QUOTE.(1)求任取一张,中一等奖的概率;(2)若中一等奖或二等奖的概率是QUOTE,求任取一张,中三等奖的概率.【解析】设任取一张,中一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事务分别为A,B,C,D,它们是互斥事务.由条件可得P(D)=QUOTE,P(B+C)=P(B)+P(C)=QUOTE.(1)由对立事务的概率公式知P(A)=1-P(B+C+D)=1-PQUOTE-P(D)=1-QUOTE-QUOTE=QUOTE,所以任取一张,中一等奖的概率为QUOTE;(2)因为P(A+B)=QUOTE,而PQUOTE=P(A)+P(B),所以P(B)=QUOTE-QUOTE=QUOTE,又PQUOTE=P(B)+P(C)=QUOTE,所以P(C)=QUOTE,所以任取一张,中三等奖的概率为QUOTE.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球各若干个,从中任取一球,得到红球的概率是QUOTE,得到黑球或黄球的概率是QUOTE,得到黄球或绿球的概率是QUOTE,试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少?【解析】从袋中任取一球